2.2一元二次方程的解法 知识梳理+例题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程 2.2一元二次方程的解法知识梳理 知识梳理 一、一元二次方程解法－直接开平方法 一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得 =，=-，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 例:解方程 x²=9. 解:x=±=±3 所以方程x²=9有两个根 =3，=-3 . 适用形式:方程形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0). 求解思路:根据平方根的意义，直接对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解. 例1.（1）方程x²=0.25的根是 ． （2）方程2x²=18的根是 ． （3）方程(2x-1)²=9的根是 ． 例1.答案为：（1） =0.5，=-0.5； （2）=3，=-3 ；（3） =2，=-1. 例2.用直接开平方法解下列方程: (1)3x²-27=0 (2)(2x-3)²=9 例2.答案为：（1）=3，=-3 ；（2）=0，=3 . 二、一元二次方程解法－配方法 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，称为配方法. 配方前提：二次项系数为1，形如 x²+px+q=0; 配方方法:在方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 基本思路:对于二次项系数为1的一元二次方程，通过配方把方程化为(x+n)²=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 二次项系数不为1的方程用配方法解应先转化为二次项系数为1的形式，在方程的两边同时除以二次项系数，在配方. 配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的步骤： ①移：将常数项移到方程的右边 ②化：二次项系数化为1 ③配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 ④整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项 ⑤开：利用平方根的意义直接开平方 ⑥解：解两个一元一次方程 例3.用配方法解一元二次方程. (1)2x²+1 = 3x; 解:(1)移项，得 2x²-3x=-1. 二次项系数化为1，得:x²-=- 配方，得:x²-+=-+ 开平方得:x-=± 即:x-=或x-=- ∴方程的解: =1，= . (2)3x²-6x+4=0. 解:(2)移项，得 3x²-6x=- 4. 二次项系数化为1，得: x²-2x=- 配方，得x²-2x+1²=-+1² （x-1）²=- ∵实数的平方不为负数， ∴x取任何实数时， (x-1)²都是非负数，上式都不成立， ∴原方程无实数根. 三、一元二次方程的解法－公式法 1.用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 2.当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=的形式，这个式子叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式. 式子b²-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b²-4ac. 注意：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数a、b、c代入求根公式，可以直接得出方程的根. 3.求根公式步骤如下：因为a≠0，把方程的两边都除以a，得 移项，得 配方，得 即 因为 a≠0，所以 4a²>0， 当b²-4ac≥0,即 将方程两边开平方，得 于是得 即当Δ≥0时，x= 4.用公式法解一元二次方程的一般步骤: ①化：将一元二次方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)； ②定：确定a，b，c的值； ③求：求出b²-4ac的值; ④判：若b²-4ac≥0则利用求根公式求解; 若b²-4ac<0，则方程无实数根: ⑤代：将a，b，c的值代入求根公式:x=； ⑥算：算出方程的根=；= . 易错点:计算b²-4ac的值时，注意a，b，c符号的问题. 例4.用公式法解下列方程: (1) 2x²+7x-4=0 (2)x²+3=2x (3)x²+17=8x. 例4.解:（1）a=2，b=7，c=-4， b²-4ac=7²-4×2×(-4)=81>0 代入求根公式，得 X= ∴=；=-4 （2）将原方程化为标准形式，得x²-2x+3=0 a=1，b=-2，c=3. b²-4ac=(-2)²-4×1×3=0. 代入求根公式，得x== ∴== （3）方程化为x²-8x+17=0， 此时a=1，b=-8，c=17， ∴Δ=b²-4ac=(-8)²-4×1×17=-4<0. ∴方程无实数根. 5.判别式三种结论: Δ=b²-4ac>0两不等实根,， Δ=b²-4ac=0两相等实根， Δ=b²-4ac<0无实数根. 例5.不解一元二次方程判断方程的根 一元二次方程 b²-4ac 根的情况 x²-x-1=0 2x²+3x+2=0 4x²=12x-9 3x²+2=2x 例5.答案为： 一元二次方程 b²-4ac 根的情况 x²-x-1=0 5 有两个不相等的实数根 2x²+3x+2=0 -7 没有实数根 4x²=12x-9 0 有两个相等的实数根 3x²+2=2x 0 有两个相等的实数根 四、一元二次方程的解法－因式分解法 1.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式. 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例6.解下列方程: (1)x²-3x=0 (2)25x²=16 (3)x²-6x=-9 解:(1)将原方程的左边分解因式，得 x(x-3)=0 则x=0，或x-3=0， 解得=0，=3 (2)将方程右边常数项移到左边， 再根据平方差公式因式分解，得 25x²-16=0 (5x+4)(5x-4)=0 ∴=0.8，=-0.8 (3)将方程右边常数项移到左边， 再根据完全平方公式因式分解，得 x²-6x+9=0 (x-3)²=0 ∴x-3=0 ∴==3 2.因式分解法的基本步骤是: ①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零; ②将方程的左边分解因式; ③根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程 3.因式分解的两种主要方法: ①提取公因式法 ②公式法(包括平方差公式法和完全平方公式法) a²-b²=(a+b)(a-b) a²±2ab+b²=(a±b)² 4.一个多项式因式分解时,应先考虑提取公因式法,再考虑公式法，最后必须考虑分解到不能分解为止. 例7.将下列各式因式分解 (1)x²-3x= ． (2)25x²-16= ． (3)x²-4x+4= ． 例7.解：(1)x²-3x= x(x-3) (2)25x²-16=(5x+4)(5x-4) (3)x²-4x+4=(x-2)² 例8.若A·B=0则( ) A. A=0 B. B=0 C. A=0且B=0 D. A=0或B=0 例8.答案为：D 五、一元二次方程解法总结 方法 理论依据 适用方程形式 直接开平方法 平方根的意义 x²=p,(p≥0) (mx+n)²=p,(p≥0) 配方法 完全平方公式及平方根的意义 所有一元二次方程，当一次项系数为偶数时更利于运算 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 ab=0→a=0或b=0 等式一边是0，另一边可以因式分解成两个一次式的乘积 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次方程 2.2一元二次方程的解法知识梳理 知识梳理 一、一元二次方程解法－直接开平方法 一般地，对于形如x²=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得 =，=-，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 例:解方程 x²=9. 解:x=±=±3 所以方程x²=9有两个根 =3，=-3 . 适用形式:方程形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0). 求解思路:根据平方根的意义，直接对等式两边开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解. 例1.（1）方程x²=0.25的根是 ． （2）方程2x²=18的根是 ． （3）方程(2x-1)²=9的根是 ． 例2.用直接开平方法解下列方程: (1)3x²-27=0 (2)(2x-3)²=9 二、一元二次方程解法－配方法 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，称为配方法. 配方前提：二次项系数为1，形如 x²+px+q=0; 配方方法:在方程两边同时加上一次项系数一半的平方; 基本思路:对于二次项系数为1的一元二次方程，通过配方把方程化为(x+n)²=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 二次项系数不为1的方程用配方法解应先转化为二次项系数为1的形式，在方程的两边同时除以二次项系数，在配方. 配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的步骤： ①移：将常数项移到方程的右边 ②化：二次项系数化为1 ③配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 ④整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项 ⑤开：利用平方根的意义直接开平方 ⑥解：解两个一元一次方程 例3.用配方法解一元二次方程. (1)2x²+1 = 3x; (2)3x²-6x+4=0. 三、一元二次方程的解法－公式法 1.用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 2.当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=的形式，这个式子叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式. 式子b²-4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b²-4ac. 注意：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数a、b、c代入求根公式，可以直接得出方程的根. 3.求根公式步骤如下：因为a≠0，把方程的两边都除以a，得 移项，得 配方，得 即 因为 a≠0，所以 4a²>0， 当b²-4ac≥0,即 将方程两边开平方，得 于是得 即当Δ≥0时，x= 4.用公式法解一元二次方程的一般步骤: ①化：将一元二次方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)； ②定：确定a，b，c的值； ③求：求出b²-4ac的值; ④判：若b²-4ac≥0则利用求根公式求解; 若b²-4ac<0，则方程无实数根: ⑤代：将a，b，c的值代入求根公式:x=； ⑥算：算出方程的根=；= . 易错点:计算b²-4ac的值时，注意a，b，c符号的问题. 例4.用公式法解下列方程: (1) 2x²+7x-4=0 (2)x²+3=2x (3)x²+17=8x. 5.判别式三种结论: Δ=b²-4ac>0两不等实根,， Δ=b²-4ac=0两相等实根， Δ=b²-4ac<0无实数根. 例5.不解一元二次方程判断方程的根 一元二次方程 b²-4ac 根的情况 x²-x-1=0 2x²+3x+2=0 4x²=12x-9 3x²+2=2x 四、一元二次方程的解法－因式分解法 1.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式. 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例6.解下列方程: (1)x²-3x=0 (2)25x²=16 (3)x²-6x=-9 2.因式分解法的基本步骤是: ①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零; ②将方程的左边分解因式; ③根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程 3.因式分解的两种主要方法: ①提取公因式法 ②公式法(包括平方差公式法和完全平方公式法) a²-b²=(a+b)(a-b) a²±2ab+b²=(a±b)² 4.一个多项式因式分解时,应先考虑提取公因式法,再考虑公式法，最后必须考虑分解到不能分解为止. 例7.将下列各式因式分解 (1)x²-3x= ． (2)25x²-16= ． (3)x²-4x+4= ． 例8.若A·B=0则( ) A. A=0 B. B=0 C. A=0且B=0 D. A=0或B=0 五、一元二次方程解法总结 方法 理论依据 适用方程形式 直接开平方法 平方根的意义 x²=p,(p≥0) (mx+n)²=p,(p≥0) 配方法 完全平方公式及平方根的意义 所有一元二次方程，当一次项系数为偶数时更利于运算 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 ab=0→a=0或b=0 等式一边是0，另一边可以因式分解成两个一次式的乘积 学科网（北京）股份有限公司 $