3.3 立方根 一阶训练 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦立方根概念与运算，通过基础辨析、技能应用到综合拓展的三阶设计，实现从单一知识点到实际问题解决的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|立方根概念及基本运算|概念辨析题（如选择题1-4）强化定义理解| |技能应用|立方根性质与简单应用|图表规律题（如填空题15）培养数感| |综合拓展|综合应用与实际问题|体积问题（如解答题17）提升空间观念|

浙教版数学七年级上册 3.3 立方根 一阶训练 一、选择题 1．下列各数中是有理数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是(　　) A．的平方根为±4 B．±3是9的平方根 C．25的算术平方根是±5 D．负数没有立方根 5．如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（　　） A．倍 B．倍 C． D． 6．下列各数中小于0的是(　　) A．-(-1) B．|-1| C． D． 7． 在-1.414， ，π，，3.212212221…(相邻两个1之间2的个数依次加1)， 3.14这些数中， 无理数的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8．如果将一个正方体的体积扩大为原来的n倍，则它的棱长变为原来的（　　） A．n倍 B．倍 C．倍 D．倍 9．一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（　　） A． B． C． D． 10．若，则x的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 11． 的立方根是　 　． 12．=　 　. 13．若 则a=　 　，若 则a=　 　. 14． 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为　 　． 15．观察下表规律，利用规律解答，若，则 　 　. 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 三、解答题 16．已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 17．一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，其中一个小正方体木块的表面积是多少？ 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：A.是无理数，不符合题意； B.是无理数，不符合题意； C.是无理数，不符合题意； D.是有理数，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用有理数的定义（能够写成分数形式（，其中m、n均为整数）的数统称为有理数）逐个分析判断求解即可. 2．【答案】D 【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解： A.，而非，错误，不符合题意； B.，错误，不符合题意； C.，，错误，不符合题意； D.，正确，符合题意： 故选：D． 【分析】根据开平方、开立方对选项逐一运算，进而即可求解。 3．【答案】B 【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意； B：，正确，符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，错误，不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据二次根式，立方根的性质逐项进行判断即可求出答案. 4．【答案】B 【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】A： =4，4 的平方根为±2，A错误； B：，±3是9的平方根 ，B正确； C： 25的算术平方根是5，C错误； D： 负数有立方根， 负数没有平方根，D错误； 故选：B 【分析】根据平方根和算术平方根的定义，以及立方根的取值范围，一一判断即可. 5．【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故答案为：A． 【分析】先利用正方体体积的计算方法和立方根的计算方法求出正方体的棱长，再求解即可. 6．【答案】C 【知识点】乘方的相关概念；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-直接比较法；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：∵-(-1)=1，1>0， ∴A不符合要求. ∵|-1|=1，1>0. ∴B不符合要求. ∵，-1<0， ∴C符合要求. ∵(-1)2=1，1>0， ∴D不符合要求. 故答案为：C. 【分析】先根据相反数、绝对值、立方根、乘方的运算法则化简每个选项，再将化简结果和0比较大小，即可得到答案. 7．【答案】B 【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解： ， 无理数有 (相邻两个1之间2的个数依次加1)，共3个， 故选： B. 【分析】根据有理数和无理数的定义分别进行分类来求解. 8．【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【解答】解：设原正方体棱长为a，原体积V=a3， 体积扩大为原来n倍后体积为nV=na3， 设新棱长为x，则x3=na3， 开立方，得，即棱长变为原来倍． 故答案为：C． 【分析】先根据正方体体积公式V=a3设原棱长，原体积，再根据体积扩大n倍列出新体积等式x3=na3，最后对等式两边同时开立方得到新棱长与原棱长的倍数关系． 9．【答案】B 【知识点】开立方（求立方根）；立方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵正方体形状的集装箱的体积是 ∴正方体的棱长为， 故答案为：B. 【分析】利用正方体的体积公式及开立方的计算方法分析求解即可. 10．【答案】D 【知识点】立方根的概念与表示 【解析】【解答】解：∵ ∴． 故答案为：D 【分析】因为2的立方是8，则8的立方根是2，即，x=8. 11．【答案】-3 【知识点】立方根及开立方 【解析】【解答】∵-3的立方等于-27， ∴-27的立方根等于-3. 故答案为：-3. 【分析】（-3）3=-27根据立方根的概念求解即可. 12．【答案】 【知识点】开立方（求立方根） 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】根据立方根的定义即可求解. 13．【答案】±3；-4 【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：∵x2=(-3)2=9=(±3)2 ∴x=±3 ∵x3=(-4)3 ∴x=-4 故答案是：±3，-4. 【分析】先分别计算出等式右边的值，再根据平方根和立方根的性质求出a的值. 14．【答案】2 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【解答】 设每个方块的棱长x， 由于二阶魔方是一个正方体结构 ， 则它的体积等于每个方块体积的8倍。 所以，。由二阶魔方的体积约为64cm3，则一个立方体的体积为8cm3。 所以，棱长x＝cm。 【分析】 这题考查的是立方根的实际应用，先根据题目所给条件求出每个方块的体积，再根据体积利用立方根求棱长即可。 15．【答案】2.872 【知识点】立方根的性质 【解析】【解答】解：因为23.7=0.0237×1000， 所以 故答案为：2.872 . 【分析】根据立方根的被开方数小数点移动三位，立方根的小数点相应的移动一位解答即可. 16．【答案】解：∵和互为相反数， ∴+=0， ∴，解得：， ∵的平方根是它本身， ∴，解得：， ∴． 【知识点】相反数的意义与性质；平方根的概念与表示；开立方（求立方根） 【解析】【分析】根据相反数的性质可得x，y值，再代入代数式，结合立方根的定义即可求出答案. 17．【答案】解：一个正方体木块的体积是， 现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体村的积是， 边长是， 所以一个小正方体木块的表面积为． 答：一个小正方体木块的表面积是． 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【分析】本题主要考查立方根的实际应用问题，根据正方体的体积，求得小正方体木块的体积为，由体积求得小正方体的边长，结合表面积公式，进行计算，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版数学七年级上册 3.3 立方根 一阶训练 一、选择题 1．下列各数中是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：A.是无理数，不符合题意； B.是无理数，不符合题意； C.是无理数，不符合题意； D.是有理数，符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用有理数的定义（能够写成分数形式（，其中m、n均为整数）的数统称为有理数）逐个分析判断求解即可. 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解： A.，而非，错误，不符合题意； B.，错误，不符合题意； C.，，错误，不符合题意； D.，正确，符合题意： 故选：D． 【分析】根据开平方、开立方对选项逐一运算，进而即可求解。 3．下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意； B：，正确，符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，错误，不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据二次根式，立方根的性质逐项进行判断即可求出答案. 4．下列说法正确的是(　　) A．的平方根为±4 B．±3是9的平方根 C．25的算术平方根是±5 D．负数没有立方根 【答案】B 【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根） 【解析】【解答】A： =4，4 的平方根为±2，A错误； B：，±3是9的平方根 ，B正确； C： 25的算术平方根是5，C错误； D： 负数有立方根， 负数没有平方根，D错误； 故选：B 【分析】根据平方根和算术平方根的定义，以及立方根的取值范围，一一判断即可. 5．如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（　　） A．倍 B．倍 C． D． 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故答案为：A． 【分析】先利用正方体体积的计算方法和立方根的计算方法求出正方体的棱长，再求解即可. 6．下列各数中小于0的是(　　) A．-(-1) B．|-1| C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的相关概念；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-直接比较法；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：∵-(-1)=1，1>0， ∴A不符合要求. ∵|-1|=1，1>0. ∴B不符合要求. ∵，-1<0， ∴C符合要求. ∵(-1)2=1，1>0， ∴D不符合要求. 故答案为：C. 【分析】先根据相反数、绝对值、立方根、乘方的运算法则化简每个选项，再将化简结果和0比较大小，即可得到答案. 7． 在-1.414， ，π，，3.212212221…(相邻两个1之间2的个数依次加1)， 3.14这些数中， 无理数的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解： ， 无理数有 (相邻两个1之间2的个数依次加1)，共3个， 故选： B. 【分析】根据有理数和无理数的定义分别进行分类来求解. 8．如果将一个正方体的体积扩大为原来的n倍，则它的棱长变为原来的（　　） A．n倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【解答】解：设原正方体棱长为a，原体积V=a3， 体积扩大为原来n倍后体积为nV=na3， 设新棱长为x，则x3=na3， 开立方，得，即棱长变为原来倍． 故答案为：C． 【分析】先根据正方体体积公式V=a3设原棱长，原体积，再根据体积扩大n倍列出新体积等式x3=na3，最后对等式两边同时开立方得到新棱长与原棱长的倍数关系． 9．一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】开立方（求立方根）；立方根的实际应用 【解析】【解答】解：∵正方体形状的集装箱的体积是 ∴正方体的棱长为， 故答案为：B. 【分析】利用正方体的体积公式及开立方的计算方法分析求解即可. 10．若，则x的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】立方根的概念与表示 【解析】【解答】解：∵ ∴． 故答案为：D 【分析】因为2的立方是8，则8的立方根是2，即，x=8. 二、填空题 11． 的立方根是　 　． 【答案】-3 【知识点】立方根及开立方 【解析】【解答】∵-3的立方等于-27， ∴-27的立方根等于-3. 故答案为：-3. 【分析】（-3）3=-27根据立方根的概念求解即可. 12．=　 　. 【答案】 【知识点】开立方（求立方根） 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】根据立方根的定义即可求解. 13．若 则a=　 　，若 则a=　 　. 【答案】±3；-4 【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根） 【解析】【解答】解：∵x2=(-3)2=9=(±3)2 ∴x=±3 ∵x3=(-4)3 ∴x=-4 故答案是：±3，-4. 【分析】先分别计算出等式右边的值，再根据平方根和立方根的性质求出a的值. 14． 如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为　 　． 【答案】2 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【解答】 设每个方块的棱长x， 由于二阶魔方是一个正方体结构 ， 则它的体积等于每个方块体积的8倍。 所以，。由二阶魔方的体积约为64cm3，则一个立方体的体积为8cm3。 所以，棱长x＝cm。 【分析】 这题考查的是立方根的实际应用，先根据题目所给条件求出每个方块的体积，再根据体积利用立方根求棱长即可。 15．观察下表规律，利用规律解答，若，则 　 　. 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【知识点】立方根的性质 【解析】【解答】解：因为23.7=0.0237×1000， 所以 故答案为：2.872 . 【分析】根据立方根的被开方数小数点移动三位，立方根的小数点相应的移动一位解答即可. 三、解答题 16．已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 【答案】解：∵和互为相反数， ∴+=0， ∴，解得：， ∵的平方根是它本身， ∴，解得：， ∴． 【知识点】相反数的意义与性质；平方根的概念与表示；开立方（求立方根） 【解析】【分析】根据相反数的性质可得x，y值，再代入代数式，结合立方根的定义即可求出答案. 17．一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，其中一个小正方体木块的表面积是多少？ 【答案】解：一个正方体木块的体积是， 现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体村的积是， 边长是， 所以一个小正方体木块的表面积为． 答：一个小正方体木块的表面积是． 【知识点】立方根的实际应用 【解析】【分析】本题主要考查立方根的实际应用问题，根据正方体的体积，求得小正方体木块的体积为，由体积求得小正方体的边长，结合表面积公式，进行计算，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $