专题03勾股定理的应用同步培优讲义（重点知识梳理+14大核心题型+分层练习）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题03勾股定理的应用同步培优讲义 ✺知识框架 本节以勾股定理及其逆定理为基础，渗透数学建模思想，主要包含立体图形表面最短路径问题、生活测量类实际问题、方位航海问题以及勾股定理与其逆定理的综合应用。核心思路为将立体问题平面化、实际问题几何化，通过构造直角三角形求解线段长度。 ✺学习目标 1.能够将实际情境、立体图形问题抽象为直角三角形模型，熟练运用勾股定理求解线段长度。 2.体会化曲为直、化立体为平面的转化思想，掌握圆柱、长方体表面最短路径的求解方法，具备分类求值的解题意识。 3.能够综合运用勾股定理及其逆定理解决测量、航海、几何判定类实际问题，规范书写解题过程 ✺知识梳理 知识点一、勾股定理实际问题解题步骤 1.建模：依据题意绘制几何示意图，将实际条件转化为图形中的边长信息。 2.定位：识别图形中的直角三角形，区分已知边长与待求边长。 3.求解：选取勾股定理建立关系式并完成计算。 4.作答：检验计算结果是否符合实际意义，规范书写结论。 知识点二、立体图形最短路径问题 基本原理：两点之间，线段最短。 求解立体图形表面两点间的最短路径，需将立体图形的表面展开至同一平面，再结合勾股定理计算线段长度。 圆柱侧面最短路径：沿圆柱母线将侧面剪开，展开得到长方形。长方形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边等于底面圆弧的展开长度，由此构造直角三角形，利用勾股定理求得两点间线段长，即为最短路径。 长方体表面最短路径：将长方体相邻两个面展开至同一平面。不同展开方式可构造不同的直角三角形，分别计算对应路径长度，取所得结果中的最小值，即为长方体表面两点间的最短路径。 知识点三、常见生活实际应用 1.梯子滑动问题：墙面与地面相互垂直，构成直角三角形。梯子作为斜边，长度保持恒定，借助勾股定理可求解梯子滑动后顶端的离地高度、梯脚的水平移动距离。 2.旗杆折断问题：旗杆未折断部分垂直于地面，折断部分为斜边，落地点到旗杆底部的水平距离为一条直角边，三者构成直角三角形，可求解旗杆原长与折断段的长度。 3.门框通行问题：长方形门框可通行物体的最大宽度等于门框对角线的长度。对比物体宽度与对角线长度，即可判断物体能否通过门框。 知识点四、方位与航海问题 正东、正西、正南、正北方向两两垂直。当物体沿互相垂直的两个方向运动时，两段运动路程作为直角边，利用勾股定理可求得两点之间的直线距离。 知识点五、勾股定理与逆定理综合应用 1.先判定，后计算：利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再运用勾股定理求解线段长度。 2.先计算，后判定：求出相关线段的长度，利用勾股定理逆定理检验夹角是否为直角，用于实际工程的测量校验。 易错提醒 ①立体图形最短路径指几何体表面的路径，并非几何体内部的线段； ②长方体表面展开存在三种情况，解题时需分类讨论，不可仅计算单一情形； ③线段长度为正值，计算完成后舍去不符合实际意义的负根。 ✺题型精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 在中，，， ∴. 2．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为____________． 【答案】// 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可求出的长，利用面积法求高是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，点A在格点上．画一条线段，使． 【答案】线段即为所求作(答案不唯一） 【分析】根据勾股定理得出，则线段即为所求作． 【详解】略 题型2.勾股定理与折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 2．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 3．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 【答案】 【分析】根据折叠以及长方形的性质可得，先对运用勾股定理求解，再设，由折叠可得，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为． 题型3.求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 1．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 2．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 3．一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 【答案】梯子的底部向外滑出 【分析】先利用勾股定理求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到墙的距离即可解答本题． 【详解】解：如图，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即梯子的底部向外滑出． 题型4.求旗杆高度（勾股定理的应用） 1．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 2．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【详解】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 3．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）由题意可得，，，根据勾股定理求出，即可； （2）由题意可得，，求出，根据勾股定理求出，即可得到他应该往回收线的距离． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， ∴（米）， 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该往回收线米． 题型5.求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 1．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米. 2．一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有_____m高． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出，则即为旗杆的高． 【详解】解：根据题意，在中，，， ， ， 即旗杆原来有高． 故答案为：16． 3．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【分析】利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 题型6.解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】吸管垂直放置时长度最短，斜放至底面边缘时长度最长，利用勾股定理求解． 【详解】解：当吸管垂直于底面时，在罐内部分长度最短，此时 ． 当吸管底端接触底面边缘时，在罐内部分长度最长，此时吸管、圆柱高、底面半径构成直角三角形． 由勾股定理得 ． 则 的取值范围是 ． 2．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】/厘米 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 3．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型7.解决航海问题（勾股定理的应用） 1．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 2．2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 3．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 题型8.求河宽（勾股定理的应用） 1．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 2．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 3．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 题型9.求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 1．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 2．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，利用勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用即可． 【详解】解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为， 因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，即， 地毯的面积为， 总费用为元， 故答案为：． 3．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 题型10.判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 1．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 2．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 3．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 题型11.判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 2．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿直线从左向右移动，已知点C为一海港，点C与直线上A，B两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)通过分析可知，海港C会受到台风影响，请说明理由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港多长时间？ 【答案】(1) ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； (2)海港C会受到台风影响， 理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 题型12.选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 1．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 2．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米． 【答案】10 【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设千米，则千米， ∵B、C两村到P站的距离相等， ∴． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键． 3．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 【答案】(1)见解析如图所示： (2) 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，勾股定理的应用，利用列出方程是解题的关键． （1）作的垂直平分线与交于点，则点即为所作； （2）连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，则点E就是医院的建造位置， （2）解：连接，设，则. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离 题型13.求最短路径（勾股定理的应用） 1．如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． 2．如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开如图所示，过点B作于点C，则， ∴， 即它要爬行的最短路程是． 3．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 题型14.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 2．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 3．图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】(1)解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． ✺分层练习 一、单选题 1．如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 2．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 3．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 4．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画出图形，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，过作于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下：其中，，， 两点间线段最短， 题目所求即为的长， 过作于点， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 二、填空题 5．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果． 【详解】解：在，，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 7．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，，， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是， 故答案为：． 三、解答题 8．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【答案】点应建在距处 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设， 在笔直的铁路上、两点相距， ， 在中，， ， 在中， ， ， 由题意得：， ， 解得：．             答：点应建在距处． 9．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2) 超速，理由如下： ， ， 超速． 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）略 10．某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【答案】(1)气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； (2)受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理的应用同步培优讲义 ✺知识框架 本节以勾股定理及其逆定理为基础，渗透数学建模思想，主要包含立体图形表面最短路径问题、生活测量类实际问题、方位航海问题以及勾股定理与其逆定理的综合应用。核心思路为将立体问题平面化、实际问题几何化，通过构造直角三角形求解线段长度。 ✺学习目标 1.能够将实际情境、立体图形问题抽象为直角三角形模型，熟练运用勾股定理求解线段长度。 2.体会化曲为直、化立体为平面的转化思想，掌握圆柱、长方体表面最短路径的求解方法，具备分类求值的解题意识。 3.能够综合运用勾股定理及其逆定理解决测量、航海、几何判定类实际问题，规范书写解题过程 ✺知识梳理 知识点一、勾股定理实际问题解题步骤 1.建模：依据题意绘制几何示意图，将实际条件转化为图形中的边长信息。 2.定位：识别图形中的直角三角形，区分已知边长与待求边长。 3.求解：选取勾股定理建立关系式并完成计算。 4.作答：检验计算结果是否符合实际意义，规范书写结论。 知识点二、立体图形最短路径问题 基本原理：两点之间，线段最短。 求解立体图形表面两点间的最短路径，需将立体图形的表面展开至同一平面，再结合勾股定理计算线段长度。 圆柱侧面最短路径：沿圆柱母线将侧面剪开，展开得到长方形。长方形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边等于底面圆弧的展开长度，由此构造直角三角形，利用勾股定理求得两点间线段长，即为最短路径。 长方体表面最短路径：将长方体相邻两个面展开至同一平面。不同展开方式可构造不同的直角三角形，分别计算对应路径长度，取所得结果中的最小值，即为长方体表面两点间的最短路径。 知识点三、常见生活实际应用 1.梯子滑动问题：墙面与地面相互垂直，构成直角三角形。梯子作为斜边，长度保持恒定，借助勾股定理可求解梯子滑动后顶端的离地高度、梯脚的水平移动距离。 2.旗杆折断问题：旗杆未折断部分垂直于地面，折断部分为斜边，落地点到旗杆底部的水平距离为一条直角边，三者构成直角三角形，可求解旗杆原长与折断段的长度。 3.门框通行问题：长方形门框可通行物体的最大宽度等于门框对角线的长度。对比物体宽度与对角线长度，即可判断物体能否通过门框。 知识点四、方位与航海问题 正东、正西、正南、正北方向两两垂直。当物体沿互相垂直的两个方向运动时，两段运动路程作为直角边，利用勾股定理可求得两点之间的直线距离。 知识点五、勾股定理与逆定理综合应用 1.先判定，后计算：利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再运用勾股定理求解线段长度。 2.先计算，后判定：求出相关线段的长度，利用勾股定理逆定理检验夹角是否为直角，用于实际工程的测量校验。 易错提醒 ①立体图形最短路径指几何体表面的路径，并非几何体内部的线段； ②长方体表面展开存在三种情况，解题时需分类讨论，不可仅计算单一情形； ③线段长度为正值，计算完成后舍去不符合实际意义的负根。 ✺题型精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为____________． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，点A在格点上．画一条线段，使． 题型2.勾股定理与折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 3．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 题型3.求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 1．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 2．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 3．一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 题型4.求旗杆高度（勾股定理的应用） 1．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 2．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 3．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 题型5.求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 1．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 2．一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有_____m高． 3．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 题型6.解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 3．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 题型7.解决航海问题（勾股定理的应用） 1．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 2．2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 3．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 题型8.求河宽（勾股定理的应用） 1．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 2．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 3．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 题型9.求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 1．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 2．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱． 3．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      题型10.判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 1．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    2．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 3．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 题型11.判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 2．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿直线从左向右移动，已知点C为一海港，点C与直线上A，B两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)通过分析可知，海港C会受到台风影响，请说明理由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港多长时间？ 题型12.选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 1．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 2．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米． 3．如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离、分别为、，公路上的A、B两地相距，现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等． (1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问） 题型13.求最短路径（勾股定理的应用） 1．如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 3．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 题型14.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 2．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 3．图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． ✺分层练习 一、单选题 1．如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 2．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 3．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 4．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 6．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 7．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 三、解答题 8．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 9．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 10．某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $