3.2.1 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

4.ABD[对于A,因为f(.x) x+22≤-1， x2,-1<x<2, 所以f(-1)=-1+2=1, 所以f(f(-1)=f(1)=1=1,故A正确： 对于B,若f(x)=3,则当x≤一1时， f(x)=x十2=3，解得x=1(舍)； 当-1<x<2时，f(x)=x=3,解得x=一√3（舍）或 x=3, 所以f(x)=3的解为x=√3，故B正确； 对于C,当x一1时，f(x)=x十2<1，解得x<一1； 当-1<x<2时，f(x)=x<1,解得-1<x<1. 所以f(x)<1的解集为(-∞，-1)U(-1,1),故C 错误； 对于D,当x≤-1时，f(x)=x十2≤-1+2=1； 当-1x<2时，f(x)=x2∈[0,4). 所以f(x)的值域为(-o,4),故D正确.] 5.解：(1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30]， 190,x∈[12,20]， g(x)= 12x+50,x∈(20,30]. (2)①12≤x≤20时，6.x=90,解得：x=15, 即当12≤x<15时，f(x)<g(x), 当x=15时，f(x)=g(x), 当15<x≤20时，f(x)>g(x). ②当20<x≤30时，f(x)>g(x), 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算， 当x=15时，两家俱乐部一样合算， 当15<x≤30时，选B俱乐部合算. 随堂步步夯实 1.B2.B 3.(1)1(2)3 4.2 5.解：(1)函数的定义域为(0,12)，当0<x≤4时，f(x)= 号×4Xx=2z:当4K<8时)=号×4×4=8：当 8<<12时x)=合×4X12-)=24-2x 「2x,x∈(0,4]， 所以函数解析式为f(x)=8,x∈(4,8]， 24-2x,x∈(8,12). (2)图象如图所示，从图象可以看出f(x)的值域 为(0,8]. 2 024681012x ·38 参考答案 3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 课前预习学案 情境引入 提示：(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小， 这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习 刚学习过的知识， (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线 知识梳理 知识点一、(1)f(x1)<f(x2)单调递增(2)f(x1)> f(x,)单调递减 知识点二、单调递增单调递减单调区间 [思考] 1.提示：不能。 2.提示：不一定，可能是定义域的一部分 3.提示：y= 在定义城上不是减函数，但是它有两个单 递减区间（一c,0),(0,十∞）. 预习自测 1.D2.D3.(-o,1]和(1，+o) 课堂互动学案 [例1][证明]对于任意的x1,x2∈（一∞，0），且x1< x方r(）一f（x）=泛一=2i xiz =（x一)(z2十1) rir x1<x2<0, ∴.x2x1>0,x1+x2<0,xix>0. ∴.f(x1)-f(x)<0,即f(x1)<f(x). “函数(x)=专在（一©0）上是增函数 对于任意的x1x∈(0，十∞)，且x1<x2,有 fz)-f(x,)=3-3)(2十x) TiT2 0<x1<x2∴x2-x1>0,x2十x1>0,xix>0. f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2) “函数f(x)=在(0，+6o)上是减函数. x [例2][解]y=-x+2x|+3 ={厂x+2x+3=-(x-10+4,(x≥0. {-x2-2x+3=-(x+1)2+4,(x<0). 函数图象如图所示， -3-1013x 函数在（一∞，一1），[0,1)上是增函数， 函数在[一1,0)，[1，十o)上是减函数 ∴.函数的单调增区间是（一∞，一1）和[0,1)， 单调减区间是「一1,0)和「1，十o). 数学·必修第一册 [例3][解析](1)B[:f(x)在(0，+∞)上是减函数， 3.解：：f(x)是定义在(0，十∞)上的减函数，且f(x)< 且d-a+1=(e-）+>>0 f(2x-3), x>0, a-a+D≤f(）门 2z-3>0,解得8<<3. (2)因为函数f(x)在定义域（一1,1）上是减函数，且 x>2x-3, f(1-a)≤f(3a-2),所以-1<3a-2≤1-a<1,解得a :的取值花网是（合3 (合 ax十3，x1, 4.解析：(1)BCD [因为函数f(x) 2a-1 [答案] (合] ,x>1 [例4][解]f(x)=x2+2(a-1)x十2 -a<0, =[x+(a-1)]-(a-1)2+2, R上的减函数，所以有 2a-1>0, .此二次函数的对称轴为x=1一a. a·1+3≥2a-1 解得<a 1 ∴.f(x)的单调递减区间为(-∞，1一a]. f(x)在（一∞，4]上是减函数， ≤子，因光选项B.C,D持合题意，故选BCD.] ',对称轴x=1一a必须在直线x=4的右侧或与其 (2)当k=0时，f(x)=-2x-5,显然此函数在（一o,1] 重合 上单调递减； ∴.1一a≥4，解得a3. 当k≠0时，函数f(x)图象的对称轴为直线x= 变式训练 1解：将点-1-1（分号）的坐标代入解析式 -36,2,要使函数fx)在（一∞，1]上单调递减， 2k k>0, -a+b 只需满足 1+1 3k2≥1 解得0<k≤名 2k 得 1 a+6 4 综上所述，实数：的取值范围是[0，号] (合)+1 5 答案[引 解得8=2·故f)= 2x 1b=0, 2+1 随堂步步夯实 (2)证明：任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, 1.ABC 2.C 2x1_2x2 3.(-co,1][1,+o∞) 则f(x)-f(x)= zi+1 z+1 4【12) 2x1x+2x1-2x2x-2x2 (xi+1)(x+1) 5.证明：设x1x2是R上的任意两个实数，且x1<x2, 2x1x2(x-x1)-2(x2-x1)2(x1x2-1)(x2-x1) 则f(x2)-f(x1)=(x十x2)-(x+x1) (x+1)(x+1) (xi+1)(x+1) =(x-x1)(x+x2x1+x)+(x-1) 因为x1,x2∈(-1,1)，x1<x2, =(x2-x1)(x+x2z1十x+1) 所以x1x2-1<0,x2-x1>0,x+1>0,x+1>0, 故f0)-f)=220-x<0. =-西[+学)+子+1. (x+1)(x+1) 故f(x1)<f(x2), “(+受)+子+1>0函-4>0， 所以f(x)在（一1,1）上单调递增. ∴.f(x2)一f(x1)>0,即f(xg)>f(x1), 2.解：f(x)= -x-3,(x≤1) .函数f(x)=x3十x在R上是增函数 的图象如图所示， {(x-2)2+3,(x>1) 第2课时函数的最大值、最小值 课前预习学案 情境引入 (1)提示：图①中函数y=一x2的图象上有一个最高点： 图②中函数y=一x的图象上没有最高点. 20 (2)提示：对任意x∈R,都有f(x)≤f(0). 知识梳理 知识点一、≤≥f(z)=M纵坐标纵坐标 [思考] 由图可知，函数的单调递减区间为（一∞，1]和(1,2）；单 提示：不一定.如函数f(x)=一x≤1恒成立，但是1不 调增区间为「2，十©). 是函数的最大值 ·386·第三章函数的概念与性质 3.2菡数的基本性质 3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 课程标准 素养解读 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性 符号表达的抽象过程，提升数学直观素养 2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义 2.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理 3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性 和数学运算素养 ●1 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 [知识点一]增函数、减函数的概念 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I: 试，得到了以下一些数据： (1)如果Hx1,x2∈D,当x1<x2时，都有 ,那么就称函数f(x)在区间D上单调 刚记 8-9 时间 20分60分 1天 2天 6天 一个 递增（如图①）， 忆完 小时 间隔t 钟后 钟后 后 后 后 月后 特别地，当函数f(x)在它的定义域上 毕 后 时，我们就称它是增函数. 记忆量 y=f(x) y(百 100 58.2 44.2 35.8 33.727.825.421.1 y=f(x) 分比) f（x) f(x2) f(x1) f（x2) 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾 宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯 遗忘曲线”，如图. 图① 图② (2)如果Hx1,x2∈D,当x1<x2时，都有 ,那么就称函数f(x)在区间D 100 上单调递减（如图②） 6 40 特别地，当函数f(x)在它的定义域上 20 时，我们就称它是减函数， 2 艾宾浩斯 ?思考1.在增函数和减函数定义中，能否把 [问题](1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对 “任意x1,x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”? 应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验， 你打算以后如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降 [知识点二]函数的单调性与单调区间 的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 如果函数y=f(x)在区间D上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x) 的 ·67. 数学·必修第一册 纪思考2.区间D一定是函数的定义域吗？ 2.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区 3.函数y=二在定义域上是减函数吗？ 间，且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与f(x2)的大小关系是 A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) [预习自测] C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 1.下列结论中，正确的是 ( 3.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 A.函数y=kx(k为常数，且k<0)在R上 是增函数 f(x)的单调递增区间是 B.函数y=x2在R上是增函数 C函数y一在定义域内是减函数 D.y-在(-6,0)上是减函数 ● 课堂。互动学案 题型- 函数单调性的判定写证明 规律方法 2.利用定义证明函数的单调性时，常用的 [例1)求证：函数f)=在0，十)上是 变形技巧有哪些？ (1)因式分解.当原函数是多项式函数时， 减函数，在（一∞，0）上是增函数， 作差后的变形通常进行因式分解.如f [思路点拔了依函数单调性的定义证明. (x)=x3-1. (2)通分.当原函数是分式函数时，作差后 往往进行通分，然后对分子进行因式分 解.如本例 (3)配方.当原函数是二次函数时，作差后 可以考虑配方，便于判断符号. (4)分子有理化.当原函数是根式函数时， 作差后往往考虑分子有理化.如f(x) =√x十1 ⊙[变式训练] 1,已知函数f(x)=a且经过(-1，-1)， x2+1 规律方法 日两点 1.利用定义判断或证明函数单调性的4个 (1)求函数f(x)的解析式； 步骤 (2)利用单调性的定义证明：f(x)在（一1,1）上 单调递增. 、取值 设1,2是该区间内的任意两个值，且1< 作差f(x)-f(x2)或f(x2)-f(x),并通过因式分解、 配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方 变形 向变形，一般化为积的形式 号 确定差f(x)-f(x)或f(x2)-f(x)的符号，当符号不 确定时，可以进行分类讨论 结论 根据定义得出结论 ·68· 第三章函数的概念与性质 题型】 求函数的单调区间 题型 利用单调性比较大小 [例2]画出函数y=一x2十2|x|十3的图象， [例3](1)若函数f(x)的定义域为R,且在 并指出函数的单调区间： (0,十∞)上是减函数，则下列不等式成立 [思路点拨]先转化为分段函数，再画其 的是 图象 Af(}f。-a+) B≥a-a+D C.fa-a+D) D.f(a-a+l) 规律方法 (2)已知函数f(x)在定义域（一1,1）上是减 求函数单调区间的两个方法及三个关 函数，且f(1一a)≤f(3a一2)，则a的取值 注点 范围是 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定 汇思路点拨了依据单调性的定义判断， 规律方法 义法进行判断求解. 1.利用单调性比较大小的方法 方法二：图象法，即先画出图象，根据函 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量 数图象求单调区间. (函数值)的大小，即已知f(x)在区间 (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数 D上为增函数，则对x1,x2∈D,x1<x2 的定义域， 台f(x1)<f(x2). 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例 (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将 函数的单调区间作为常识性的知识，可以 自变量x的值转化到同一单调区间上 直接使用， 才能进行比较，最后写结果时再还 关注三：函数图象不连续的单调区间要 原回去. 分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U” 2.利用函数单调性解不等式 连接， 与函数单调性有关的结论 ⊙[变式训练] (1)正向结论：若y=f(x)在给定区间上是 增函数，则 x-3, (x≤1) 2.作出函数f(x)= {2+8, 的 当x1<x2时，f(x1)<f(x2); (x>1) 图象，并指出函数的单调区间. 当x1>x2时，f(x1)>f(x2)； (2)逆向结论：若y=f(x)在给定区间上是 增函数，则 当f(x1)<f(x2)时，x1<x2; 当f(x1)>f(x2)时，x1>x2 (3)当y=f(x)在给定区间上是减函数时， 也有(1)(2)相应的结论 ·69 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] 规律方法 3.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，且 1.函数单调性的定义具有“双向性”；利用 f(x)<f(2x-3),求x的取值范围. 函数单调性的定义可以判断、证明函数 的单调性，反过来，若已知函数的单调 性，可以确定函数中参数的范围 2.利用函数的单调性可以比较函数值或自 变量的大小，例如，若函数f(x)的解析 式是未知的，欲求x的取值范围，我们可 以根据函数单调性的定义（也就是函数 单调性的性质)，将符号“”脱掉，只要注意 单调性的综合应用 到函数的定义域，即可列出关于x的不等 题型四 式（组） [例4幻已知函数f(x)=x2十2(a一1)x+2在 3.若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则 区间（一∞，4]上是减函数，求实数a的取值 此函数在这一单调区间内的任意子集上 范围. 也是单调的， 思路点拨町“解答本题可先将函数解析式 4.已知函数的单调性求参数的取值范围， 要注意数形结合思想，采用逆向思维.利 配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称 用已知函数研究函数单调性问题，像一 轴与所给区间的位置关系，利用数形结合 次函数、二次函数、正、反比例函数的单 求解， 调性不必用定义研究，直接判断即可. ◇[变式训练] -ax+3,x≤1， 4.（1)(多选)f(x)= 2a-1 ,x>1 是R上 的减函数，则实数a的取值可以是( A号 R号 C.1 D.3 (2)若函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在 (一∞，1]上单调递减，则实数的取值范围 是 ● 随堂。步步夯实 1.（多选)函数y=f(x)是(0，+∞)上的减函 C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 数，且0<x1<x2,则下列选项正确的是 D.fa）-fx)>0 C1-x2 ( 2.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,8]上是单 A.f(x1)>f(x2) 调函数，则的取值范围是 B.f(x1)-f(x2)>0 A.（-∞，40] B.(40,64) C.(-o∞，40]U[64,+∞)D.[64,+∞) ·70· 第三章函数的概念与性质 3.函数y=x2一2x的单调递减区间是 5.用定义法证明：函数f(x)=x3+x在R上 ,单调递增区间是 是增函数. 4.已知函数f(x)为定义在区间[一1,1]上的增函 数，则满足f(x)< 的实数x的取值范围 C温馨提西 为 学习至此，请完成配套训练 第2课时 函数的最大值、最小值 课程标准 素养解读 1.理解函数的最大（最小）值及几何意义 在运用函数单调性充要条件过程中， 2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式 提升数学运算和逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 续表 观察下列两个函数的图象，回答有关问题： 最大值 最小值 结论 称M是函数y= 称M是函数y= f(x)的最大值 f(x)的最小值 几何 f(x)图象上最 f(x)图象上最低 图① 图② 意义 高点的 点的 (1)比较两个函数的图象，它们是否都有最 高点？ 口思考 如果函数f(x)对于定义域内的任 (2)通过观察图①你能发现什么？ 意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函 数f(x)的最大值吗？ 知识点二]对函数最大（小）值的理解 (1)注意对“存在”一词的理解.M首先是一个 [知识梳理] 函数值，它是值域中的一个元素.如f(x) [知识点一]函数的最大值与最小值 =-x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)=0. 最大值 最小值 (2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成 立，“任意”是说每一个值都满足不等式。 般地，设函数y=f(x)的定义域为 (3)两条缺一不可，若只有(1)，M不一定是最 I,如果存在实数M满足：Hx∈I, 大（小）值.如f(x)=-x2(x∈R),对任意 条件 都有 x∈R,都有f(x)≤1成立，但1不是其最 f(x) M f(x) M 大值，否则大于零的任意实数都是最大值 3xo∈I,使得 了，故不能只有(1).同样，只有(2)时，M ·71·