专题 2.2（3） 一元二次方程解法（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦一元二次方程因式分解法这一核心知识点，系统梳理零乘积性质原理、提取公因式等四种核心因式分解方法及标准解题步骤，通过与直接开平方法等其他解法的横向对比，构建从原理到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，涵盖基础原型到参数问题及换元法，结合高频易错警示培养学生推理意识，同步检测通过选择填空及解答题全面巩固，助力课中教师高效教学与课后学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题 2.2（3） 一元二次方程解法（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】因式分解法原理 1 【知识点二】常用因式分解方法（初中核心四种） 2 【知识点三】因式分解法标准解题步骤 2 【知识点四】高频易错警示 2 【知识点五】一元二次方程四种解法横向对比 2 二.题型精析 3 【题型 1】提取公因式法解方程（教材基础原型） 3 【题型 2】公式法因式分解解方程（平方差、完全平方） 4 【题型 3】十字相乘法因式分解（中档核心必考） 6 【题型 4】因式分解法参数问题（中档提升） 9 【题型 5】换元法解一元二次方程 12 【题型 6】选择合适的方法解一元二次方程 14 三.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 21 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 一.知识梳理解读 【知识点一】因式分解法原理 因式分解法解一元二次方程的核心依据是零乘积性质：若 ，则 或 。 将一元二次方程通过移项、变形，整理为两个一次因式的乘积等于0的形式，进而将二次方程转化为两个一元一次方程求解，这种解法即为因式分解法。 因式分解法是解一元二次方程最简便、最高效的特殊解法，优先适用于可快速因式分解的方程。 【知识点二】常用因式分解方法（初中核心四种） 1. 提取公因式法：，多用于含相同因式、含未知数公因式的方程； 2. 平方差公式：，多用于平方形式相减的方程； 3. 完全平方公式：，多用于完全平方式方程； 4. 十字相乘法：，是二次三项式最常用的分解方法。 【知识点三】因式分解法标准解题步骤 1. 移项归零：将方程所有项移至左侧，使方程右侧严格等于0； 2. 因式分解：将左侧多项式分解为两个一次因式相乘的形式； 3. 拆分方程：根据零乘积性质，拆分为两个独立的一元一次方程； 4. 求解写根：分别解一次方程，得到原一元二次方程的两个实数根。 【知识点四】高频易错警示 1. 禁止随意约去含未知数的因式：方程两边不能直接除以含 的式子，会丢失 这一根； 2. 必须右侧为0再分解：只有方程右边为0时，才能使用零乘积性质拆分因式； 3. 区分“或”与“且”：两个因式满足一个为0即可，是或关系，两根均有效； 4. 十字相乘分解时，注意一次项系数的正负匹配，避免符号出错。 【知识点五】一元二次方程四种解法横向对比 解法 核心优势 适用场景 直接开平方法 步骤最简、计算快速 型特殊方程 配方法 通用万能、可推导公式 指定配方题型、代数式最值与证明 公式法 万能通用、无需变形 系数复杂、难以因式分解的方程 因式分解法 计算量最小、效率最高 左边可快速因式分解的简易方程（优先选用） 二.题型精析 【题型 1】提取公因式法解方程（教材基础原型） 【例题1】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 解：将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）方程的解为___________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，可通过移项、提取公因式进行因式分解，再利用因式分解法求解一元二次方程． 解：先移项，得， 提取公因式，得， 根据“若几个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得或， 解得，， 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 【答案】， 解：， ， 或， 或， 即原方程的根是，． 【题型 2】公式法因式分解解方程（平方差、完全平方） 【例题2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【答案】 解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 【变式2】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）解方程： 【答案】 解：∵， ∴， ∴，， 解得． 【题型 3】十字相乘法因式分解（中档核心必考） 【例题3】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： （1）尝试：分解因式：____________） （2）应用：请用上述方法解方程：． （3）拓展：请用上述方法解方程：． 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），；；（3），． 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （3）把看作一个整体，利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 解：（1）解： 故答案为：2，4（或4，2）； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【点拨】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】20 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，为底，三角形三边长为，因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去该情况； 若为底，为腰，三角形三边长为，满足三角形三边关系，此时周长为. 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点拨】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 【题型 4】因式分解法参数问题（中档提升） 【例题4】（25-26八年级下·北京延庆·期末）关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 【答案】，此时方程的解为 【分析】先利用一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式非负，据此求出k的取值范围，再结合k为正整数确定k的取值，最后代入原方程求解方程的根即可． 解：∵关于x的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 又∵k为正整数， ∴， 将代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）解决下列问题： （1）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】（1）证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． （2） 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 解：（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 解：（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 【题型 5】换元法解一元二次方程 【例题5】（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数满足，则___________． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 解：（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点拨】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 解：设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 【变式2】（23-24九年级上·山东滨州·阶段检测）若，则的值为 _____． 【答案】2或0/0或2 【分析】根据换元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案． 解：设，原方程等价于． 解得或， ∴或， 故答案为：2或0． 【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 【题型 6】选择合适的方法解一元二次方程 【例题6】（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·阶段检测）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， 因式分解得，， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·天津静海·阶段检测）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 解：（1）解： （x-3）（2x-9）=0 x-3=0或2x-9=0， ∴，． （2）解： （x-1） （3x-1） =0， x-1=0或3x-1=0， ∴，． 【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）用适当方法解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）利用因式分解法解该一元二次方程即可； （2）原方程整理为，然后利用平方差公式等号左边进行因式分解，利用因式分解法解该一元二次方程即可； （3）将原方程整理为，然后用公式法解该一元二次方程即可． 解：（1）解：， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，； （3）解：， 原方程化简，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 3．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程两根为，则 ，代入已知条件即可得到结果． 解：∵关于的一元二次方程的两根为， ∴根据一元二次方程根与因式分解的关系可得 因此代数式因式分解的结果对应选项D． 5．（25-26九年级上·山东滨州·期末）在解一元二次方程时，运用因式分解法将其变为，即或，这个过程中蕴含的比较突出数学思想是（   ） A．类比 B．转化 C．特值 D．数形结合 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程过程中蕴含的数学思想，需明确各选项中数学思想的含义，结合因式分解法的解题过程进行判断即可． 解：∵解一元二次方程时，通过因式分解将原方程转化为两个一元一次方程或， 即将一元二次方程的求解问题转化为更易解决的一元一次方程的求解问题 ∴该过程中蕴含的比较突出的数学思想是转化思想． 故选：B 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；通过因式分解法解方程即可． 解：∵可因式分解为， ∴或， ∴，； 故选A． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）下面是一元二次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程的解法并根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． 本题利用完全平方公式变形，从而得到方程的解． 解： 则 ， 解得：， 故选：A． 8．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解． 先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解． 解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义，所以不是方程的解． 故选： B． 9．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 10．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式． 解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想； ②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想； ③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想； ④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想． 综上所述，用到转化思想的是②③④． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 13．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值． 解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 14．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）当__________时，代数式的值是0． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据题意列出方程，通过因式分解求解即可． 解：根据题意得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 16．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若实数x，y满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 解：令， ， ∴ ， ， 或， 或（舍去）， ∴． 故答案为：4． 17．（2023·山东潍坊·模拟预测）数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 【答案】 或1 6 【分析】（1）将替换为代入，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）首先把两个已知方程相减，因式分解后结合的条件，求出的值；再把两个已知方程相加，结合求出的的值，得到相关的表达式，进而求出的值；最后将变形为含有和的形式，代入计算即可． 解：【小题1】当时， ∴， 整理， ， 解得：或； 【小题2】联立方程组， 将得：， 整理得：， 将得：， 整理得：， ∴， 又∵， ∴，即④， 将④代入③，得，即， 又∵， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 【答案】7 【分析】观察杨辉三角中每一行第三个数字的变化规律，归纳出第行第三个数字的通项公式，建立方程求解行数． 解：由图可知：第3行从左往右数的第3个数字为1，即； 第4行从左往右数的第3个数字为3，即； 第5行从左往右数的第3个数字为6，即； 归纳规律：第行第三个数字为， 令， 整理得， 解得，（舍去）， 故数字15是从第7行中取出的． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·新疆哈密·期中）解方程： （1）． （2） 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算步骤是解此题的关键． （1）根据解根式方程的步骤计算即可得解； （2）根据解根式方程的步骤计算即可得解． 解：（1）解：去分母得：， 解得， 把代入， 是原方程的根． （2）解：去分母得：， 解得：， 把代入， 为增根，原方程无解． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． （1）若“”内填入0，请求出方程的根； （2）在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】（1），；（2）“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 解：（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），；（2）是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 解：（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知不等边的三条边分别为，，． （1）若，求的值； （2）已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； （3）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 【答案】（1）1；（2）；（3）证明：设一元二次方程的两根为、， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ，即， ， ∴，， 即， ∴， ，， 即， ， 设，则, ，即为直角三角形． 【分析】（1）由可得，即可得出， （2）根据周长的定义得出，根据线段的和差关系得出，即可得出； （3）设一元二次方程的两根为、，因式分解法解方程得，，根据方程有两个相等的实数根得出，结合得出，，即可得出答案． （1）解：， ， ． （2）解：与的周长相等， ， ∴， ∵为边上一点， ∴， ∴， ． （3）解：略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2（3） 一元二次方程解法（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】因式分解法原理 1 【知识点二】常用因式分解方法（初中核心四种） 2 【知识点三】因式分解法标准解题步骤 2 【知识点四】高频易错警示 2 【知识点五】一元二次方程四种解法横向对比 2 二.题型精析 3 【题型 1】提取公因式法解方程（教材基础原型） 3 【题型 2】公式法因式分解解方程（平方差、完全平方） 3 【题型 3】十字相乘法因式分解（中档核心必考） 3 【题型 4】因式分解法参数问题（中档提升） 4 【题型 5】换元法解一元二次方程 5 【题型 6】选择合适的方法解一元二次方程 6 三.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理解读 【知识点一】因式分解法原理 因式分解法解一元二次方程的核心依据是零乘积性质：若 ，则 或 。 将一元二次方程通过移项、变形，整理为两个一次因式的乘积等于0的形式，进而将二次方程转化为两个一元一次方程求解，这种解法即为因式分解法。 因式分解法是解一元二次方程最简便、最高效的特殊解法，优先适用于可快速因式分解的方程。 【知识点二】常用因式分解方法（初中核心四种） 1. 提取公因式法：，多用于含相同因式、含未知数公因式的方程； 2. 平方差公式：，多用于平方形式相减的方程； 3. 完全平方公式：，多用于完全平方式方程； 4. 十字相乘法：，是二次三项式最常用的分解方法。 【知识点三】因式分解法标准解题步骤 1. 移项归零：将方程所有项移至左侧，使方程右侧严格等于0； 2. 因式分解：将左侧多项式分解为两个一次因式相乘的形式； 3. 拆分方程：根据零乘积性质，拆分为两个独立的一元一次方程； 4. 求解写根：分别解一次方程，得到原一元二次方程的两个实数根。 【知识点四】高频易错警示 1. 禁止随意约去含未知数的因式：方程两边不能直接除以含 的式子，会丢失 这一根； 2. 必须右侧为0再分解：只有方程右边为0时，才能使用零乘积性质拆分因式； 3. 区分“或”与“且”：两个因式满足一个为0即可，是或关系，两根均有效； 4. 十字相乘分解时，注意一次项系数的正负匹配，避免符号出错。 【知识点五】一元二次方程四种解法横向对比 解法 核心优势 适用场景 直接开平方法 步骤最简、计算快速 型特殊方程 配方法 通用万能、可推导公式 指定配方题型、代数式最值与证明 公式法 万能通用、无需变形 系数复杂、难以因式分解的方程 因式分解法 计算量最小、效率最高 左边可快速因式分解的简易方程（优先选用） 二.题型精析 【题型 1】提取公因式法解方程（教材基础原型） 【例题1】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【变式1】（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）方程的解为___________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 【题型 2】公式法因式分解解方程（平方差、完全平方） 【例题2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【变式2】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）解方程： 【题型 3】十字相乘法因式分解（中档核心必考） 【例题3】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： （1）尝试：分解因式：____________） （2）应用：请用上述方法解方程：． （3）拓展：请用上述方法解方程：． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_______． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【题型 4】因式分解法参数问题（中档提升） 【例题4】（25-26八年级下·北京延庆·期末）关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）解决下列问题： （1）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【题型 5】换元法解一元二次方程 【例题5】（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数满足，则___________． （2）若，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【变式2】（23-24九年级上·山东滨州·阶段检测）若，则的值为 _____． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【题型 6】选择合适的方法解一元二次方程 【例题6】（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 （1） （2） 【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·阶段检测）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【变式2】（24-25九年级上·天津静海·阶段检测）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【变式3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）用适当方法解方程 （1）； （2）； （3）． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 3．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东滨州·期末）在解一元二次方程时，运用因式分解法将其变为，即或，这个过程中蕴含的比较突出数学思想是（   ） A．类比 B．转化 C．特值 D．数形结合 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）下面是一元二次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 9．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 12．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 13．（24-25八年级下·浙江台州·期中）关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 14．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）当__________时，代数式的值是0． 16．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若实数x，y满足，则的值为______． 17．（2023·山东潍坊·模拟预测）数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·新疆哈密·期中）解方程： （1）． （2） 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程： （1） （2） 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． （1）若“”内填入0，请求出方程的根； （2）在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知不等边的三条边分别为，，． （1）若，求的值； （2）已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； （3）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $