3.2.1单调性与最大（小）值讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 讲义 目录 教学目标 1 知识点 1 知识点1 增函数与减函数的定义 1 知识点2 函数的最大值、最小值 1 知识点3 简单常见函数单调性 2 知识点4 复合函数单调性（同增异减） 2 知识点5 单调性常用性质 2 随学随练 2 典型题型 2 题型1：单调性概念辨析 2 题型2：定义法证明函数单调性 3 题型3：求简单函数、分段函数单调区间与最值（基础+中档） 4 题型4：利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 4 题型5：复合函数单调性 5 题型6：已知函数单调性求参数取值范围（中档高频） 5 题型7：闭区间上二次函数最值分类讨论（中档经典） 5 课后综合练习 6 答案与详细解析 7 本章复习小结 9 教学目标 课标要点 · 理解增函数、减函数、单调区间的定义，掌握单调性概念； · 掌握定义法证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、判号、下结论； · 会判断简单函数（一次、二次、分段函数）的单调区间； · 理解函数最大值、最小值定义，会求简单函数的最值； · 掌握复合函数单调性“同增异减”； · 利用单调性比较大小、解抽象函数不等式； · 已知单调性求参数取值范围。 重难点 重点：单调性定义与定义法证明；求单调区间；函数最值；单调性简单应用。 难点：作差变形的技巧；复合函数同增异减；已知单调性求参数；抽象函数不等式。 知识点 知识点1 增函数与减函数的定义 设函数的定义域为，区间。 · 增函数：如果，当时，都有，则称在区间上是增函数，区间叫单调递增区间。 · 减函数：如果，当时，都有，则称在区间上是减函数，区间叫单调递减区间。 > 注意：单调区间不能随便取并集；只能写成“和”或者逗号隔开。 定义法证明单调性五步： ①取值：任取，设； ②作差：计算； ③变形：因式分解、通分、配方，化成乘积/商形式； ④判号：判断正负； ⑤下结论。 知识点2 函数的最大值、最小值 设函数定义域，： · 最大值：若，都有，则叫函数最大值； · 最小值：若，都有，则叫函数最小值。 > 最值必须能够取到，即存在定义域内自变量使得函数值等于该最值。 知识点3 简单常见函数单调性 · 一次函数：在递增；在递减。 · 二次函数：递减；递增；相反。 知识点4 复合函数单调性（同增异减） ，内层，外层； · 内外层单调性相同，则复合函数增； · 内外层单调性相反，则复合函数减； · 前提：必须在同一个区间讨论，注意定义域。 知识点5 单调性常用性质 在同一区间上： · 均增，则递增；均减，则递减； · 增，则减；增，则减。 随学随练 1. 函数在上是 （增或减）函数。 1. 二次函数，它的单调递减区间是 。 1. 函数在区间上最小值为 。 1. 已知是区间上的增函数，则 （填、、） 典型题型 题型1：单调性概念辨析 解题贴士：理解“任意”，不能用特殊值代替任意；单调区间不能取并集。 例1（24‑25高一·广州月考）下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上是增函数 B. 的单调递减区间是 C. 对，，，则在递减 D. 函数在定义域上一定具备单调性 解析：A不能由两个特殊点判断整体；B单调区间不能写并集；D函数不一定单调；C符合减函数定义。答案C。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·石家庄期中）下列命题正确的是（ ） A. 如果存在，，则为增函数 B. 在上是增函数 C. 在上单调递减 D. 分段函数一定不具备单调性 1. （24‑25高一·南京阶段检测）函数，写出它的单调递减区间 。 1. （25‑26高一·武汉月考）判断：若函数在区间都递增，则在上递增，是否正确，说明理由。 题型2：定义法证明函数单调性 解题贴士：严格遵守五步；作差后重点做变形（因式分解、通分）。 例2（24‑25高一·济南期中）用定义证明：函数在上是增函数。 解析： 任取，设。 ，，，即。 在上为增函数。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·长沙月考）定义法证明在上是减函数。 1. （24‑25高一·福州期中）定义法证明在区间上单调递减。 1. （25‑26高一·成都阶段检测）定义法证明在上单调递增。 题型3：求简单函数、分段函数单调区间与最值（基础+中档） 解题贴士：二次函数看对称轴；分段函数分段观察；最值要确认端点是否可取。 例3（24‑25高一·武汉联考）求函数在区间的单调区间以及最大值、最小值。 解析：对称轴，开口向上。 单调递减区间：；单调递增区间：。 （最小值）；，，最大值为。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·天津月考），写出单调区间，求在上最值 。 1. （24‑25高一·沈阳期中）分段函数，写出单调区间 。 1. （25‑26高一·哈尔滨阶段）求在上最大值与最小值 。 题型4：利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 解题贴士：增函数：；减函数：；勿忘定义域约束。 例4（24‑25高一·太原期中）已知函数是定义在上的增函数，且，求的取值范围。 解析：必须同时满足定义域与单调性： 综合得。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·贵阳月考）已知是上的减函数，比较与大小。 1. （24‑25高一·西安联考）已知在区间上递增，，求范围 。 1. （25‑26高一·重庆阶段）已知定义域，且为减函数，，求取值 。 题型5：复合函数单调性 解题贴士：第一步求定义域；分清内层外层；同增异减。 例5（24‑25高一·郑州期中）求函数的单调递增、递减区间。 解析：令内层（上递增），外层； 即，外层递减，内外异，原函数递减区间； 即，外层递增，内外同，原函数递增区间。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·南宁月考）求单调区间 。 1. （24‑25高一·呼和浩特期中）求单调区间 。 1. （25‑26高一·福州阶段）求单调区间 。 题型6：已知函数单调性求参数取值范围（中档高频） 解题贴士：二次函数看对称轴位置；分段函数在分段点处要满足区间上整体单调性。 例6（24‑25高一·济南联考）已知二次函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。 解析：开口向上，对称轴；函数在递增。 要，故。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·合肥月考）二次函数在上递增，求的取值范围。 1. （24‑25高一·石家庄期中）已知在上递减，求取值。 1. （25‑26高一·成都月考）函数在单调递减，求范围。 题型7：闭区间上二次函数最值分类讨论（中档经典） 解题贴士：动轴定区间，讨论对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况。 例7（24‑25高一·天津联考）已知，，求最小值。 解析：，对称轴。 · 当即，区间在对称轴左侧，函数递减；。 · 当即，对称轴落在区间内部；。 · 当，区间在对称轴右侧，函数递增；。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·长沙期中），，对称轴；若求最小值。 1. （24‑25高一·哈尔滨月考），，求最小值。 1. （25‑26高一·太原阶段）在上最大值为，求的值。 课后综合练习 1. 用定义证明在上单调递减。 1. 求二次函数的单调区间，并求上最大值、最小值。 1. 已知是定义在上增函数，，求取值范围。 1. 已知在递增，求取值。 1. 分段函数，写出单调区间。 1. 函数，求单调区间 ；若求最值。 1. 已知，，求函数最小值。 1. 已知是上减函数，，求范围。 答案与详细解析 随学随练解析 1. 减； 1. ； 1. ； 1. 。 题型1解析 对点练 1. C；解析：增函数要求任意，不是存在；不是增函数，分段函数可以单调。 1. 递减区间，；不能写成并集。 1. 错误；例如取，，不在同一个单调区间，无法保证。 题型2解析 对点练 1. 任取， ， ，在减。 1. 任取， ， ，，故，；在递减。 1. 任取， ， ，，故，；递增。 题型3解析 对点练 1. ；对称轴开口向下； 递增区间；递减区间； ，最大值；最小值。 1. ，递增；，递减； 递增区间，递减区间。 1. ，对称轴； 取最小值；取最大值。 题型4解析 对点练 1. 在减，。 1. ，得。 1. ；。 题型5解析 对点练 1. ，对称轴；递减，递增。 1. ，内层递增，外层在递减，递减； 递减区间，。 1. ，内层恒递增；外层； 递减；递增； 递减；递增。 题型6解析 对点练 1. 开口向下，对称轴； 在递增，所以。 1. 整体递减； ，得。 1. 对称轴；递减，开口向上，。 题型7解析 对点练 1. ，区间在对称轴左侧，函数递减，最小值。 1. 对称轴。 · 不可能； · 即，最小值； · ，区间在对称轴右侧，最小值。 1. ，最大值在取到。 要求，，解得。 课后综合练习解析 1. 任取， ， ，在单调递减。 1. 开口向下，对称轴； 递增区间；递减区间； ，最大值；最小值。 1. ；。 1. 对称轴，开口向上；递增，。 1. ：递增；：递增； 递增区间，。 1. ；递减，递增； ，最小值；最大值。 1. 对称轴。 · 即，区间在对称轴左侧，； · 即，对称轴落在区间，； · ，区间在对称轴右侧，。 1. 在减， ；。 本章复习小结 · 单调性定义核心是区间内任意两个自变量；证明五步：取值、作差、变形、判号、下结论；单调区间不能用并集符号连接。 · 最值：必须存在定义域内自变量可以取到该函数值；闭区间二次函数看对称轴相对区间的位置。 · 复合函数：同增异减，做题第一步先求定义域。 · 单调性应用：比较函数值大小；抽象函数不等式一定要带上定义域约束，再利用单调性脱掉。 · 已知单调性求参数：二次函数看对称轴位置；分段函数既要保证每一段斜率符号，还要保证分段点处满足整体单调性。 · 动轴定区间二次函数最值，分对称轴在区间左边、内部、右边三类讨论。 学科网（北京）股份有限公司 $