精品解析：广东汕头市潮阳区华隆发实验学校2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段自测数学试卷

2026-2027学年度第一学期九年级第一次月考 数学科试卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数是二次函数的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A. B. C. D. 7. 学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ 　） A. B. C. 且 D. 10. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为______． 12. 若是方程的一个根，则的值为________． 13. 一种传染性疾病每一人可传染给若干人，若一人患病经两轮传染后共有49人染上此病，则这种传染性疾病每人每轮平均可传染_______人． 14. 抛物线，当时，的取值范围___________． 15. 如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 三、解答题（一）：共三小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的顶点坐标为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． （1）问当t为多少时，？ （2）连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 20. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 21. 如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使与的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）：共两小题，每小题12分，共24分． 22. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点． （1）【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ； （2）【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值； （3）【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点． 23. 我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是． （1）写出一元二次方程的“倒序方程”； （2）分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论； （3）若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级第一次月考 数学科试卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 函数是二次函数的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，只有一个自变量，且自变量的次数为二次，系数不能为零，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得， ， ∴ ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，系数，解题的关键是理解二次函数的定义，二次项系数不能为零． 3. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求； B 选项：对于方程 ，， 方程有两个不相等的实数根，符合要求； C 选项：对于方程 ，， 方程没有实数根，不符合要求； D 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式直接得出抛物线的对称轴即可． 【详解】解：抛物线是抛物线的顶点式， 根据抛物线的顶点式可知抛物线的对称轴是直线， 故选：A 【点睛】此题考查顶点式抛物线的对称轴，利用抛物线顶点式函数图像的性质求得抛物线对称轴是解题关键． 5. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 6. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 7. 学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单循环赛制可知，每只队伍比赛场，同两只队伍只比赛一场，由此可列方程． 【详解】解：单循环赛制下，x个队共21场比赛， ， 故选B． 【点睛】本题考查列一元二次方程，理解单循环赛制的比赛规则是解题的关键． 8. 二次函数的部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的根为， 即方程的另一个根为：． 故选：A． 9. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ 　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数非零与判别式大于0两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 10. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出、的值，代入即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根是，， ，， ． 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义. 由题意可知：，然后将整体代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意，得， . ． 故答案为：2． 13. 一种传染性疾病每一人可传染给若干人，若一人患病经两轮传染后共有49人染上此病，则这种传染性疾病每人每轮平均可传染_______人． 【答案】 6 【解析】 【分析】本题主要考查列一元二次方程以及求解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．首先设每人每轮平均传染x人，根据两轮传染后总人数为49，即可列方程求解． 【详解】解：设每人每轮平均传染x人， 开始时1人患病，第一轮后患病人数为，第二轮后患病人数为， 根据题意，得， 整理得， 解得或． 由于传染人数不能为负数， 所以． 故答案为：6． 14. 抛物线，当时，的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的最值，通过将二次函数化为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，结合，求y的取值范围． 【详解】解：由化为顶点式：， ∵ 二次项系数为负， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，最大值为． 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为． 故答案为：． 15. 如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方，  关于的不等式的解集为． 三、解答题（一）：共三小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知二次函数的顶点坐标为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点C在函数图像上，见解析 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标设出二次函数的顶点式，再代入B的值即可得出答案； （2）将C的值代入函数解析式即可得出答案． 【详解】解：（1） 设二次函数的解析式是， ∵ 二次函数的顶点坐标为 ， ∴， 又 经过点 ， ∴ 代入得： ， 解得： ， ∴函数解析式为：； （2）将x=2代入解析式得， ∴点 在该函数图象． 【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式，解题关键是根据顶点坐标设出顶点式． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． （1）问当t为多少时，？ （2）连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t的值为1 （2）存在，t的值为2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． 【小问2详解】 存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 20. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 21. 如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使与的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可； （2）设M的坐标为，由与的面积相等可得到，求得或，将或代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得 将点和点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设的坐标为． 与的面积相等， ， ． 当时，， 解得或， 或， 当时，， 解得:或 或． 综上所述点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键． 五、解答题（三）：共两小题，每小题12分，共24分． 22. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点． （1）【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ； （2）【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值； （3）【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1）； （2）； （3）依题得：，， 如图 ，连接， 根据折叠性质可得， ， ，， ，， 设，， 中，， ， 中，， 中，， ， 即， 解得， ，， ， ， 即点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）根据题中，设，，将其代入得一元二次方程，解得的值后即可求得； （2）由勾股定理求得后即可根据求解； （3）设，，综合正方形性质和折叠性质求出、，再由得到，解得后即可证明． 【小问1详解】 解：依题得：， 设，, 则, 即， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题得：， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程、勾股定理、折叠性质、正方形性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 23. 我们把关于x 的一元二次方程与 （，）称为一对“倒序方程”．如方程的“倒序方程”是． （1）写出一元二次方程的“倒序方程”； （2）分别求出一元二次方程及它的“倒序方程”的两根，并猜想的两根，与其“倒序方程”的两根，之间存在的特殊关系，并证明你的结论； （3）若关于x的方程的两根是，，利用（2）中的结论求出关于的方程的两根． 【答案】（1） （2）；；倒数关系， 证明：的两个根为， 的两根为：， ∴， ， ∴的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系； （3）或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握“倒序方程”的定义，是解题的关键： （1）直接根据新定义作答即可； （2）因式分解法求出两个方程的解，根据解的情况进行猜想即可； （3）先求出关于x的方程的两根是，，进而得到的两个根为：或，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的“倒序方程”为：； 【小问2详解】 解： ， 解得：； ， 解得：； ∵， ∴猜想：的两根，与其“倒序方程”的两根，之间为倒数关系， 证明略 【小问3详解】 解：关于x的方程的两根是，， 则：关于x的方程的两根是，， ∴，即：的两个根为： 或， 解得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $