山西大学附属中学校2026-2027学年高二上学期10月模块诊断数学试题

山西大学附中2026-2027学年第一学期高二10月模块诊断教师版 数 学 试 题 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A D B D C 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9 10 11 AB ABD AB 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12. 13. 14. ； 15．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；线段的长为， (2) 【分析】（1）方法一：利用三角形法则计算可得结果；方法二：根据平行四边形法则计算可得； （2）根据（1）中结论将等式平方可得线段的长为，再分别计算出和的长，即可得出其余弦值. 【详解】（1）方法一： 由题意知 . 方法二： 因为G为的中点， 所以. 因为四边形是正方形，，， 所以，，. 所以 ， 即线段的长为 （2）因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 16．如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    (1)求点P到直线EF的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 所以， 所以，所以． (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，， 设平面为法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17．直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)12 (3)直线必过定点，该定点坐标为 【详解】（1）由题意可设直线， 所以，所以，即. （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即，由题意可知，∴，∴， ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴. (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为，上底，下底，高为2，梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即，因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得，上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 18．如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)①由题意得，， 在中，因为，所以， 同理，， 在中，因为，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则， 设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，即，取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 19．已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． (1)如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． (2)当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 【答案】(1)① ； ②不存在，理由： 设，，，则，，， 所以，由共面定理，得， 记棱长为1的正四面体的体积为，所以， 由均值不等式， 此时当，即，，取得最小值， 则此时，即，故是的重心， 对空间中任意点，则，， 同理，， 所以 ， 故不存在空间中一点，使得． (2). 【分析】（1）①利用空间向量基本定理，再利用空间向量数量积运算律即可得到答案； ②设，，，由共面定理，得，通过计算得，故不存在空间中一点，使得． （2）求出半径的表达式，再利用导数求出最值即可. 【详解】（1）①， 所以 ，所以． ②略 （2），，， 由勾股定理，，，， 由余弦定理，，所以， 所以，所以， 所以，，， 所以（设）， 设，， 当时，； 当时，令，即， 解得，所以， 所以（当时取等），所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2026-2027学年第一学期高二年级10月模块诊断 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，且，那么（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 2．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）   A． B． C． D． 4．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 5． 如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．已知正的顶点,，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 8．《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（    ） A． B． C ． D．0 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 10．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若两个非零向量的夹角是钝角，则 C．已知，平面的法向量为，则 D．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．在平行六面体中，，，若，其中，则下列结论正确的有（    ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则 C．若，则与平面所成的角的正弦值为 D．当时，线段的长度的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12．已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 13．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 14．已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是__________，二面角的余弦值是__________（用表示）.   四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 16．如图，平面是正方形，平面，，点，分别为棱和的中点.    (1)求点P到直线EF的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与垂直，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 18．如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2) 求与平面所成角的正弦值的范围． 19．已知四面体, , N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． (1)如图，当 时， ①求OM的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． (2)当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $