第08讲 正多边形与圆、扇形、圆综合压轴 复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦正多边形与圆、扇形及圆综合压轴核心知识，系统梳理正多边形定义、与圆的关系（中心、半径、中心角等）、角度计算及对称性，衔接扇形弧长、面积公式及圆锥侧面展开关系，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过8个易错辨析纠正认知偏差，18个典例精讲分题型突破（如摩天轮路径、纸杯侧面积计算），培养学生用数学眼光观察现实，以推理能力和运算能力训练数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺强化应用。

第08讲 正多边形与圆、扇形、圆综合压轴 （核心知识+8易错辨析+18典例精讲+课后作业） 【知识点01】正多边形与圆 1. 正多边形定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 关键前提：仅各边相等或仅各角相等的多边形不是正多边形，两个条件必须同时满足。 2. 正多边形与圆的关系 把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可得到这个圆的内接正n边形；对应的圆为正多边形的外接圆，正多边形还有与外接圆同心的内切圆。 核心相关概念： 中心：正多边形外接圆的圆心 半径R：正多边形外接圆的半径（顶点到中心的距离） 中心角：正多边形每条边所对的圆心角，公式： 边心距r：中心到正多边形一边的距离，即内切圆半径 核心直角三角形关系：正多边形的半边长、边心距、外接圆半径构成直角三角形，满足：（为正n边形边长） 3. 正多边形角度计算公式 正n边形内角： 正n边形外角： 重要结论：正多边形外角 = 中心角 4. 正多边形对称性 所有正n边形都是轴对称图形，共有n条对称轴； n为偶数：正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； n为奇数：正多边形仅为轴对称图形，无中心对称性。 【知识点02】扇形、弧长与扇形面积 1. 扇形定义 由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧共同围成的封闭图形，叫做扇形。 2. 弧长公式 在半径为R的圆中，圆心角度数为n°的弧长计算公式： 3. 扇形面积公式（两个） 角度公式： 弧长推导公式：（l为扇形对应弧长，形似三角形面积公式，便于快速记忆计算） 4. 弓形面积计算 弓形面积可转化为扇形与三角形的面积和差，分两种情况： 劣弧弓形： 优弧弓形： 5. 拓展：圆锥与扇形的关系 圆锥的侧面展开图是一个扇形，二者对应关系： 扇形半径 = 圆锥母线长 扇形弧长 = 圆锥底面圆周长（，r为圆锥底面半径） 易错点序号 错误认知 正确解析 1 各边相等的多边形是正多边形 必须同时满足各边相等、各角相等。例如菱形四边相等但内角不等，不是正多边形；矩形四角相等但边长不等，也不是正多边形。 2 正多边形中心角与内角相等 中心角，内角，仅正方形（n=4）时二者相等，其余正多边形均不相等。 3 混淆外接圆半径与边心距 半径R：中心到多边形顶点的距离（外接圆半径）；边心距r：中心到多边形边的距离（内切圆半径），二者为不同概念。 4 记混弧长、扇形面积公式分母 弧长公式分母为180，扇形面积公式分母为360，口诀：求长用180，求积用360。 5 公式中直接代入直径计算 所有弧长、扇形面积公式中的R均为圆的半径，题目给出直径时，需先除以2换算为半径再计算。 6 弓形面积直接等于扇形面积 劣弧弓形需减去对应三角形面积，优弧弓形需加上对应三角形面积，不可直接等同于扇形面积。 7 奇数边正多边形是中心对称图形 正五边形、正七边形等奇数边正多边形，仅具备轴对称性，无中心对称性，只有偶数边正多边形兼具两种对称性。 8 特殊正六边形边长与边心距混淆 正六边形边长 = 外接圆半径，边心距为，是考试高频易错点。 【题型一】求正多边形的中心角 【例1】．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 【详解】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是， 这个正多边形的边数． 故选：D． 【变式2】．（2024九年级上·江苏泰州·阶段检测）正十边形的中心角的度数为_____． 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 【变式3】．古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形和圆的关系，根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为， 故答案为：． 【题型二】已知正多边形的中心角求边数 【例2】．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【知识点】圆周角定理、已知正多边形的中心角求边数 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一个正n边形的中心角为，则n为___________． 【答案】10 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正多边形的中心角和为计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为是解答此题的关键． 【变式3】．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 【答案】8 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形的中心角．正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故答案为：8． 【题型三】正多边形和圆的综合 【例3】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边的性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 【变式2】．（2026·江苏南京·三模）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 【变式3】．如图，正六边形内接于，求的度数． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案. 【详解】解： 正六边形内接于， 是直径， 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键. 【题型四】求弧长 【例4】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 【变式1】．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据题意用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 【变式3】．（2025九年级上·江苏无锡·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，则的长为_______． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式计算即可． 【详解】连接OB、OC， 由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=120°， ∵⊙O的半径为2， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 【题型五】求扇形半径 【例5】．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 【答案】A 【知识点】求扇形半径 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴扇形的半径为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏溧阳·期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________cm． 【答案】6 【知识点】求扇形半径 【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【详解】扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 【变式2】．圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的母线长是______cm． 【答案】4 【知识点】求扇形半径 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径即为母线长； 【详解】设圆锥的母线长为R，即其侧面展开图的半径为R， 根据题意得： 解得: 故答案为：4 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长及熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答本题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 【题型六】求圆心角 【例6】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 【变式2】．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点转过的度数为， 重物上升， 点转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 整理得，， 解得， 滑轮上点转过的度数为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选C． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 【答案】/60度 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 重物上升， 点A转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 【题型七】求某点的弧形运动路径长度 【例7】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】由题意得可知，分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点20分走了圆周长的三分之一，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，到12点20分走了圆周长的三分之一， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查弧长公式．熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了求扇形的弧长，根据摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，可知扇形所对的圆心角度数为，根据扇形的弧长公式求出的长度即轿厢经过的路径长度． 【详解】解：摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点， ， ． 故答案为： ． 【变式3】．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）。以点为原点，过点的水平线为轴，建立直角坐标系。 （1）将线段向上平移两个单位长度，点的对应点为点，点的对应点为点，请画出平移后的线段，并写出的坐标； （2）将线段绕点按逆时针方向旋转90°，点的对应点为点，请画出旋转后的线段，并写出的坐标； （3）求出（2）中运动的路径长。    【答案】（1）见解析，；（2）见解析，；（3） 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】（1）以点为原点建立直角坐标系，根据平移的性质找出A、B的对应点A1、B1的位置，然后连线，再根据坐标系写出的坐标即可； （2）根据旋转的性质找出点的对应点的位置，然后连线，再根据坐标系写出的坐标即可； （3）利用勾股定理求出的长度，然后利用弧长公式计算. 【详解】（1）平移后的线段如图所示，； （2）旋转后的线段如图所示， （3）∵， ∴运动的路径：.    【点睛】本题考查了作图－平移与旋转以及弧长公式的应用，准确找出对应点的位置是解题关键. 【题型八】求扇形面积 【例8】．（2025·江苏苏州·一模）扇形的半径为9，圆心角为，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积计算；根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：该扇形的面积是：， 故选：D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：扫过的面积为 故选：. 【变式2】．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）圆心角为，半径为的扇形的面积为___________． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，牢记扇形面积公式是解题的关键． 扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径），将圆心角、半径代入公式即可求出扇形面积． 【详解】解：圆心角，半径为的扇形的面积为． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型九】求图形旋转后扫过的面积 【例9】．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 【变式1】．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】由于△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，可见，阴影部分面积为扇形OBB′减扇形ODD′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可． 【详解】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8， ∴AD＝BD＝AB＝4， 在Rt△OBD中，OB2−OD2＝BD2＝16， ∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′， ∴△ODB≌△OD′B′， ∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°， ∴S扇形ODD′＝，S扇形OBB′＝ ∴S阴影＝S扇形OBB′−S扇形ODD′＝-==． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是______． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 【详解】解：已知为半圆的直径，， ∴半圆的半径为1， ∵是等腰直角三角形，且为高， ∴，， 将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果， 当点C在半圆上从A运动到B时： 点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积， 即、各扫过的面积是一个半圆的面积， 即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即． 故答案为：． 【变式3】．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 _____． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】依据轴对称的性质，即可得到AC＝A'C，进而得出点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧；再根据扇形面积的计算公式，即可得到线段A'P扫过的面积． 【详解】解：∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1， ∴∠ABC＝90°，AC＝2BC＝2，AB＝， 如图①所示，点A关于直线CP的对称点为A'， ∴AC＝A'C， ∴点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧， 当点P与点B重合时，线段A'P扫过的区域为弓形，如图②， ∠APA'＝180°，∠ACA'＝120°， ∴线段A'P扫过的面积为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆中扇形面积的计算，根据动点准确做出轨迹是解题的关键． 【题型十】求弓形面积 【例10】．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弓形面积 【分析】由题易得空白部分的三角形为等边三角形，先求出扇形和空白三角形的面积，由S阴影=S扇形-S△即可求解. 【详解】解：由扇形圆心角为60°可得空白部分的三角形为等边三角形， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，扇形面积的计算公式为． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积__________．    【答案】/ 【知识点】求弓形面积 【分析】连接OA，OB．得出OA2+OB2=AB2，则∠AOB=90°，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：连接OA，OB．    △OAB中，OA=OB=2，AB=2， ∴OA2+OB2=22+22=8，AB2＝(2)2=8， ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴S扇形OAB=，S△OAB=×2×2=2， ∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=π-2． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理的逆定理，求出∠AOB=90°，是解题的关键． 【变式2】．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________． 【答案】 【知识点】求弓形面积 【分析】连接OA，OB，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接OA，OB ∵点C为的中点 ∴ ∵CD=3 ∴OD=6-3=3 在中，sin= ∴ ∵为等腰三角形 ∴ 由勾股定理可得= ∴AB= ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弓形面积，掌握的思路是解题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【答案】（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差． 【知识点】求弓形面积、求扇形面积 【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积． （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差． 【详解】（1）解：弦AB， 由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分． ， 在中，对应的角的为 设，则． 由勾股定理可知： 解得（舍去） ，． ，扇形AOB的面积为 弧田实际面积为． （2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1． 按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为， ∴两者之差面积之差为． 【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握． 【题型十一】求不规则图形的面积 【例11】．如图，以半圆的直径为边向上作正方形，连接交半圆弧于点，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质；连接，根据正方形的性质和扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接． 四边形是正方形， ，， ，则 图中阴影部分的面积为 故选：A． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．先根据题意得出，结合已知条件求出的度数，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵A、P、B三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴阴影部分的周长为， 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，点在以为直径的半圆上运动，连接，，若，则半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和的最小值为___________． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积，垂径定理，明确当的面积最大时，半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和最小是正确解答此题的关键． 当的面积最大时，阴影部分面积之和最小，据此求解即可． 【详解】解：当的面积最大时，半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和最小， 此时，为圆的半径， 则（两个弓形）面积之和为：． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，求花窗的面积．（结果保留π） 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键. 根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为． 【题型十二】求圆锥侧面积 【例12】．（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（    ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，需熟记圆锥侧面积公式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵圆锥侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）． 又∵该圆锥底面半径，母线长． ∴． 故选B． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，制作这把遮阳伞至少需要用布料； 故选B． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知圆锥底面圆的半径为5，母线长为8，则其侧面展开图的面积为___________． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的面积，圆锥侧面展开图是扇形，弧长等于底面圆的周长，面积由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥底面圆的半径，母线长，底面周长为： ， 侧面展开图的面积． 故答案为：． 【变式3】．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm．，求裁剪的面积． 【答案】2000π 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可． 【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积为：×80π×50=2000π（cm2）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【题型十三】求圆锥底面半径 【例13】．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令圆锥的底面半径为r， 则， 解得， 所以圆锥的底面半径为 故选： 【变式1】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，解题的关键是掌握扇形面积和弧长的关系． 圆锥的侧面积等于扇形面积，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用这两个等量关系即可求解． 【详解】解：由扇形面积与弧长的关系得， ， 解得， 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得， ， 解得， 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 【答案】9π 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用弧长公式和圆的周长公式求出底面圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：设底面半径为R，则， ∴， ∴圆锥的底面积为． 故答案为：． 【变式3】．如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】设这个圆锥的底面半径为，先利用扇形面积公式得到，则可得到，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到，然后解方程求出即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为， 由题意得，解得， 所以，解得． 所以这个圆锥的底面半径为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【题型十四】求圆锥的高 【例14】．（2024九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r， 则， 解得， ∴这个圆锥体容器的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过__________．    【答案】 【知识点】求圆锥的高 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，    由题意，可知，圆锥底面周长为， 则有，解得， 所以， 即倒入溶液的高度不能超过． 故答案为：． 【变式2】．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是 设底面半径是r， 则 ∴ ∴圆锥的底面半径与母线长的比为1：4． 故选C． 【变式3】．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求圆锥的高 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h． 【详解】∵在等腰中，， ∴， ∵AD是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积. （2）设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得， 这个圆锥的高． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式． 【题型十五】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例15】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为R，根据题意，圆锥侧面积为，底面圆的面积为，底面圆的周长为，圆锥侧面展开的扇形弧长为，根据题意，，，整理计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为R， 根据题意，圆锥侧面积为，底面圆的面积为，底面圆的周长为，圆锥侧面展开的扇形弧长为， 根据题意，，， 整理， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握侧面展开的计算是解题的关键． 【变式1】．如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴解得， 即扇形的圆心角为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【答案】/度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的圆心角．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆心角为，则扇形的弧长为，圆锥底面的周长为， 根据弧长相等，得， 解得， 故答案为：． 【变式3】．（2025九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 【答案】这个圆锥侧面展开图的圆心角为 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度，则， 解得：， 这个圆锥侧面展开图的圆心角为． 【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【题型十六】圆锥的实际问题 【例16】．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长，将数据直接代入求出即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是4cm，侧面积为，圆锥侧面积公式S＝πrl， ∴S＝πrl＝π×4l＝20π， 解得：l＝5cm， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的有关计算，解决问题的关键是正确记忆圆锥的侧面积公式，以及各字母所代表的意义． 【变式1】．（2025·江苏苏州·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】设该圆锥母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥母线长为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥母线长为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 【答案】6 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【变式3】．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________． 【答案】10 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】根据圆锥的侧面积公式：侧＝．即可求得 【详解】侧＝ 故答案为10 【点睛】根本考查了圆锥的侧面积公式：侧＝，理解和牢记公式是解题的关键． 【题型十七】圆锥侧面上最短路径问题 【例17】．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】B 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可． 【详解】解：如图: ∵， ∴设弧所对的圆心角的度数为n， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长． 【变式1】．如图，一个底面半径为3的圆锥，母线，D为的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到D，则蚂蚁爬行的最短路程为______． 【答案】 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接AB、AD， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点D是BC的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 【变式2】．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【答案】6 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． 【变式3】．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】 蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【题型十八】圆的综合问题 【例18】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）（1）如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？ 从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，的半径为r，则r的取值范围是______． 【答案】 （1）小红发现的结论：．如图，连接， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 由圆周角定理得： 在和中， ∴ ∴ 小明发现的结论: 点到，的距离相等. 过点作于，于， 连接 ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 即点到，的距离相等． （2） 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）证明小红发现的结论：连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证；证明小明发现的结论：过点作于，于， 连接，先根据垂径定理可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （2）作的内切圆，与边分别切于点，，，连接，利用圆的切线的性质和勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1） 略 （2）如图，作的内切圆，与边分别切于点，，，连接 ∴ ∵ ∴ 解得 设 又 ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 即， 解得， 即， ∴，，， ∵与各边都相交且所形成的弦的长度均相等，且的半径为r， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、角平分线的尺规作图等知识，较难的是题（2），正确找出两个临界位置是解题关键． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】 【特殊体会】 【初步探究】， 证明：如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【深入探究】①与相切； 理由：如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ② 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：略 深入探究：①略 ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 如图所示，作的垂直平分线交于点，由可知是等腰直角三角形，即可得是等腰直角三角形，故与相切于点，点即为所求； (3)当时， 最小值；当时，最小值 【知识点】利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（）①由圆周角定理得，进而可得是等腰直角三角形，即得，再利用勾股定理求出即可求解；②过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，由等腰直角三角形的性质可得，即得，，由垂径定理得，再根据矩形的性质得，，设，则，利用勾股定理可得，即得，再求出即可求解； （）作的垂直平分线交于点，由可知是等腰直角三角形，即可得是等腰直角三角形，故与相切于点，点即为所求； （）当以为直径的圆与相切时，可得，再分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为， 故答案为：； ②如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的半径为； （2）略 （3）解：如图，以为直径的圆与相切时，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 当时， ； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，当时， 最小值；当时，最小值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 【答案】 （阅读理解）证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（阅读理解）①略； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 【点睛】本题主要考查了费马点和费马距离、三角形和圆的综合应用、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （一）核心知识梳理 1. 正多边形的判定核心是边角双相等，所有正多边形都有同心的外接圆和内切圆，可借助圆的性质求解多边形参数。 2. 正多边形计算核心模型：将边长、半径、边心距的计算，转化为解直角三角形，利用勾股定理求解。 3. 对称性规律：偶边正多边形双对称（轴对称+中心对称），奇边正多边形仅轴对称。 4. 两大核心公式：弧长公式、扇形面积两个公式，可根据已知条件灵活选用，已知弧长优先使用简化计算。 5. 弓形、阴影面积通用思路：割补转化，将不规则图形面积转化为扇形、三角形、圆形的面积和差。 （二）通用解题方法 1. 正多边形计算题：优先找中心、作边心距，构造直角三角形，结合勾股定理、角度公式解题。 2. 弧长与扇形面积题：先明确圆心角度数和圆的半径，杜绝直径代公式、记混分母等基础错误。 3. 不规则阴影面积题：采用割补法、平移法，转化为规则图形面积计算。 （三）考场重点提醒 1. 严格区分正多边形半径、边心距、边长三个核心量； 2. 牢记公式差异，避免弧长、扇形面积公式混用； 3. 熟记正六边形特殊性质：边长等于外接圆半径，快速秒杀相关题型； 4. 区分奇偶边正多边形的对称性，避免判断失误。 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：C． 2．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，、为扇形的半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长方形中（），作扇形，扇形，扇形，若要求扇形的面积，只需要知道下列哪条线段长（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了扇形的面积、矩形的性质，熟记扇形的面积公式、矩形的性质是解题的关键． 根据题意并结合矩形的性质求出，根据扇形面积，则要求扇形的面积，只需知道的长即可，故只需知道的长即可． 【详解】解：在长方形中，，， 根据题意得，，，， 设，， ， ， ， ∴ 根据扇形面积，则要求扇形的面积，只需知道的长即可， ∴只需知道的长即可， 故选：C． 7．（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得，都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，．以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，扇形面积的计算．连接，，根据切线的性质得到，，则四边形为正方形，而，为的中点，根据等腰直角三角形的性质得出，，则，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用，进行计算即可． 【详解】解：连接，，，如图， ∵以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、， ∴，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 9．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，正五边形内接于，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了与正多边形有关的知识，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键； 连接，，根据圆内接正五边形的顶点把圆五等分，即可求得的度数； 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆锥的底面周长与侧面展开图弧长的关系，解题的关键是利用侧面展开图为半圆这一条件，建立底面周长与半圆弧长的等式求解母线长． 圆锥底面周长等于侧面展开图半圆的弧长；设母线长为，底面半径，底面周长为，半圆的弧长为；通过等式求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥底面周长：， 侧面展开图半圆的弧长：， 由底面周长等于侧面展开图弧长，得：， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积计算，可利用扇形面积公式直接代入已知数据求解． 【详解】解：∵扇形的半径，弧长， ∴该扇形的面积为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算及时钟角度问题的综合应用，根据时针转动的时间求出扇形的圆心角是解题的关键． 时针扫过的面积为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为，时针从上午点到上午点移动小时，时针小时转，即时针扫过的圆心角为，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为， 从上午点到点，时针共走了小时， 时钟一圈为小时，对应，因此时针转过的圆心角为： ， ∴时针扫过的面积为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）给一个圆锥形零件的侧面涂漆（不包含底面的圆），已知圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的侧面需涂漆___（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【分析】本题考查圆周角定理，求圆锥底面半径，连接，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是的直径， ∵的半径为， ∴， 由题意，， ∴， 设圆锥的底面半径为，则， ∴； 故答案为：1． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，M、N是上两点（异于点A、B），C是上一动点，的平分线交于点D，的平分线交于点E，则________，当点C从点M运动到点N时，C、E两点的运动路径长的比是________ 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等；如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，可得，即可求出，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F，连接， 设．则， ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， ∴，点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长的长， 故答案为：；． 三、解答题 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1) 如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 17．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，平分，延长至点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)的长为． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，弧长公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，根据为的直径，可得，由角平分线定义可得，然后通过圆周角定理得，，则，再由平行线的判定得出，所以由平行线的性质得，即，最后通过切线的判定即可求证； （）由为的直径，则，由（）得，，所以通过角度和差得，所以，然后由圆周角定理可得，最后由弧长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 18．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 19．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点D在上，C为外一点，且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：是的直径，点D在上，如图1，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 又是的半径， 直线是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得：，得到，推出，得到，结合，可推出，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，得到，，推出，得到，，求出，，最后根据面积的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，，连接，，如图2， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ，， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆周角定理以及勾股定理． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【答案】(1) (2) 如图即为所求； (3) 【分析】本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积； （1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解； （2）根据题意作出旋转后的圆心，再作出等边三角形，作出的等圆，取，即可求解． （3）根据扫过的图形面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴的长度为， （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，再为圆心、以为半径作弧，交于点，以为圆心，为半径作，则即为所求； （3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于 又∵， ∴． 21．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 【答案】(1)； (2) 设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴扇环的面积 ； (3)矩形长为，宽为． 【分析】（）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （）设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为，则，然后由弧长，，得，再代入即可求解； （）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，从而矩形长为，宽通过即可求解． 【详解】（1）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形长：，宽：， 所以矩形长为，宽为． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，弧长公式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用及添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2) （i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示， ； （ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①略 ②此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 23．问题背景：在中，，，由勾股定理可知：．    (1)问题探究：如图①，是的直径，点在上，，为弧上一动点（不与，重合），求证：．请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程． (2)类比迁移：如图②，的半径为4，点，在上，为内一点，，，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) 将绕点A顺时针旋转到的位置， 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴Q，B，P三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转到的位置，由旋转的性质可得：，，，根据圆的内接四边形的性质可证点Q，点B，点P共线，根据勾股定理可证； （2）连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，，则可得，，，根据勾股定理可求，根据三角形三边关系可得（当点B在上时，取等号），即可求的最小值． 【详解】（1）略 （2）如图②：连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，，    ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∴， ∴在中，， ∵（当点B在上时，取等号）， ∴OC最小值是． 【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 24．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (2)；； (3)①；②B、E、D、C；③； (4) 证明：连接，， 由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴，， ∴， 由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆， 即点P在的外接圆上． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、圆周角定理、圆内知识综合(圆的综合问题)、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上． 【详解】（1）解：连接，， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，， ∴ 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：假设点C落在外，交于点E，连接， 可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾，故点C在圆上， 故答案为：；； （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接． ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高． 故答案为：；B、E、D、C；； （4）略 【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 正多边形与圆、扇形、圆综合压轴 （核心知识+8易错辨析+18典例精讲+课后作业） 【知识点01】正多边形与圆 1. 正多边形定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 关键前提：仅各边相等或仅各角相等的多边形不是正多边形，两个条件必须同时满足。 2. 正多边形与圆的关系 把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可得到这个圆的内接正n边形；对应的圆为正多边形的外接圆，正多边形还有与外接圆同心的内切圆。 核心相关概念： 中心：正多边形外接圆的圆心 半径R：正多边形外接圆的半径（顶点到中心的距离） 中心角：正多边形每条边所对的圆心角，公式： 边心距r：中心到正多边形一边的距离，即内切圆半径 核心直角三角形关系：正多边形的半边长、边心距、外接圆半径构成直角三角形，满足：（为正n边形边长） 3. 正多边形角度计算公式 正n边形内角： 正n边形外角： 重要结论：正多边形外角 = 中心角 4. 正多边形对称性 所有正n边形都是轴对称图形，共有n条对称轴； n为偶数：正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； n为奇数：正多边形仅为轴对称图形，无中心对称性。 【知识点02】扇形、弧长与扇形面积 1. 扇形定义 由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧共同围成的封闭图形，叫做扇形。 2. 弧长公式 在半径为R的圆中，圆心角度数为n°的弧长计算公式： 3. 扇形面积公式（两个） 角度公式： 弧长推导公式：（l为扇形对应弧长，形似三角形面积公式，便于快速记忆计算） 4. 弓形面积计算 弓形面积可转化为扇形与三角形的面积和差，分两种情况： 劣弧弓形： 优弧弓形： 5. 拓展：圆锥与扇形的关系 圆锥的侧面展开图是一个扇形，二者对应关系： 扇形半径 = 圆锥母线长 扇形弧长 = 圆锥底面圆周长（，r为圆锥底面半径） 易错点序号 错误认知 正确解析 1 各边相等的多边形是正多边形 必须同时满足各边相等、各角相等。例如菱形四边相等但内角不等，不是正多边形；矩形四角相等但边长不等，也不是正多边形。 2 正多边形中心角与内角相等 中心角，内角，仅正方形（n=4）时二者相等，其余正多边形均不相等。 3 混淆外接圆半径与边心距 半径R：中心到多边形顶点的距离（外接圆半径）；边心距r：中心到多边形边的距离（内切圆半径），二者为不同概念。 4 记混弧长、扇形面积公式分母 弧长公式分母为180，扇形面积公式分母为360，口诀：求长用180，求积用360。 5 公式中直接代入直径计算 所有弧长、扇形面积公式中的R均为圆的半径，题目给出直径时，需先除以2换算为半径再计算。 6 弓形面积直接等于扇形面积 劣弧弓形需减去对应三角形面积，优弧弓形需加上对应三角形面积，不可直接等同于扇形面积。 7 奇数边正多边形是中心对称图形 正五边形、正七边形等奇数边正多边形，仅具备轴对称性，无中心对称性，只有偶数边正多边形兼具两种对称性。 8 特殊正六边形边长与边心距混淆 正六边形边长 = 外接圆半径，边心距为，是考试高频易错点。 【题型一】求正多边形的中心角 【例1】．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式2】．（2024九年级上·江苏泰州·阶段检测）正十边形的中心角的度数为_____． 【变式3】．古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【题型二】已知正多边形的中心角求边数 【例2】．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【变式2】．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一个正n边形的中心角为，则n为___________． 【变式3】．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是______． 【题型三】正多边形和圆的综合 【例3】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·江苏南京·三模）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【变式3】．如图，正六边形内接于，求的度数． 【题型四】求弧长 【例4】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【变式2】．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 【变式3】．（2025九年级上·江苏无锡·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，则的长为_______． 【题型五】求扇形半径 【例5】．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 【变式1】．（24-25九年级上·江苏溧阳·期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________cm． 【变式2】．圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的母线长是______cm． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【题型六】求圆心角 【例6】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 【题型七】求某点的弧形运动路径长度 【例7】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 【变式3】．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）。以点为原点，过点的水平线为轴，建立直角坐标系。 （1）将线段向上平移两个单位长度，点的对应点为点，点的对应点为点，请画出平移后的线段，并写出的坐标； （2）将线段绕点按逆时针方向旋转90°，点的对应点为点，请画出旋转后的线段，并写出的坐标； （3）求出（2）中运动的路径长。    【题型八】求扇形面积 【例8】．（2025·江苏苏州·一模）扇形的半径为9，圆心角为，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）圆心角为，半径为的扇形的面积为___________． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【题型九】求图形旋转后扫过的面积 【例9】．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（  ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是______． 【变式3】．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 _____． 【题型十】求弓形面积 【例10】．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积__________．    【变式2】．如图，在半径为6的中，点是的中点，与相交于点，，图中阴影部分面积是_________． 【变式3】．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【题型十一】求不规则图形的面积 【例11】．如图，以半圆的直径为边向上作正方形，连接交半圆弧于点，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，点在以为直径的半圆上运动，连接，，若，则半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和的最小值为___________． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，求花窗的面积．（结果保留π） 【题型十二】求圆锥侧面积 【例12】．（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（    ） A．20 B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知圆锥底面圆的半径为5，母线长为8，则其侧面展开图的面积为___________． 【变式3】．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm．，求裁剪的面积． 【题型十三】求圆锥底面半径 【例13】．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 【变式3】．如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径． 【题型十四】求圆锥的高 【例14】．（2024九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过__________．    【变式2】．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【变式3】．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 【题型十五】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例15】．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【变式3】．（2025九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 【题型十六】圆锥的实际问题 【例16】．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·江苏苏州·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 【变式3】．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________． 【题型十七】圆锥侧面上最短路径问题 【例17】．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【变式1】．如图，一个底面半径为3的圆锥，母线，D为的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到D，则蚂蚁爬行的最短路程为______． 【变式2】．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【变式3】．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【题型十八】圆的综合问题 【例18】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）（1）如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？ 从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，的半径为r，则r的取值范围是______． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． （一）核心知识梳理 1. 正多边形的判定核心是边角双相等，所有正多边形都有同心的外接圆和内切圆，可借助圆的性质求解多边形参数。 2. 正多边形计算核心模型：将边长、半径、边心距的计算，转化为解直角三角形，利用勾股定理求解。 3. 对称性规律：偶边正多边形双对称（轴对称+中心对称），奇边正多边形仅轴对称。 4. 两大核心公式：弧长公式、扇形面积两个公式，可根据已知条件灵活选用，已知弧长优先使用简化计算。 5. 弓形、阴影面积通用思路：割补转化，将不规则图形面积转化为扇形、三角形、圆形的面积和差。 （二）通用解题方法 1. 正多边形计算题：优先找中心、作边心距，构造直角三角形，结合勾股定理、角度公式解题。 2. 弧长与扇形面积题：先明确圆心角度数和圆的半径，杜绝直径代公式、记混分母等基础错误。 3. 不规则阴影面积题：采用割补法、平移法，转化为规则图形面积计算。 （三）考场重点提醒 1. 严格区分正多边形半径、边心距、边长三个核心量； 2. 牢记公式差异，避免弧长、扇形面积公式混用； 3. 熟记正六边形特殊性质：边长等于外接圆半径，快速秒杀相关题型； 4. 区分奇偶边正多边形的对称性，避免判断失误。 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长方形中（），作扇形，扇形，扇形，若要求扇形的面积，只需要知道下列哪条线段长（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，．以的中点为圆心的圆弧分别与相切于点、，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，正五边形内接于，连接，则___________． 10．（25-26九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为________．（结果保留） 12．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）给一个圆锥形零件的侧面涂漆（不包含底面的圆），已知圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的侧面需涂漆___（结果保留）． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为______． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，M、N是上两点（异于点A、B），C是上一动点，的平分线交于点D，的平分线交于点E，则________，当点C从点M运动到点N时，C、E两点的运动路径长的比是________ 三、解答题 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 17．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，平分，延长至点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 18．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 19．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，点D在上，C为外一点，且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 21．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 22．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 23．问题背景：在中，，，由勾股定理可知：．    (1)问题探究：如图①，是的直径，点在上，，为弧上一动点（不与，重合），求证：．请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程． (2)类比迁移：如图②，的半径为4，点，在上，为内一点，，，垂足为，求的最小值． 24．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 　　 得，即A，B，C，D共圆； (2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证． (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） (4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $