北京市广渠门中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

北京市广渠门中学2025－2026学年度第一学期试卷 高三年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点分别是，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知，则的值域为 A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 9. 已知无穷数列，，则“中元素存在最小值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 二．填空题 11. 双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为______． 12. 已知，则______，______． 13. 已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 14. 在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为_______. 15. 设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则下列说法正确的有______． ①集合不是“可拆等和集” ②若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个； ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”； ④若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”． 三．解答题 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，平面平面，是的中点，平面交于． （1）求证：是的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 19. 已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． （1）当时，求的值； （2）若点满足且，求的大小． 20. 已知三次函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围； （3）当时，若，求的取值范围. 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 北京市广渠门中学2025－2026学年度第一学期试卷 高三年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二．填空题 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 16 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①②④ 三．解答题 【16题答案】 【答案】（1）证明: 为菱形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． 又因为是的中点，所以是的中点． （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 选①：不符合题意； 选②：三角形唯一确定，的面积； 选③：唯一，的面积． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）2018年和年 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）. 【21题答案】 【答案】（1）；；；. （2）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）7 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $