第二十五章 图形的相似（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学“图形的相似”单元基础通关卷，以真实情境（如舂臼杠杆、古塔测量）融合核心素养，覆盖相似判定、位似变换等核心知识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相似图形识别、黄金分割、位似性质|结合河北多地期末真题，如第6题以传统舂臼考相似应用，体现文化传承| |填空题|4/12|比例性质、位似面积比、小孔成像|第15题小孔成像实验，强化数学眼光中的几何直观与应用意识| |解答题|8/72|相似证明、测量实践、动态探究|第22题对比平面镜与标杆测量树高，培养数学思维的推理能力与模型意识，第24题菱形相似综合题，提升创新应用能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）嘉淇把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的25倍 D．扩大为原来的35倍 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 6．（2026·广东深圳·三模）如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为(    ) A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，当和相似时，的长为（    ）． A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·河北·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025九年级上·河北保定·专题练习）若（），则_________ 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 15．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当___________s时，的面积是； （2）当___________s时，以、，为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 18．（8分）（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 19．（8分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位，请画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，请在网格内第四象限画出，使与的位似，且位似比为，并写出点的坐标； 20．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的值． 21．（9分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 22．（9分）（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 23．（11分）（25-26九年级上·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 24．（12分）（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B C A D D C A B C B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．/ 16． 2或4 3或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，；···················3分 （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：．··················7分 18．（8分） 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是．··················8分 19．（8分） 【答案】(1) 如图，为所求； (2)如图所示， 【分析】本题主要考查图形的平移和图形的位似，点平移的坐标变化规律为:横坐标左减右加,纵坐标上加下减；若与关于原点位似，且位似比为k，则只需将A、B、C的坐标分别乘以，再在坐标系中描点连线，即可得到关于原点的位似图形． （1）根据平移分别画出A、B、C三点的对应点、、，再依次连接即可； （2）依题意，可将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以，得到其对应点、、的坐标，再在坐标系中描点连线即可得到结果． 【详解】（1）如图，为所求； ··················4分 (2)如图所示，··················8分 20．（8分） 【答案】(1) 证明：根据作图可得：， ∴， ∴， 即， 又∵AD平分， ∴． ∴． (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据等腰三角形的性质得出，根据补角的性质得出，根据角平分线的性质得出，即可证明三角形相似； （2）设，则，，根据相似三角形的性质得出，根据，得出． 【详解】（1）证明：根据作图可得：， ∴， ∴， 即， 又∵AD平分， ∴． ∴．··················4分 （2）解：设，则，， 由（1）知，， ∴， 即， 又∵， ∴．··················8分 21．（9分） 【答案】(1) 如图，点即为所求，即为所求； (2)影子的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的实际运用，中心投影的知识，解题的关键是作出相应的辅助线． （）延长交于点，连接分别交直线于点，然后连接即可； （）过作于点，交直线于点，则，，证明，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求，即为所求； ··················3分 （2）解：如图，过作交直线于点，交直线于点，则，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴影子的长为．··················9分 22．（9分） 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米；··················4分 （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米．··················9分 23．（11分） 【答案】（1）证明：图1中，∵，， ∴， ∴． ∴． 图2中，由旋转可得， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）首先证明出，得到，然后证明出，即可得到； （2）利用勾股定理求出，求出，由得到，求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：图1中，∵，， ∴， ∴． ∴． 图2中，由旋转可得， ∴， ∴．··················4分 （2）解：∵ ∴， ∴． ∵图1中， ∴，． ∵， ∴．··················6分 由（1）知，， ∵． ∵． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．··················11分 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（12分） 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ；··················4分 （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使；··················6分 （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为．··················12分 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【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（），且， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）嘉淇把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的25倍 D．扩大为原来的35倍 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，利用面积比是相似比的平方，即可得解． 【详解】解：由题意知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 6．（2026·广东深圳·三模）如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 7．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定及其性质的运用是关键，根据题意，四边形，四边形是矩形，证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意，， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：C． 9．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出 、的值， 设点的坐标为， 点与点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位， 由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点与点重合得到方程组， 解得 ， 即． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，当和相似时，的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由勾股定理可得，，再结合外角性质，得，因为和相似，故、，易得；再运用等面积法列式求出，最后运用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵在中，，点为斜边上一点， ∴，， ∵， ∴， ∵和相似， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴． 故选：B． 11．（25-26八年级下·河北·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 12．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 【答案】B 【分析】根据折叠后点与点重合，可得折痕是线段的垂直平分线，可得，结合为斜边的直角三角形判定条件，用勾股定理列方程求长度，验证是否符合甲的计算结果；再根据是的平分线，，先求得，再由是的平分线，可得，利用相似三角形求出长度，进而得到长度，验证是否符合乙的计算结果． 【详解】，，， ， 设，则． 甲的方法：∵点与点关于对称， 垂直平分， ， 在中，， 在中，， ，即， 解得， 即，， ， ， ， ； 在中，， ， ， 为等腰直角三角形，且， 甲的折叠方法及计算结果正确； 乙的方法：如解图，连接， 平分，， ，， ，，， ，，， 是公共边， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 甲、乙两人确定的点是相同位置的点， 为等腰直角三角形，且， 乙的折叠方法正确，计算结果不正确． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025九年级上·河北保定·专题练习）若（），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知条件解出的值，再代入所求表达式化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 则． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查位似的性质变换和相似三角形的性质，熟练掌握位似的相似变换和相似三角形面积的性质是解题的关键．先利用位似的性质得到，，推出，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键．根据平行关系证明，，从而得到，，计算可得，即可得到的长度． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当___________s时，的面积是； （2）当___________s时，以、，为顶点的三角形与相似． 【答案】 2或4 3或 【分析】（1）根据题意，，结合动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为，则，，，根据面积公式解答即可． （2）分和两种情况解答． 本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，相似三角形，解题的关键是掌握这些知识点． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为， ∴，，， 故， 整理，得， 解得或， 故或, 故答案为：2或4． （2）当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，；···················3分 （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：．··················7分 18．（8分）（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是．··················8分 19．（8分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位，请画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，请在网格内第四象限画出，使与的位似，且位似比为，并写出点的坐标； 【答案】(1) 如图，为所求； (2)如图所示， 【分析】本题主要考查图形的平移和图形的位似，点平移的坐标变化规律为:横坐标左减右加,纵坐标上加下减；若与关于原点位似，且位似比为k，则只需将A、B、C的坐标分别乘以，再在坐标系中描点连线，即可得到关于原点的位似图形． （1）根据平移分别画出A、B、C三点的对应点、、，再依次连接即可； （2）依题意，可将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以，得到其对应点、、的坐标，再在坐标系中描点连线即可得到结果． 【详解】（1）如图，为所求； ··················4分 (2)如图所示，··················8分 20．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：根据作图可得：， ∴， ∴， 即， 又∵AD平分， ∴． ∴． (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据等腰三角形的性质得出，根据补角的性质得出，根据角平分线的性质得出，即可证明三角形相似； （2）设，则，，根据相似三角形的性质得出，根据，得出． 【详解】（1）证明：根据作图可得：， ∴， ∴， 即， 又∵AD平分， ∴． ∴．··················4分 （2）解：设，则，， 由（1）知，， ∴， 即， 又∵， ∴．··················8分 21．（9分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求，即为所求； (2)影子的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的实际运用，中心投影的知识，解题的关键是作出相应的辅助线． （）延长交于点，连接分别交直线于点，然后连接即可； （）过作于点，交直线于点，则，，证明，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求，即为所求； ··················3分 （2）解：如图，过作交直线于点，交直线于点，则，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴影子的长为．··················9分 22．（9分）（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米；··················4分 （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米．··················9分 23．（11分）（25-26九年级上·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 【答案】（1）证明：图1中，∵，， ∴， ∴． ∴． 图2中，由旋转可得， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）首先证明出，得到，然后证明出，即可得到； （2）利用勾股定理求出，求出，由得到，求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：图1中，∵，， ∴， ∴． ∴． 图2中，由旋转可得， ∴， ∴．··················4分 （2）解：∵ ∴， ∴． ∵图1中， ∴，． ∵， ∴．··················6分 由（1）知，， ∵． ∵． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．··················11分 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（12分）（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ；··················4分 （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使；··················6分 （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为．··················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）嘉淇把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的25倍 D．扩大为原来的35倍 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 6．（2026·广东深圳·三模）如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为(    ) A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，当和相似时，的长为（    ）． A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·河北·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2025九年级上·河北保定·专题练习）若（），则_________ 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为___________． 15．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 16．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当___________s时，的面积是； （2）当___________s时，以、，为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 18．（8分）（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 19．（8分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位，请画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，请在网格内第四象限画出，使与的位似，且位似比为，并写出点的坐标； 20．（8分）（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的值． 21．（9分）（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 22．（9分）（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 23．（11分）（25-26九年级上·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 24．（12分）（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $