精品解析：陕西西安市灞桥区鹿塬中学2026-2027学年上学期阶段学情自测九年级数学

九年级数学 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m≠2 C. m＞0 D. m≠0 2. 如图，在矩形中，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 12 3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（　 ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，对角线相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2027 D. 2028 7. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 8. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的位置如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的一次项系数是_____． 10. 若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 12. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点是边的中点，于点，若，则菱形的面积为___________． 13. 已知一元二次方程的两个实数根为，则代数式的值为___________． 14. 如图，在矩形纸片中，，点分别在边上，将矩形纸片沿分别折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点恰好落在上，连接，则的长为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在中，M是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为4．求的长． 17. 某同学解一元二次方程的步骤如下： 解：移项，得，…………………………① 两边同除以，得，………………………………② 解得．…………………………………………………………③ （1）上述解答过程中开始出现错误的是第______步．（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 18. 如图，已知为锐角三角形，平分交于点D．请用尺规作图法分别在上取点E、F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，于点E，于点F，，求证：四边形是正方形． 20. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 21. 如图，在正方形中，E与F分别是，上的点．在①，②，③中，请选择其中一个作为条件，使，并证明． （1）你选择的条件是______（只需填写序号）． （2）根据（1）中补充的条件，完成证明． 22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为C，D． （1）四边形的形状是______；点A的坐标为______． （2）当四边形的面积为时，求点P的坐标． 23. 某文创店将一款新开发的文创产品放到网上销售，上市时定价为62.5元/件，因活动促销，经过连续两次降价后售价降至40元/件，此时平均每月销售量为500件． （1）求该款文创产品平均每次降价的百分率． （2）为回馈顾客，该文创店计划再次降价，市场调查发现售价每降价元，销售量就会增加件，已知该款文创产品成本价为20元/件，若该文创店想在尽快减少库存的情况下销售该款文创产品，且每月获利10800元，求n的值． 24. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 25. 综合与实践 新定义：若一元二次方程的两个根为，且满足，则称该方程为“和谐方程”． （1）判断方程是不是“和谐方程”，并说明理由． （2）已知关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围． ②若关于的方程是“和谐方程”，求的值． 26. 综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点在线段上，求证：． （2）如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 （3）如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m≠2 C. m＞0 D. m≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：m﹣2≠0， 解得：m≠2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 如图，在矩形中，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在矩形中，， ∴． 3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，求出和的长，进而确定点的坐标． 【详解】解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ，与互相平分且相等， 点的坐标为， ，且在轴上， ，， ， 点的坐标为． 4. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项并调整二次项系数符号，化为一般形式． 【详解】解：原方程为， 移项，得， 两边同乘，得． 5. 如图，在菱形中，对角线相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2027 D. 2028 【答案】D 【解析】 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 7. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可． 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等， ②矩形的四个角都是直角， ③矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等， ②菱形的对角相等， ③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 8. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的位置如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算判别式的值即可判断． 【详解】解：， 由数轴得，， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式的定义进行解答即可． 【详解】解：因为在方程中，一次项为， 所以一次项系数是2． 故答案为：2． 10. 若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由周长求边长，再由边长用勾股定理求对角线即可． 【详解】解：正方形周长为16 边长为4 对角线 故答案为 【点睛】本题考查了正方形的性质与勾股定理的结合，熟悉正方形的性质是解题关键． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点是边的中点，于点，若，则菱形的面积为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】延长，取点F，使，连接，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：延长，取点F，使，连接，如图所示： 则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 13. 已知一元二次方程的两个实数根为，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，展开所求代数式后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ． 14. 如图，在矩形纸片中，，点分别在边上，将矩形纸片沿分别折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点恰好落在上，连接，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 在中，根据勾股定理得：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：应用配方法解一元二次方程，也同应用因式分解法或公式法解一元二次方程. 试题解析：方程加上一次项系数一半的平方，得，即， 两边开平方，得，∴或. ∴原方程的解为. 考点：解一元二次方程. 16. 如图，在中，M是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为4．求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴． ∵， ∴． 在中，M是斜边的中点， ∴． 17. 某同学解一元二次方程的步骤如下： 解：移项，得，…………………………① 两边同除以，得，………………………………② 解得．…………………………………………………………③ （1）上述解答过程中开始出现错误的是第______步．（填序号） （2）请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）② （2）解： 移项，得， ∴， ∴或， ∴，． 【解析】 【小问1详解】 解：第②步出错了，不能方程两边同时除以． 【小问2详解】 略 18. 如图，已知为锐角三角形，平分交于点D．请用尺规作图法分别在上取点E、F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，四边形即为所求． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，分别交于点，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，则可证明，进而得到，则四边形是菱形． 【详解】略 19. 如图，在中，于点E，于点F，，求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，易证可得，再通过证明四边形是平行四边形，是矩形，进而证明结论． 【详解】略 20. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在正方形中，E与F分别是，上的点．在①，②，③中，请选择其中一个作为条件，使，并证明． （1）你选择的条件是______（只需填写序号）． （2）根据（1）中补充的条件，完成证明． 【答案】（1）①或②或③ （2）解：选择条件①时： 证明：在正方形中，，． 在和中，， ∴， ∴． 选择条件②时： 证明：在正方形中，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 选择条件③时： 证明：在正方形中，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意选择合适的条件即可； （2）选择①，可证明，得到；选择②或③，可证明四边形是平行四边形，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为C，D． （1）四边形的形状是______；点A的坐标为______． （2）当四边形的面积为时，求点P的坐标． 【答案】（1）矩形； （2）或 【解析】 【分析】（1）首先得到，即可证明四边形OCPD的形状是矩形；然后将代入即可求出点A的坐标； （2）设点P的坐标为，则，，根据四边形的面积为列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵过点P分别作和的垂线，垂足分别为C，D， ∴， ∴四边形的形状是矩形； ∵一次函数的图象交x轴于点A， ∴当时，， ∴， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意，设点P的坐标为，则，，， 当四边形的面积为时，， 整理得， 解得，． 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 23. 某文创店将一款新开发的文创产品放到网上销售，上市时定价为62.5元/件，因活动促销，经过连续两次降价后售价降至40元/件，此时平均每月销售量为500件． （1）求该款文创产品平均每次降价的百分率． （2）为回馈顾客，该文创店计划再次降价，市场调查发现售价每降价元，销售量就会增加件，已知该款文创产品成本价为20元/件，若该文创店想在尽快减少库存的情况下销售该款文创产品，且每月获利10800元，求n的值． 【答案】（1）该款文创产品平均每次降价的百分率为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两次降价前后的价格关系列一元二次方程，结合实际意义舍去不合理的根； （2）根据总利润与单件利润、销售量的关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取较大的根． 【小问1详解】 解：设该款文创产品平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得，（舍去） 答：该款文创产品平均每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得，， ∵该文创店想尽快减少库存，需销售量尽可能大， ∴． 答：n的值为８． 24. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分， ． ， ， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，，最后根据勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 25. 综合与实践 新定义：若一元二次方程的两个根为，且满足，则称该方程为“和谐方程”． （1）判断方程是不是“和谐方程”，并说明理由． （2）已知关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围． ②若关于的方程是“和谐方程”，求的值． 【答案】（1）解：是和谐方程，理由如下： ， ， 解得， ∴， ∴， ∴方程是“和谐方程”. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出方程的根，根据新定义进行判断即可； （2）①根据方程有两个不相等的实数根，得到，即可得出结果；②根据根与系数的关系结合新定义进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意，， 解得； ②设方程的两个根为，则， ∵关于的方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴， 解得或， 由①知：； ∴. 26. 综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点在线段上，求证：． （2）如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 （3）如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：过点作于，于． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴，且四边形是正方形，． 又∵， ∴， 因此， 即． 在和中： ∴， 因此； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，于．根据正方形的性质及角平分线的性质定理得到，且四边形是正方形，，证明，可知； （2）过点作于，于，同理（1）可证四边形是正方形，，得，根据正方形的性质得到，可知是等腰直角三角形，进而得到，进而根据，，计算即可； （3）过点作于，交于，可知四边形是矩形，得到，，根据矩形的性质证明，得到，，设，根据得到，根据勾股定理得到，，进而代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，于， 同理（1）可证四边形是正方形，， ∴，． ∵是正方形对角线，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 而， 又，， 代入得：， 整理得． 【小问3详解】 解：过点作于，交于， 可知四边形是矩形， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，． 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， 解得（舍去），． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $