精品解析：广东深圳市宝安区清平实验学校2026-2027学年第一学期九年级9月阶段反馈数学学科

2026-2027学年第一学期九年级九月阶段反馈数学学科 一．选择题（共8小题，共16分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 3. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＜－1 B. m＞0 C. m＜1且m≠0 D. m＞0且m≠1 4. 如图，直线、交于点O，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则四边形是矩形 B. 若，，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是正方形 D. 若，，则四边形是平行四边形 8. 如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　） A. 2：3 B. 2：5 C. 3：5 D. 3：7 二．填空题（共5小题，共23分） 9. 已知，则_____． 10. 为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 13. 如图，在等腰三角形中，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，与交于且点是靠近点的三等分点，若，则___________． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 小明在解关于x的方程时，过程如下： 解：原方程变形为，， 第①步 两边同除以，得：， 第②步 原方程的解为：． 第③步 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，错误的原因是_______． 请你在下面写出正确的解答过程． 15. 垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害． （1）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________． （2）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． （1）在图中画一个以为边的平行四边形，点、在格点上，且平行四边形的面积为； （2）在图中画一个以为边的菱形（不是正方形），点、在格点上； （3）在图中的线段上取一点，使得 17. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 18. 如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程： ①；②；③． （2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． （3）若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． （3）若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 20. （1）发现：如图①所示，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，．求的值． （2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H，且，直线交直线于点P，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级九月阶段反馈数学学科 一．选择题（共8小题，共16分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B．2×=×2，四条线段成比例，故本选项正确； C．4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D．×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＜－1 B. m＞0 C. m＜1且m≠0 D. m＞0且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m-1≠0且△>0,即2-4(m-1)(-1) >0,两个不等式的公共解即为m的取值范围. 【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根, （m-1）≠0,且△＞0， 即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0, m的取值范围为m>0且m≠1, m>0且m≠1时, 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根. 故选D. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式. 4. 如图，直线、交于点O，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，找到与相关的线段比例关系进行求解．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并能准确找到对应线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 5. 如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为，则每个展位的长为，宽为，再根据题意：每个展位的面积都为，结合长方形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设人行通道的宽度为，则每个展位的长为，宽为， 根据题意，可得：， 整理，得：． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6. 如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 7. 如图，已知四边形，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则四边形是矩形 B. 若，，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是正方形 D. 若，，则四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：A.由AC⊥BD，AC=BD，不能判定四边形ABCD是矩形， 故A选项不符合题意； B.∵AC⊥BD，AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD是菱形， 故B选项不符合题意； C.∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形， 故C选项不符合题意； D.∵AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　） A. 2：3 B. 2：5 C. 3：5 D. 3：7 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DHAE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根据平行线等分线段定理即可得． 【详解】解：如图，过点D作DHAE交BC于H， ∵BF＝DF，FEDH， ∴BE＝EH， ∴BE：BC＝2：7， ∴EH：CH＝2：3， ∵AEDH， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题． 二．填空题（共5小题，共23分） 9. 已知，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质可得出，，，代入中，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10. 为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割点的概念得到，即可求解． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点． ， ∴ 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13. 如图，在等腰三角形中，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，与交于且点是靠近点的三等分点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质． 由题意可知，设，则，，根据折叠的性质得到，即，作交于F，作交于，根据折叠的性质得到，，证明，得到，则和面积比等于底的比，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵点是靠近点的三等分点， ∴， 设， 则， ∴， ∵将沿翻折，点的对应点为点， ∴， ∴， 如图，作交于F，作交于， ∵将沿翻折，点的对应点为点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即和高相等， 则和面积比等于底的比， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 小明在解关于x的方程时，过程如下： 解：原方程变形为，， 第①步 两边同除以，得：， 第②步 原方程的解为：． 第③步 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，错误的原因是_______． 请你在下面写出正确的解答过程． 【答案】②，错误的原因是方程两边同除以，需要， 正确的解法： ∴或 即：， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用因式分解法即可解一元二次方程． 【详解】解：从第②步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以，需要． 15. 垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害． （1）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________． （2）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设两件不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示， 设两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， ∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． （1）在图中画一个以为边的平行四边形，点、在格点上，且平行四边形的面积为； （2）在图中画一个以为边的菱形（不是正方形），点、在格点上； （3）在图中的线段上取一点，使得 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形面积和网格格点特征，求出平行四边形的底的长度，确定点，再根据平行四边形的性质，过点作和平行且长度相等的线段，得到点，最后顺次连接即可得到平行四边形； （2）先利用勾股定理计算出的长度，再结合菱形的性质在格点中找到点和点，使得，且邻边不垂直，再顺次连接即可得到菱形； （3）从点出发，作一条与不重合的格点射线，截取个长度相等的单位格点线段，利用网格构造相似三角形，根据平行线分线段成比例定理，在上截出的分点． 【小问1详解】 解：选取水平方向的线段作平行四边形的底，由于竖直方向的高恰好为，平行四边形面积为，所以为．根据平行四边形对边平行且相等的性质，过点作和平行且长度相等的线段，连接，最后顺次连接，得到的平行四边形四个顶点都在格点上，符合题目要求． 【小问2详解】 解：观察格点可知，点到点横向间隔个单位，纵向间隔个单位，由勾股定理得．从点出发，在格点中找到点，使得，且不与垂直，再从点出发，在格点中找到点，使得，，最后顺次连接，得到的四边形即为菱形，不构成正方形． 【小问3详解】 解：从点出发，作一条与不重合的格点射线，在射线上连续截取个长度相等的单位格点线段，将第个分点与点连接，再过单位格点线段从右数第个分点作该连线的平行线，与线段的交点即为点．根据平行线分线段成比例定理，此时，，满足比例要求． 17. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 18. 如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程： ①；②；③． （2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积． （3）若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 选②，证明如下： ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 选③， ∵四边形是平行四边形， , ∴， ， ， ， ，， ， ， ， 由①的证明知，四边形是矩形． （2）72 （3） 解：如图：分别以F、C为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点P，连接，即可得到菱形． ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）选①，证明得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；同理可证选②；选③，利用等腰三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的判定得，转化为①的情况； （2）证明得，再由勾股定理求得，再根据梯形的面积公式计算即可； （3）如图：分别以F、C为圆心，以为半径画弧，两弧相交与点P，连接，即可得到菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、尺规作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 19. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． （3）若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】（1）②④ （2）①②或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；②利用，求得，，分两种情况，代入即可求得的值； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． 【小问2详解】 解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或； 【小问3详解】 解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 20. （1）发现：如图①所示，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，．求的值． （2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H，且，直线交直线于点P，求的长． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质得，，证明，根据全等三角形的判定可得，即可求解； （）由四边形是矩形得，，由折叠性质可知，，设，由勾股定理得，推得，根据相似三角形的判定与性质得，求得，，根据平行线的性质可得，，从而有，即可求解； （）过作于点，由折叠性质可得，，根据相似三角形的判定与性质得，求得，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $