专题3.7 扇形（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦扇形及圆锥相关知识，系统梳理弧长公式、扇形面积公式，衔接圆锥侧面积、底面半径、母线等计算，构建从基础公式到实际应用的完整知识支架。 资料以14类题型为脉络，例题结合中考真题与生活情境，如草编圆锥、弧形车道等，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后通过变式练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题3.7 扇形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 求弧长】 1 【题型2 由弧长求圆心角】 4 【题型3 由弧长求半径】 6 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 8 【题型5 求扇形面积】 12 【题型6 求弓形面积】 14 【题型7 求不规则图形的面积】 19 【题型8 求图形旋转后扫过的面积】 24 【题型9 求圆锥的侧面积】 28 【题型10 求圆锥的底面半径】 32 【题型11 求圆锥的高、母线】 34 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 37 【题型13 圆锥的实际应用】 42 【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】 46 考点1 弧长 【知识点1 弧长公式】 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 【题型1 求弧长】 【例1】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【变式1-1】（2026·吉林长春·二模）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为． 【变式1-2】（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在圆上取点，连接，，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接，， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 【变式1-3】（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】利用弧长公式（n为弧对应的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）来计算和的长，相减即可求解． 【详解】解：米， 米， 隔离带外侧的长比内侧的长多米． 【题型2 由弧长求圆心角】 【例2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键； 利用，再由扇形面积公式代值计算即可求解． 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为， 则，， ∵， ∴， 解得， 即扇面宣传板所对的圆心角为， 故选：C． 【变式2-1】（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ∵扇形半径，弧长， ∴， 解得， ∴此扇形的圆心角为． 【变式2-2】（2026·河北邯郸·三模）如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 【答案】/60度 【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆心角是，由题意，得， 解得， ∴这个扇形的圆心角是． 【变式2-3】（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 【题型3 由弧长求半径】 【例3】（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【答案】48 【分析】根据扇形弧长公式，将已知的弧长和圆心角代入扇形弧长公式，即可计算得到扇形半径． 【详解】解：设该扇形的半径为. 解得． 【变式3-2】（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为 ， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 【变式4-1】（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 【变式4-2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，是半径为1的的一条弦，．将绕点A逆时针旋转，当点O的对应点第一次落在上时，点B运动的路径长是______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，易得为等边三角形，进而求出旋转角为，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵是半径为1的的一条弦，， ∴， ∴， ∵旋转，点O的对应点第一次落在上， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B运动的路径长是． 【变式4-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 考点2 扇形面积 【知识点2 扇形及扇形的面积公式】 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【题型5 求扇形面积】 【例5】（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 【详解】解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，求得，利用扇形面积求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在中，，可得到的距离相等，则 则阴影部分的面积为扇形的面积， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由扇形面积公式可得，，B选项符合题意． 【变式5-2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 【变式5-3】（2026·宁夏银川·一模）如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【答案】/ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和角的度数，利用勾股定理求出，假设与的半径分别为，根据等圆和相切的性质得出，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 假设与的半径分别为，且与外切，两圆为等圆， ∴，， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和为． 【题型6 求弓形面积】 【例6】（2026·广东深圳·二模）如图，在矩形中，．以的中点O为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设半圆交于点，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而通过得到，推出，即可求解． 【详解】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 【变式6-1】（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 【变式6-2】如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 【变式6-3】（2026·江苏盐城·一模）团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中间并垂直于底座，为方便取用，扇架两端的支架高度要不大于手柄长度的一半，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点A，． (1)求扇架支架的的最大高度； (2)为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，过点作于点，依题意得：，，，在同一条直线上，，，，在中，由勾股定理得，进而得，由此可得扇架两端支架的取值范围； （2）先在中，利用锐角三角函数求出，进而再分别求出，，进而即可得出阴影部分面积． 【详解】（1）解：连接，，如图所示： 依题意得：，，，在同一条直线上， ∵扇面的半径为， ∴， ∵直线与扇面相切于点，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴（cm）， ∴扇架两端支架的取值范围为：； ∴的最大高度为； （2）解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ， ∴装饰部分的面积为：． 【题型7 求不规则图形的面积】 【例7】（2026·河南三门峡·三模）在学习角平分线的时候，某数学兴趣小组提出用量角器作角平分线的方法．如图，将量角器放在内部，使角的两边分别与量角器的半圆弧相切于点B，C，O为量角器的圆心，则射线即为的平分线． (1)请判断该兴趣小组的作法是否正确，并说明理由． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)正确，理由： 如图，连接． 与量角器的半圆弧相切， ， ， ， ． ，即是的平分线． (2) 【分析】（1）连接，证明即可解答； （2）延长交的延长线于点D．证明，再利用即可解答 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交的延长线于点D． 在中，，， ，． ，是等腰直角三角形． ． 设，则． ， ∴，解得， 即． 由（1），知， ∴． 【变式7-1】（2026·广西玉林·一模）如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出， 据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴ ． 【变式7-2】（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，先得出所在的圆为以点为圆心、长为半径的，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【变式7-3】（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积 的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 【题型8 求图形旋转后扫过的面积】 【例8】如图，在中，已知，，． 把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再利用阴影面积 求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 由旋转得，，， 阴影面积 ． 【变式8-1】（2026·山西晋中·一模）如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 【变式8-2】如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质和旋转的性质求得A′B=2，OB=1，从而求得旋转角度；再由阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积计算求值即可； 【详解】解：Rt△ABC是等腰直角三角形，OC⊥AB，则AB=2OC=2，OA=OB=OC=1，AC=BC=， ∵旋转性质可得：AB=A′B，BC=BC′，∠ABA′=∠CBC′， Rt△A′OB中，A′B=2，OB=1，则∠ABA′=60°， ∴扇形ABA′面积=，△A′BC面积=△ABC面积=， 扇形CBC′面积=， ∵阴影面积=扇形ABA′面积+△A′BC面积-扇形CBC′面积-△ABC面积， ∴阴影面积=， 故选： D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，扇形面积计算等知识；掌握相关性质和扇形面积计算公式是解题关键． 【变式8-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______． 【答案】 【分析】连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E，利用三角函数求出BF=CF=BCsin45°=2，，利用勾股定理求出AC=，先证四边形B′EFC为矩形，得出B′E=CF=2，利用三角函数求出∠BCB′=30°，再证△ABC≌△AB′C′，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E， ∵∠ABC=135°， ∴∠CBF=45°， ∴BF=CF=BCsin45°=2， ∵AF=AB+BF=4+2=6， ∴AC=， ∵点B′在CD上，四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB′=AB=4， ∵CF⊥AB，B′E⊥AB， ∴B′E∥CF， ∴四边形B′EFC为平行四边形， ∵∠CFE=90°， ∴四边形B′EFC为矩形， ∴B′E=CF=2， ∴sin∠B′AE=， ∴∠BCB′=30°， ∵将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度， ∴∠BAB′=∠CAC′=30°，AB=AB′，∠ABC=∠AB′C′，BC=B′C′， ∴△ABC≌△AB′C′， ∴将△ABC逆时针旋转30°得△AB′C′， ∴S阴影=S扇形CAC′-S扇形BAB′=． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查图形旋转，平行四边形性质，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积，掌握图形旋转性质、平行四边形性质、矩形的判定与性质、三角形全等判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、扇形的面积公式是解题关键． 考点3 圆锥的侧面积 【知识点3 圆锥的侧面积和全面积】 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形，那么由勾股定理得：． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型9 求圆锥的侧面积】 【例9】（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 【答案】 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为， ∴面积为：． 【变式9-1】（2026·云南曲靖·二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵测量得母线长为，高度为， ∴由勾股定理得底面圆半径， ∵圆锥侧面积公式为， ∴ 【变式9-2】中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为______． 【答案】36π 【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可． 【详解】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ∴AB＝5， Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4， 所以所得到的几何体的全面积＝π×422π×4×5＝36π． 故答案为36π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式9-3】在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上） （1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留） （2）请说明方案一不可行的理由． （3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）正方形的边长为 【分析】（1）由题意易得圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4，然后利用圆锥的全面积计算公式直接代入求解即可； （2）由方案一的图可得圆的半径为16，进而可得的长，设圆与正方形相切于点E，连接，进而可求出圆的半径，然后求出圆的周长，进而根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长可进行求证； （3）设圆与正方形相切于点F，连接，由方案二的图得出圆和圆的半径，然后再利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可求解． 【详解】解：（1）由题意得：圆锥的母线长为16，底面圆的半径为4， ∴圆锥的全面积为：； （2）设圆与正方形相切于点E，连接，如图所示： ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为，圆的周长为， ∵， ∴方案一不可行； （3）设圆与正方形相切于点F，连接，如图所示： 设， ∴由圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长可得：， 解得：， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查圆锥的全面积及弧长计算公式，熟练掌握圆锥全面积及弧长的计算公式是解题的关键． 【题型10 求圆锥的底面半径】 【例10】（2026·青海西宁·二模）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径，圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，圆锥的母线长为，即侧面展开图扇形的半径为， 扇形的弧长为， 圆锥底面圆的周长为， 根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，可得， 解得． 【变式10-1】（2026·云南昆明·模拟预测）在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式 （其中 为底面半径， 为母线长），将已知母线长和侧面积代入公式建立方程，解方程即可求出底面半径． 【详解】解：设该圆锥形草帽底面圆的半径为 ． 根据圆锥侧面积公式，得． 方程两边同时除以，得． 【变式10-2】（2026·山东聊城·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 【变式10-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 【题型11 求圆锥的高、母线】 【例11】（2026·山东烟台·一模）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 【变式11-1】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故选：A． 【变式11-2】（2026·四川广安·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 【答案】5 【分析】根据圆锥的底面直径求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母线长即可． 【详解】解：为底面直径， 圆锥的底面半径为 圆锥的底面周长 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 设母线的长为 解得 ． 【变式11-3】如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1)1：2 (2) 【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论． （2）根据求解即可． 【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： ． ∴． ∴，ED与母线AD长之比为 （2）∵ ∴ 答：加工材料剩余部分的面积为 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 【变式12-1】（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 【变式12-2】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为 ，则这个扇形的圆心角的度数是__________度． 【答案】150 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm， 由题意得：×20π×l=240π， 解得：l=24， 则=20π. 解得n=150，即扇形的圆心角为150°， 故答案为:150． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键. 【变式12-3】（25-26九年级下·北京·开学考试）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是（    ） ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①设圆心为O，连接，，根据切线的性质求出的度数，再根据圆周角定理可得出的度数，则可判断正误；②先证得平分，则有，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得的长度；③利用垂径定理求得点O到的距离，取的中点Q，的中点为M，点到的距离为，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断． 【详解】解：①如图1，设圆心为O，连接，，，，， 由切线性质，得，， 在四边形中，，， ∴圆心角． 由图可知点一直在优弧上， ∴，故①正确； ②∵，，， ∴平分， ∴， 在中，，则， 同理，． ∴，故②正确； ③如图2，取的中点Q，的中点为M， ∵，， ∴， 正方形边长为，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点都在对称轴上， ∴点P到的距离即的长度， ∵， ∴． ∴，故③错误； ④如图3， 圆锥的母线长， 设圆锥底面圆心为，且在上， 在直角三角形中，． ∴圆锥底面周长， 根据弧长公式，， ∴展开图是圆心角为的扇形，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②④． 【题型13 圆锥的实际应用】 【例13】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【变式13-1】某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=DE， 圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm， ∴， ∴， 解得：x=3， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm． 故选：B． 【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题． 【变式13-2】（2025九年级上·全国·专题练习）在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是的圆柱形钢材．如果把钢材全部侵入水中，桶里的水面上升；如果再把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降．（取） (1)整段钢材的体积是多少？ (2)若把整段钢材全部用来锻造底面直径为，高为的圆锥形零件，一共可以锻造多少个这样的圆锥形零件？（假定锻造过程中无任何损耗） 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）根据题意先求出整段钢材的高，再根据圆柱的体积公式列式计算即可； （2）根据圆锥的体积公式求出每个圆锥形零件的体积，再用整段钢材的体积除以每个圆锥形零件的体积即可求解． 【详解】（1）解：整段钢材的高为：， 整段钢材的体积为：， 答：整段钢材的体积是； （2）解：每个圆锥形零件的体积为：， 锻造锥形零件的个数为：（个）． 答：一共可以锻造个这样的圆锥形零件． 【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，解题的关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，由体积公式找出合适的数量关系列式计算． 【变式13-3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】 【例14】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 【变式14-1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式14-2】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可． 【详解】解：如图: ∵， ∴设弧所对的圆心角的度数为n， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长． 【变式14-3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 扇形（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 求弧长】 1 【题型2 由弧长求圆心角】 2 【题型3 由弧长求半径】 3 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 4 【题型5 求扇形面积】 6 【题型6 求弓形面积】 7 【题型7 求不规则图形的面积】 8 【题型8 求图形旋转后扫过的面积】 9 【题型9 求圆锥的侧面积】 11 【题型10 求圆锥的底面半径】 12 【题型11 求圆锥的高、母线】 13 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 14 【题型13 圆锥的实际应用】 16 【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】 17 考点1 弧长 【知识点1 弧长公式】 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 【题型1 求弧长】 【例1】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【变式1-1】（2026·吉林长春·二模）物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【变式1-2】（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【题型2 由弧长求圆心角】 【例2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·河北邯郸·三模）如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 【变式2-3】（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【题型3 由弧长求半径】 【例3】（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式3-1】（2026·江苏无锡·一模）已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则该扇形的半径为__________． 【变式3-2】（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米． 【变式3-3】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【变式4-1】（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，是半径为1的的一条弦，．将绕点A逆时针旋转，当点O的对应点第一次落在上时，点B运动的路径长是______．（结果保留） 【变式4-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm． 考点2 扇形面积 【知识点2 扇形及扇形的面积公式】 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【题型5 求扇形面积】 【例5】（2026·四川绵阳·二模）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·宁夏银川·一模）如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【题型6 求弓形面积】 【例6】（2026·广东深圳·二模）如图，在矩形中，．以的中点O为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【变式6-3】（2026·江苏盐城·一模）团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中间并垂直于底座，为方便取用，扇架两端的支架高度要不大于手柄长度的一半，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点A，． (1)求扇架支架的的最大高度； (2)为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 【题型7 求不规则图形的面积】 【例7】（2026·河南三门峡·三模）在学习角平分线的时候，某数学兴趣小组提出用量角器作角平分线的方法．如图，将量角器放在内部，使角的两边分别与量角器的半圆弧相切于点B，C，O为量角器的圆心，则射线即为的平分线． (1)请判断该兴趣小组的作法是否正确，并说明理由． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式7-1】（2026·广西玉林·一模）如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【变式7-2】（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型8 求图形旋转后扫过的面积】 【例8】如图，在中，已知，，． 把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·山西晋中·一模）如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，中，，，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______． 考点3 圆锥的侧面积 【知识点3 圆锥的侧面积和全面积】 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形，那么由勾股定理得：． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型9 求圆锥的侧面积】 【例9】（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 【变式9-1】（2026·云南曲靖·二模）云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为______． 【变式9-3】在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥体模型（尺寸大小如下图①，单位为cm），操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案（如图），最后发现根据方案一无法制作出相关模型．（两方案的图中，两圆圆心、与正方形纸片的顶点C在同一条直线上） （1）请根据圆锥体模型的尺寸（如图①），求出该圆锥体的全面积．（结果保留） （2）请说明方案一不可行的理由． （3）兴趣小组根据方案二最终成功制作出圆锥体模型，求方案二中正方形纸片的边长． 【题型10 求圆锥的底面半径】 【例10】（2026·青海西宁·二模）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为__________． 【变式10-1】（2026·云南昆明·模拟预测）在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 【变式10-2】（2026·山东聊城·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【题型11 求圆锥的高、母线】 【例11】（2026·山东烟台·一模）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【变式11-1】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2026·四川广安·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 【变式11-3】如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 【变式12-1】（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为 ，则这个扇形的圆心角的度数是__________度． 【变式12-3】（25-26九年级下·北京·开学考试）“不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是（    ） ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型13 圆锥的实际应用】 【例13】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【变式13-1】某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025九年级上·全国·专题练习）在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是的圆柱形钢材．如果把钢材全部侵入水中，桶里的水面上升；如果再把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降．（取） (1)整段钢材的体积是多少？ (2)若把整段钢材全部用来锻造底面直径为，高为的圆锥形零件，一共可以锻造多少个这样的圆锥形零件？（假定锻造过程中无任何损耗） 【变式13-3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】 【例14】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【变式14-2】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【变式14-3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $