3.2.1 第2课时　函数的最大(小)值 [讲义]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2课时　函数的最大(小)值 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. 3.会借助函数的单调性求最值. 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况,能否观察到曲线表示的最高与最低气温? 你能否借助函数的概念、图象用数学符号语言来描述呢?这需要进一步研究函数的基本性质——函数的最大(小)值. 知识点一　函数的最大(小)值 项目 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 ∀x∈D,都有 ∀x∈D,都有 ∃x0∈D,使得 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上 点的 f(x)图象上 点的 　(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略. (1)任何函数都有最大值或最小值.( ) (2)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是 f(a)(或f(b)).( ) (3)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.( ) (4)如果函数f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则函数的最大值为f(b).( ) [例1]　给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},请分别用解析法和图象法表示函数M(x); (3)写出函数M(x)的单调区间和最值. 　图象法求函数最值的一般步骤 1.已知函数f(x)=作出函数y=f(x)的图象,并指出f(x)的最大值、最小值. 知识点二　利用单调性求函数的最值 [例2]　已知函数f(x)=. (1)用定义证明f(x)在区间[1,+∞) 上是增函数; (2)求该函数在区间[2,6]上的最大值与最小值. 1.利用单调性求函数最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). 【注意】　求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 2.已知f(x)=,x∈(-2,0). (1)求证:函数f(x)在区间(-2,0)上是减函数; (2)求函数f(x)在区间(-2,0)上的值域. 知识点三　实际问题中的最值 [例3]　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入 100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 1.对于实际应用问题,首先要审清题意,确定自变量和因变量的条件关系,列出函数关系式,建立数学模型,同时要注意自变量的取值范围. 2.分析函数的性质(多涉及二次函数、分段函数),选择合适的数学方法从而解决数学问题,进行验证或评估,回归题意. 3.国庆节期间,全国各地景区游客逐渐增多,旅游市场回暖升温.某景区山下的海景酒店有50间海景房,若每间房一天的住宿费用为600元时,房间恰好住满;若将每间房一天的收费标准提升20x(0≤x≤50,x∈N* )元,则入住的房间会相应减少x间. (1)求该海景酒店每天的收入y元关于x的函数解析式; (2)若要使该海景酒店每天的收入最多,则每间房的住宿费用可定为多少元?当日收入为多少元? 知识点四　二次函数的最值问题 [例4]　已知二次函数f(x)=x2-2ax-3. (1)当a=1时,求f(x) 的最小值; (2)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最小值. 　本例条件不变,当x∈[-2,3]时,求f(x)的最大值. 　对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型 1.区间固定,对称轴变动(含参数),求最值. 2.对称轴固定,区间变动(含参数),求最值. 3.区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 4.已知函数f(x)=-x2+8x,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值g(t). 1.知识清单: (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. 2.方法归纳:配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区:在利用单调性求最值时,忽略求函数的定义域;求含参数的二次函数的最值时忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-1,0 B.0,2 C.-1,2 D.,2 2.设函数f(x)=3x-1(x<0),则f(x)(　　) A.有最大值 B.有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值 3.已知y=x2+3x+1,则y的最小值为(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- 4.用长度为24 m的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为　　　　m.  1.如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[-4,-1]和[1,3]上单调递减 B.f(x)在(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2 C.f(x)在[-4,1]上有最大值2,有最小值-1 D.当直线y=m与函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象有交点时-2<m<3 2.已知f(x)=,则y=f(x)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为(　　) A.与 B.与1 C.与 D.与 3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 4.已知函数f(x)=-x2+x+1,x∈的最值情况为(　　) A.有最小值,有最大值1 B.有最小值,有最大值 C.有最小值1,有最大值 D.有最小值,无最大值 5.当x∈[0,2]时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3(a>0),在x=2时取得最大值,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D.[1,+∞) 6.(多选)已知函数f(x)=,下列选项正确的是(　　) A.若f(x)=2,则x=14 B.函数f(x)在定义域内是减函数 C.若x∈[2,8]时,则f(x)的值域是[-1,5] D.若x∈N,则函数f(x)有最小值也有最大值 7.已知二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)>1,f(4b-a)=f(3-a2),则f(x)的最小值为　　　　.  8.已知f(x)=,x∈[2,6]. (1)证明:f(x)是定义域上的减函数; (2)求f(x)的最大值和最小值. 9.某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a(a为正常数)万元,现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100),而分流出的从事第三产业的人员,平均每人每年可创造产值1.2a万元.在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出多少人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多? 10.(多选)已知f(x)=x,g(x)=x2-2x,F(x)=则(　　) A.F(x)的最大值为3 B.F(x)的最小值为-1 C.F(x)无最小值 D.F(x)无最大值 11.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,4]的值域是[0,4],则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(0,2] C.[0,2] D.[2,4] 12.(多选)已知函数f(x)=x-(a≠0),下列说法正确的是(　　) A.当a>0 时,f(x)在定义域上单调递增 B.当a=-4 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞) C.当a=-4 时,f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞) D.当a>0 时,f(x)的值域为R 13.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-2. (1)若关于x的方程f(x)+3=0有两个不等的正实数根,求实数a的取值范围; (2)当x∈[1,2]时,设f(x)的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 14.已知函数y=,x∈(a,b]的最小值为2,则a的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) 15.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对∀x1∈[-1,2],∃x2∈[-1,2]使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是(　　) A. B. C.(0,3] D.[3,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数的最大(小)值 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. 3.会借助函数的单调性求最值. 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况,能否观察到曲线表示的最高与最低气温? 你能否借助函数的概念、图象用数学符号语言来描述呢?这需要进一步研究函数的基本性质——函数的最大(小)值. 知识点一　函数的最大(小)值 项目 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 ∀x∈D,都有f(x)≤M ∀x∈D,都有f(x)≥M ∃x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 　(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略. (1)任何函数都有最大值或最小值.(×) (2)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是 f(a)(或f(b)).(×) (3)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.(√) (4)如果函数f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则函数的最大值为f(b).(√) (教材例4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1 m)? 解　画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 当t=-=1.5时,函数有最大值 h=≈29. 于是,烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为29 m. [例1]　给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},请分别用解析法和图象法表示函数M(x); (3)写出函数M(x)的单调区间和最值. 　(1)利用一次函数、二次函数作图的方法作出函数f(x),g(x)图象. (2)求出函数M(x)的解析式,再画出其图象. (3)利用(2)中图象求出单调区间及最值. 解　(1)函数f(x)=x+1,x∈R的图象是过点(-1,0),(0,1) 的直线, 函数g(x)=(x-1)2,x∈R的图象是开口向上,顶点坐标为(1,0)的抛物线, 函数f(x),g(x)的图象如图所示. (2)由x+1≤(x-1)2,即x2-3x≥0,得x≤0或x≥3,由x+1>(x-1)2,得0<x<3, 所以M(x)=函数M(x)的图象如图. (3)由(2)中图象知,函数M(x)的单调递减区间是(-∞,0],单调递增区间是[0,+∞), 当x=0 时,函数M(x)取得最小值1,无最大值. 　图象法求函数最值的一般步骤 1.已知函数f(x)=作出函数y=f(x)的图象,并指出f(x)的最大值、最小值. 解　作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(1)=f(-1)=1. 当x=0时,f(x)取最小值为f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0. 知识点二　利用单调性求函数的最值 (教材例5)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值. 解　∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=- ==. 由2≤x1<x2≤6, 得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0, 于是f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), 所以,函数f(x)=在区间[2,6]上单调递减. 因此,函数f(x)=在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4. [例2]　已知函数f(x)=. (1)用定义证明f(x)在区间[1,+∞) 上是增函数; (2)求该函数在区间[2,6]上的最大值与最小值. 　(1)设值→作差→判断符号→得出结论. (2)根据(1)的结论,利用函数的单调性求解. (1)证明　设任意的x1,x2∈[1,+∞),x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- =, ∵1≤x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在区间[1,+∞)上是增函数. (2)解　由(1)知,f(x)在区间[2,6]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=,f(x)max=f(6)=. 即函数f(x)在区间[2,6]上的最大值为,最小值为. 1.利用单调性求函数最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). 【注意】　求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 2.已知f(x)=,x∈(-2,0). (1)求证:函数f(x)在区间(-2,0)上是减函数; (2)求函数f(x)在区间(-2,0)上的值域. (1)证明　任取x1,x2∈(-2,0),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=- =x2+-x1-=(x2-x1)+ =(x2-x1), 又因为x1,x2∈(-2,0),且x1<x2,所以x1x2-4<0,x2-x1>0,x1x2>0, 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), 所以函数f(x)在区间(-2,0)上是减函数. (2)解　由(1)知函数f(x)在区间(-2,0)上是减函数,又f(-2)=-4, 所以函数f(x)在区间(-2,0)上的值域为(-∞,-4). 知识点三　实际问题中的最值 [例3]　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入 100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 　(1)根据已知关系式,结合利润、收益、成本关系写出利润的解析式. (2)由(1)所得解析式,结合分段函数的性质求出各个区间的最大值,作比较找出最大值,并确定取值条件. 解　(1)设月产量为x台,则总成本为(20 000+100x)元, 故f(x)= (2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000; ∴当x=300时,f(x)max=25 000, 当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000. ∴当x=300时,f(x)取得最大值25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元. 1.对于实际应用问题,首先要审清题意,确定自变量和因变量的条件关系,列出函数关系式,建立数学模型,同时要注意自变量的取值范围. 2.分析函数的性质(多涉及二次函数、分段函数),选择合适的数学方法从而解决数学问题,进行验证或评估,回归题意. 3.国庆节期间,全国各地景区游客逐渐增多,旅游市场回暖升温.某景区山下的海景酒店有50间海景房,若每间房一天的住宿费用为600元时,房间恰好住满;若将每间房一天的收费标准提升20x(0≤x≤50,x∈N* )元,则入住的房间会相应减少x间. (1)求该海景酒店每天的收入y元关于x的函数解析式; (2)若要使该海景酒店每天的收入最多,则每间房的住宿费用可定为多少元?当日收入为多少元? 解　(1)由题意,y=(600+20x)(50-x)=30 000+400x-20x2(0≤x≤50,x∈N*). (2)由(1)知,y=-20(x-10)2+32 000, 所以当x=10 时,ymax=32 000(元), 故要使该酒店每天的收入最多,每间房的住宿费用可定为800元,当日收入为32 000元. 知识点四　二次函数的最值问题 [例4]　已知二次函数f(x)=x2-2ax-3. (1)当a=1时,求f(x) 的最小值; (2)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最小值. 　(1)利用配方法求二次函数的最小值. (2)求出二次函数的对称轴,再根据对称轴与区间[-2,3]的位置关系确定函数在此区间上的单调性,分类讨论求函数的最小值. 解　(1)当a=1时,f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,故f(x)的最小值为f(1)=-4. (2)f(x)=(x-a)2-a2-3,对称轴为直线x=a. 当a≤-2时,f(x)在[-2,3]上单调递增,f(x)的最小值为f(-2)=4a+1; 当-2<a<3时,f(x)的最小值为f(a)=-a2-3; 当a≥3时,f(x)在[-2,3]上单调递减,f(x)的最小值为f(3)=-6a+6. 综上,f(x)min= 　本例条件不变,当x∈[-2,3]时,求f(x)的最大值. 解　f(x)=(x-a)2-a2-3,对称轴为直线x=a. 当a≥时,f(x)的最大值为f(-2)=4a+1; 当a<时,f(x)的最大值为f(3)=6-6a. f(x)max= 　对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型 1.区间固定,对称轴变动(含参数),求最值. 2.对称轴固定,区间变动(含参数),求最值. 3.区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 4.已知函数f(x)=-x2+8x,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值g(t). 解　f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当t+1≤4,即t≤3时,g(t)=f(t+1)=-t2+6t+7; 当t<4<t+1,即3<t<4时,g(t)=f(4)=16; 当t≥4时,g(t)=f(t)=-t2+8t. 综上所述,g(t)= 1.知识清单: (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. 2.方法归纳:配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区:在利用单调性求最值时,忽略求函数的定义域;求含参数的二次函数的最值时忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-1,0 B.0,2 C.-1,2 D.,2 解析　C　由题图可得,函数f(x)在x=-2处取得最小值-1,在x=1处取得最大值2. 2.设函数f(x)=3x-1(x<0),则f(x)(　　) A.有最大值 B.有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值 解析　D　由题意可知函数单调递增,但x<0,取不到最大值,也没有最小值. 3.已知y=x2+3x+1,则y的最小值为(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- 解析　C　y=x2+3x+1=-,其图象是对称轴为x=-,开口向上的抛物线,所以当x=-时,y有最小值,最小值为-. 4.用长度为24 m的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为　　　　m.  答案　3 解析　设隔墙长度为x m,则0<x<6,场地面积为S m2,则S=x· =12x-2x2=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,S有最大值. 1.如图是函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[-4,-1]和[1,3]上单调递减 B.f(x)在(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2 C.f(x)在[-4,1]上有最大值2,有最小值-1 D.当直线y=m与函数y=f(x),x∈[-4,3]的图象有交点时-2<m<3 解析　A　A选项,由函数f(x)的图象可得,在[-4,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,故A正确;B选项,由图象可得,函数f(x)在(-1,3)上的最大值为3,无最小值,故B错误;C选项,由图象可得,函数f(x)在[-4,1]上有最大值3,有最小值-2,故C错误;D选项,由图象可得,为使直线y=m与函数f(x)的图象有交点,只需-2≤m≤3,故D错误. 2.已知f(x)=,则y=f(x)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为(　　) A.与 B.与1 C.与 D.与 解析　A　因为f(x)=在[2,8]上单调递减,所以f(x)min=f(8)=,f(x)max=f(2)=. 3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 解析　C　当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2,则a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,则a=-2.综上,a=±2. 4.已知函数f(x)=-x2+x+1,x∈的最值情况为(　　) A.有最小值,有最大值1 B.有最小值,有最大值 C.有最小值1,有最大值 D.有最小值,无最大值 解析　B　由题意可知,函数f(x)=-x2+x+1在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f=-++1=,又因为f(0)=1,f=-++1=,故f(x)min=f=. 5.当x∈[0,2]时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3(a>0),在x=2时取得最大值,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D.[1,+∞) 解析　C　当a>0时,f(x)为图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=-2.由题意知:⇒⇒解得a≥. 6.(多选)已知函数f(x)=,下列选项正确的是(　　) A.若f(x)=2,则x=14 B.函数f(x)在定义域内是减函数 C.若x∈[2,8]时,则f(x)的值域是[-1,5] D.若x∈N,则函数f(x)有最小值也有最大值 解析　AD　对于A,由f(x)=2,可得=2,解得x=14,故A正确;对于B,f(x)==1+的定义域为(-∞,6)∪(6,+∞),所以f(x)在(-∞,6)上单调递减,且f(x)<1,所以f(x)在(6,+∞)上单调递减,且f(x)>1,故f(x)在(-∞,6)∪(6,+∞)上不是单调函数,故B错误;对于C,由B可得,当x∈[2,6)时,f(x)≤f(2)=-1,当x∈(6,8]时,f(x)≥f(8)=5,所以f(x)的值域是(-∞,-1]∪[5,+∞),当x=6时,f(x)无意义,故C错误;当x∈N且x∈[0,6)时,-7=f(5)≤f(x)≤f(0)=-,当x∈N且x∈(6,+∞)时,1<f(x)≤f(7)=9,所以若x∈N,则函数f(x)有最小值也有最大值,故D正确. 7.已知二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)>1,f(4b-a)=f(3-a2),则f(x)的最小值为　　　　.  答案　- 解析　如果4b-a=3-a2,则b=(-a2+a+3)=-+≤,这与f(0)=b>1矛盾,所以4b-a≠3-a2,由f(4b-a)=f(3-a2),得4b-a+3-a2=2,即4b=a2-3,∴f(x)的最小值为==-. 8.已知f(x)=,x∈[2,6]. (1)证明:f(x)是定义域上的减函数; (2)求f(x)的最大值和最小值. (1)证明　由已知可得f(x)===1+,x∈[2,6], 设2≤x1<x2≤6, 则f(x1)-f(x2)=-=-=, 因为x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x) 是定义域上的减函数. (2)解　由(1)可知f(x)max=f(2)==2,f(x)min=f(6)==. 9.某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a(a为正常数)万元,现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100),而分流出的从事第三产业的人员,平均每人每年可创造产值1.2a万元.在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出多少人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多? 解　设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足(100-x)·a·(1+2x%)≥100a, 因为a>0,0<x<100,可解得0<x≤50. 设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元, 则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a=-0.02a(x2-110x)=-0.02a(x-55)2+60.5a. 又x∈(0,50],故f(x)在(0,50]上单调递增, 所以当x=50时,f(x)max =60a, 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多. 10.(多选)已知f(x)=x,g(x)=x2-2x,F(x)=则(　　) A.F(x)的最大值为3 B.F(x)的最小值为-1 C.F(x)无最小值 D.F(x)无最大值 解析　CD　由f(x)≥g(x),得0≤x≤3;由f(x)<g(x),得x<0或x>3,所以F(x)= 作出函数F(x)的图象(图略),可得F(x)无最大值,无最小值.故选CD. 11.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,4]的值域是[0,4],则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(0,2] C.[0,2] D.[2,4] 解析　C　画出函数f(x)=-x2+4x的图象,如图所示, 易知f(0)=f(4)=0,f(2)=4. 若x∈[m,4]时的值域是[0,4],由图可知m∈[0,2]. 12.(多选)已知函数f(x)=x-(a≠0),下列说法正确的是(　　) A.当a>0 时,f(x)在定义域上单调递增 B.当a=-4 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞) C.当a=-4 时,f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞) D.当a>0 时,f(x)的值域为R 解析　BCD　当a>0时,f(x)=x-,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)在整个定义域上不具有单调性,故A错误;又当x→-∞ 时,f(x)→-∞,当x→0- 时,f(x)→+∞,所以f(x)的值域为R,故D正确;当a=-4 时,f(x)=x+,其图象如图所示, 由图象知,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞),值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),故B,C正确. 13.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-2. (1)若关于x的方程f(x)+3=0有两个不等的正实数根,求实数a的取值范围; (2)当x∈[1,2]时,设f(x)的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 解　(1)方程f(x)+3=0即x2+(2a-1)x+1=0,设方程两根为x1,x2, 要使方程有两个不等的正实数根,则 解得a<-,即a的取值范围是. (2)当x∈[1,2]时, ①若≥2,即a≤-,则f(x)在[1,2]上单调递减,∴f(x)min=f(2)=4a; ②若≤1,即a≥-,则f(x) 在[1,2]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=2a-2; ③若1<<2,即-<a<-,则f(x)min=f=-a2+a-. 综上,g(a)= 14.已知函数y=,x∈(a,b]的最小值为2,则a的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) 解析　D　由y===1+作出图象如图所示,由图象可得要取得最小值2,则a≥-1.∵在区间(a,b]上单调递减,则x=b时,取得最小值为2,即=1,可得b=2, ∴a的取值范围为[-1,2). 15.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对∀x1∈[-1,2],∃x2∈[-1,2]使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是(　　) A. B. C.(0,3] D.[3,+∞) 解析　D　∵函数f(x)=x2-2x的图象是开口向上的抛物线,且关于直线x=1对称,∴x1∈[-1,2]时,f(x)的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,可得f(x1)的值域为[-1,3],又∵g(x)=ax+2(a>0),x2∈[-1,2],∴g(x)为单调增函数,g(x2)的值域为[g(-1),g(2)],即g(x2)∈[2-a,2a+2],∵∀x1∈[-1,2],∃x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),∴解得a≥3. 学科网（北京）股份有限公司 $