3.2.1 第1课时　函数的单调性 [讲义]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念. 2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念. 3.能运用定义法证明函数的单调性. 　　同学们,大家有没有体验过过山车?风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声,简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然,过山车的设计可是离不开数学家的身影,我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关. 知识点一　直观感知函数的单调性 1.函数的单调性和单调区间 (1)函数的单调性 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有 都有 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 图示 (2)函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 . 2.增函数与减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称它是 ;当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称它是 . 　(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D. (2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用I上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1<x2. (1)在函数f(x)的定义域D内某个区间I上存在两个数x1,x2且满足x1<x2时,f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间I上是增函数.( ) (2)函数f(x)=在定义域上为减函数.( ) (3)若f(x)是R上的减函数,则f(-3)>f(2).( ) (4)f(x)在区间I上为增函数,且x1,x2∈I,若f(x1)<f(x2),则x1<x2.( ) [例1]　画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出该函数的单调区间. 1.求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间. 2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 1.(苏教版必修第一册例题)画出下列函数图象,并写出单调区间: (1)y=-x2+2; (2)y=(x≠0). 知识点二　利用定义证明函数的单调性 [例2]　(北师大版必修第一册例题)判断函数 f(x)= 的单调性,并给出证明. 　利用定义证明函数单调性的步骤 1.取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式. 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. 4.结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性. 2.(北师大版必修第一册例题)试用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增. 知识点三　单调性的应用 角度1　利用函数的单调性比较大小 [例3]　设函数y=f(x) 满足:对任意的x1,x2∈R 都有>0,则f(-3) 与f(-π)的大小关系是(　　) A.f(-3)>f(-π) 　B.f(-3)≥f(-π) C.f(-3)<f(-π) 　D.f(-3)≤f(-π) 课堂笔记： 角度2　利用函数的单调性解不等式 [例4]　f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,且f(x)<f(2x-3),则x的取值范围是(　　) A. B.(-∞,3) C.(0,3) D. 课堂笔记： 角度3　利用函数的单调性求参数的取值(范围) [例5]　若函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞,0) C. D.[-4,0) 课堂笔记： 　把本例的函数换为f(x)=求实数t的取值范围. 1.比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. 3.利用函数的单调性求参数的取值(范围)时,根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 3.若函数f(x)在R上单调递增,则下列结论一定成立的是(　　) A.>1 B.>1 C.f(2)+f(0)>0 D.f(2)-f(0)>0 4.若函数y=f(x) 在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 5.已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,10]上具有单调性,则实数k的取值范围是(　　) A.(40,80) B.[40,80] C.(-∞,40]∪[80,+∞) D.(-∞,40)∪(80,+∞) 1.知识清单: (1)增函数、减函数的定义. (2)函数的单调区间. (3)函数单调性的应用 2.方法归纳:数形结合法. 3.常见误区:函数的单调区间不能用并集;利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域. 1.如图所示,函数y=f(x)在下列哪个区间上是增函数(　　) A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 2.下列四个函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=3-x B.f(x)=3+x C.f(x)=x2-4x D.f(x)= 3.已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围为(　　) A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞) 4.若函数y=f(x)在R上单调递增,则满足不等式f(2x)>f(-1)的x的取值范围为　　　　　.  1.下列函数中,在(-∞,0)上是减函数的是(　　) A.y= B.y=1-x2 C.y=x2+x D.y= 2.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是(　　) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 3.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则有(　　) A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2) 4.若函数y=x2-2ax+1在区间[-2,1]上为单调减函数,则实数a的取值范围为(　　) A.a<-2 B.a≤-2 C.a>1 D.a≥1 5.若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 6.(多选)函数y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,且0<x1<x2,则下列选项正确的是(　　) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-f(x2)>0 C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 D.>0 7.∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},若f(x)=x+1,g(x)=x2-2x-3,则M(x)的单调递减区间为　　　　.  8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f(x2-2)的解集为　　　.  9.用函数单调性的定义证明:f(x)=在(-1,1)上为单调递增函数. 10.已知函数f(x)=(x>0). (1)证明:f(x) 在(0,+∞) 上是增函数; (2)若f>f(1),求m的取值范围. 11.(多选)下列说法正确的是(　　) A.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的增函数 B.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是减函数 C.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数 D.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,则函数f(x) 在R上是增函数 12.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0) B.[-2,-1] C.[-2,0) D.(-∞,-1] 13.已知定义在R上的函数f(x)图象关于直线x=1轴对称,且∀x1,x2>1,x1≠x2 时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,记a=f,b=f,c=f,则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 14.已知f(x)=x+,x∈(0,+∞). (1)证明:当a>0 时,f(x) 在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)若f(x)在(2,+∞)上单调递增,求a 的取值范围. 15.函数y=f(x)对于任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则(　　) A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3 B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3 C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2 D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2 16.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,∀x>0,y>0,f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)证明:f(x)是(0,+∞)上的减函数; (3)若f(2)=-3,求不等式f(x-7)-f>-9的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念. 2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念. 3.能运用定义法证明函数的单调性. 　　同学们,大家有没有体验过过山车?风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声,简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然,过山车的设计可是离不开数学家的身影,我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关. 知识点一　直观感知函数的单调性 1.函数的单调性和单调区间 (1)函数的单调性 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 图示 (2)函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.增函数与减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称它是增函数;当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称它是减函数. 　(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D. (2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用I上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1<x2. (1)在函数f(x)的定义域D内某个区间I上存在两个数x1,x2且满足x1<x2时,f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间I上是增函数.(×) (2)函数f(x)=在定义域上为减函数.(×) (3)若f(x)是R上的减函数,则f(-3)>f(2).(√) (4)f(x)在区间I上为增函数,且x1,x2∈I,若f(x1)<f(x2),则x1<x2.(√) [例1]　画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出该函数的单调区间. 　对含绝对值函数作图象时,常分段处理:先按x≥0和x<0去掉绝对值,化为分段函数,分别画出两段的图象(注意端点衔接),最后根据图象判断单调区间. 解　当x≥0时,y=-x2+2x+3;当x<0时,y=-x2-2x+3. 所以y=画出该函数的图象如图所示, 由图象知,该函数的单调递增区间是(-∞,-1],[0,1]; 单调递减区间是(-1,0),(1,+∞). 1.求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间. 2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 1.(苏教版必修第一册例题)画出下列函数图象,并写出单调区间: (1)y=-x2+2; (2)y=(x≠0). 解　(1)函数图象如图①,单调递增区间为(-∞,0],单调递减区间为[0,+∞). (2)函数图象如图②,单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),无单调递增区间. 知识点二　利用定义证明函数的单调性 (教材例1)根据定义,研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 解　函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R.∀x1,x2∈R,且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2). 由x1<x2,得x1-x2<0.所以 ①当k>0时,k(x1-x2)<0.于是 f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2). 这时,f(x)=kx+b是增函数. ②当k<0时,k(x1-x2)>0.于是 f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 这时,f(x)=kx+b是减函数. (教材例2)物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定质量的气体,当其温度不变时,体积V减小,压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 证明　∀V1,V2∈(0,+∞),且V1<V2,则 p1-p2=-=k. 由V1,V2∈(0,+∞),得V1V2>0; 由V1<V2,得V2-V1>0. 又k>0,于是 p1-p2>0, 即p1>p2. 所以,根据函数单调性的定义,函数p=,V∈(0,+∞)是减函数.也就是说,当体积V减小时,压强p将增大. (教材例3)根据定义证明函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增. 证明　∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,有 y1-y2=- =(x1-x2)+ =(x1-x2)+=(x1x2-1). 由x1,x2∈(1,+∞),得x1>1,x2>1. 所以x1x2>1,x1x2-1>0. 又由x1<x2,得x1-x2<0. 于是(x1x2-1)<0, 即y1<y2. 所以,函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增. [例2]　(北师大版必修第一册例题)判断函数 f(x)= 的单调性,并给出证明. 　设值→作差→变形→判断符号→得到结论 解　画出函数f(x)=的图象,如图,由图象可以看出,函数f(x)=在定义域[0,+∞)上可能是增函数. 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则x1-x2<0. 所以f(x1)-f(x2)=-=. 由+ >0,可知f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 由函数单调性的定义可知,函数f(x)=在定义域[0,+∞)上是增函数. 　利用定义证明函数单调性的步骤 1.取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式. 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. 4.结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性. 2.(北师大版必修第一册例题)试用函数单调性的定义证明:函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增. 证明　任取x1,x2∈(0,1],且x1<x2. 所以f(x1)-f(x2)=- =x1-x2- =(x1-x2) =. 因为0<x1<x2≤1,所以x1-x2<0,0<x1x2<1,则>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=x+在区间(0,1]上单调递减. 同理可证,函数f(x)=x+在区间[1,+∞)上单调递增. 知识点三　单调性的应用 角度1　利用函数的单调性比较大小 [例3]　设函数y=f(x) 满足:对任意的x1,x2∈R 都有>0,则f(-3) 与f(-π)的大小关系是(　　) A.f(-3)>f(-π) 　B.f(-3)≥f(-π) C.f(-3)<f(-π) 　D.f(-3)≤f(-π) 　利用>0确定函数的单调性,然后根据函数的单调性比较大小. 解析　A　因为>0,当x1>x2时,f(x1)>f(x2);当x1<x2时,f(x1)<f(x2),所以函数在R上单调递增.又-3>-π,所以f(-3)>f(-π). 角度2　利用函数的单调性解不等式 [例4]　f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,且f(x)<f(2x-3),则x的取值范围是(　　) A. B.(-∞,3) C.(0,3) D. 　根据函数的定义域及其单调性,结合已知不等式求参数的范围. 解析　A　因为函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递减函数,则f(x)<f(2x-3)等价于解得<x<3,所以x的取值范围是. 角度3　利用函数的单调性求参数的取值(范围) [例5]　若函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞,0) C. D.[-4,0) 　分析分段函数各段的单调性及分段点处函数值的大小关系,列出不等式组,求出参数的取值范围. 解析　C　函数f(x)= 在R上单调递减,则 解得-4≤a≤-, 所以实数a 的取值范围是. 　把本例的函数换为f(x)=求实数t的取值范围. 解　因为函数f(x)=在R上单调递减, 所以解得1≤t≤. 1.比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. 3.利用函数的单调性求参数的取值(范围)时,根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 3.若函数f(x)在R上单调递增,则下列结论一定成立的是(　　) A.>1 B.>1 C.f(2)+f(0)>0 D.f(2)-f(0)>0 解析　D　由题意得f(2)>f(0),即f(2)-f(0)>0,由于f(2),f(0)的正负未知,故A,B,C不一定成立. 4.若函数y=f(x) 在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 解析　C　∵函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9),∴由函数单调性的定义可知,2m>-m+9,解得m>3,∴实数m的取值范围是(3,+∞). 5.已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,10]上具有单调性,则实数k的取值范围是(　　) A.(40,80) B.[40,80] C.(-∞,40]∪[80,+∞) D.(-∞,40)∪(80,+∞) 解析　C　函数f(x)=4x2-kx-8的对称轴为x=,依题意≥10或≤5,解得k≥80或k≤40,所以实数k的取值范围是(-∞,40]∪[80,+∞). 1.知识清单: (1)增函数、减函数的定义. (2)函数的单调区间. (3)函数单调性的应用 2.方法归纳:数形结合法. 3.常见误区:函数的单调区间不能用并集;利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域. 1.如图所示,函数y=f(x)在下列哪个区间上是增函数(　　) A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 解析　C　观察函数图象,在[-4,-3],[1,4]上随x的增大,函数y=f(x)的图象是下降的,在[-3,1]上随x的增大,函数y=f(x)的图象是上升的,因此函数y=f(x)在[-4,-3],[1,4]上单调递减,在[-3,1]上单调递增,所以函数y=f(x)在[-3,1]上是增函数. 2.下列四个函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=3-x B.f(x)=3+x C.f(x)=x2-4x D.f(x)= 解析　B　f(x)=3-x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;f(x)=3+x在(0,+∞)上单调递增,故B正确;f(x)=x2-4x在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故C错误;f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故D错误. 3.已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围为(　　) A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞) 解析　C　函数f(x)=-x2+ax+1的图象对称轴为x=,依题意,2<<6,得4<a<12,所以a的取值范围为(4,12). 4.若函数y=f(x)在R上单调递增,则满足不等式f(2x)>f(-1)的x的取值范围为　　　　　.  答案　 解析　因为y=f(x)在R上单调递增,且f(2x)>f(-1), 所以2x>-1,解得x>-,即. 1.下列函数中,在(-∞,0)上是减函数的是(　　) A.y= B.y=1-x2 C.y=x2+x D.y= 解析　A　因为y=1-x2在(-∞,0)上单调递增,故B错误;因为y=x2+x在上单调递减,在上单调递增,故C错误;因为y=在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递减,故D错误;因为y=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,而(-∞,0)⊆(-∞,1),故A正确. 2.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是(　　) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 解析　A　f(x)=|x-2|x= 画出f(x)的图象如图, f(x)的单调递减区间为[1,2]. 3.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则有(　　) A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解析　A　定义域在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,可得函数f(x)是定义域在R上的增函数,所以f(-2)<f(1)<f(3). 4.若函数y=x2-2ax+1在区间[-2,1]上为单调减函数,则实数a的取值范围为(　　) A.a<-2 B.a≤-2 C.a>1 D.a≥1 解析　D　y=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为x=a,要想y=x2-2ax+1在区间[-2,1]上为单调减函数,则a≥1. 5.若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 解析　A　要使f(x)在R上是减函数,需满足解得≤a<. 6.(多选)函数y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,且0<x1<x2,则下列选项正确的是(　　) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-f(x2)>0 C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 D.>0 解析　ABC　对于A,B选项,y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,且0<x1<x2,故f(x1)>f(x2),f(x1)-f(x2)>0,A,B正确;对于C,D选项,因为x1-x2<0,f(x1)-f(x2)>0,所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,<0,C正确、D错误. 7.∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},若f(x)=x+1,g(x)=x2-2x-3,则M(x)的单调递减区间为　　　　.  答案　[-1,1] 解析　根据已知函数解析式,可得示意图如图,M(x)为实线部分图象,由图知,M(x)的单调递减区间为[-1,1]. 8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f(x2-2)的解集为　　　.  答案　(,2) 解析　根据题意,f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,可得 解得 <x<2. ∴不等式的解集为(,2). 9.用函数单调性的定义证明:f(x)=在(-1,1)上为单调递增函数. 证明　任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- =, 因为+1>0,+1>0,x2-x1>0,且x1,x2∈(-1,1),x1x2-1<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增. 10.已知函数f(x)=(x>0). (1)证明:f(x) 在(0,+∞) 上是增函数; (2)若f>f(1),求m的取值范围. (1)证明　任选0<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=-==, 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0, 故f(x1)-f(x2)=<0, 所以f(x1)<f(x2), 所以f(x) 在(0,+∞) 上是增函数. (2)解　因为f>f(1),且f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以解得<m<2,故m 的取值范围是. 11.(多选)下列说法正确的是(　　) A.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的增函数 B.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是减函数 C.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数 D.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,则函数f(x) 在R上是增函数 解析　BC　对于A,如f(x)=满足f(2)>f(1),但f(x)不是R上的增函数,所以A错误;对于B,若函数f(x)在R上为减函数,则对于任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)>f(x2)成立,故若f(2)>f(1),函数f(x)在R上不是减函数,故B正确;对于C,若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在[0,+∞)上也是增函数,则满足对于任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立,则函数f(x)在R上是增函数,故C正确;对于D,设函数f(x)=是定义在R上的函数,且 f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,但f(-1)=f(1)=0,不符合增函数的定义,所以f(x)在R上不是增函数,故D错误. 12.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0) B.[-2,-1] C.[-2,0) D.(-∞,-1] 解析　B　因为函数f(x)=是R上的增函数, 所以解得-2≤a≤-1,即实数a的取值范围是[-2,-1]. 13.已知定义在R上的函数f(x)图象关于直线x=1轴对称,且∀x1,x2>1,x1≠x2 时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,记a=f,b=f,c=f,则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　A　由∀x1,x2>1,x1≠x2时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,得函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,又函数f(x)图象关于直线x=1轴对称,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增.又因为≈=0.3(离x=1最远),≈=0.15(最靠近x=1),≈=0.2,所以f>f>f,即b>c>a. 14.已知f(x)=x+,x∈(0,+∞). (1)证明:当a>0 时,f(x) 在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)若f(x)在(2,+∞)上单调递增,求a 的取值范围. (1)证明　任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=-=(x2-x1)+ =(x2-x1)+=. ∵x1,x2∈(0,+∞),∴x1x2>0. ∵x1<x2,∴x2-x1>0. ①若a>0,则当0<x1<x2<时,x1x2-a<0,∴f(x2)-f(x1)<0, 即f(x1)>f(x2), ∴f(x) 在(0,)上单调递减; 当x2>x1>时,x1x2-a>0, ∴f(x2)-f(x1)>0, 即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(,+∞)上单调递增. ②若a<0,则x1x2-a>0, ∴f(x2)-f(x1)>0, 即f(x1)<f(x2), ∴f(x) 在(0,+∞) 上单调递增. 故当a>0 时,f(x)=x+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)解　由(1)可知当a<0 时,符合题意; 当a>0 时,因为f(x) 在(,+∞)上单调递增,要想f(x)在(2,+∞)上单调递增,须有≤2,即a≤4; 当a=0时,f(x)=x,在(2,+∞)上单调递增,符合要求. 综上,a∈(-∞,4]. 15.函数y=f(x)对于任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则(　　) A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3 B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3 C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2 D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2 解析　D　任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1.∵x2-x1>0,且当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1,∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上是增函数.∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,∴f(1)=2. 16.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,∀x>0,y>0,f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)证明:f(x)是(0,+∞)上的减函数; (3)若f(2)=-3,求不等式f(x-7)-f>-9的解集. (1)解　令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0. (2)证明　设x1=xy>0,x2=y>0,且x1>x2,则x>1. 因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(x1)-f(x2)=f(xy)-f(y)=f(x). 当x>1时,f(x)<0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2), 则f(x)是(0,+∞)上的减函数. (3)解　令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=-6. 令x=2,y=4,得f(8)=f(2)+f(4)=-9. 因为f(xy)=f(x)+f(y), 所以f(xy)-f(y)=f(x), 所以f(x-7)-f=f(x2-7x), 则不等式f(x-7)-f>-9等价于不等式f(x2-7x)>f(8). 由(2)可知,f(x)是(0,+∞)上的减函数,则 解得7<x<8, 即不等式f(x-7)-f>-9的解集为(7,8). 学科网（北京）股份有限公司 $