专题02勾股定理的应用知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题02勾股定理的应用知题通关讲义 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点03:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题技巧：设未知线段长，利用折叠相等关系表示边长，结合勾股定理列方程求解。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点04:通用解题步骤（所有应用题通用） 知识点05:应用场景:核心公式+等量关系 1. 非直角三角形直接套用勾股定理 提醒：勾股定理只适用于直角三角形，使用前必须先确认三角形含有直角。 2. 混淆直角边与斜边，公式代入出错 提醒：斜边是直角的对边，也是直角三角形最长边；公式中c代表斜边，a、b代表两条直角边。 3. 已知两边求第三边，未分类讨论造成漏解 提醒：题目没有说明已知边是直角边还是斜边时，要分两种情况计算。 4. 立体图形最短路径，立体展开方式错误 提醒：求立体表面两点最短距离，需要把立体侧面展开成平面图形，依据两点之间线段最短求解。 5. 折叠问题不能找出对应相等线段 提醒：折叠前后对应线段长度相等，利用该性质表示边长，再借助勾股定理列方程。 6. 应用题边长单位未统一直接计算 提醒：计算前先统一各边长单位，单位不一致会造成结果错误。 7. 判断直角三角形，未选用最长边验证 提醒：验证时必须把最长边当作斜边，检验两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 8. 勾股定理列方程，化简运算出错 提醒：设未知数后，正确表示三角形各边，按a2+b2=c2建立方程，规范计算。 9. 方位应用题画图失误，误判直角 提醒：根据方位角画出图形，准确找到直角，不能凭主观猜测判定直角。 10. 求解边长后，未舍去不符合实际的解 提醒：边长为正数，计算得到的负数解要舍去，结合实际场景剔除不合理答案。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型三 求梯子滑落高度 ★★ 题型四 求旗杆高度 ★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型八 解决航海问题 ★★ 题型九 求河宽 ★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十四 选址使到两地距离相等 ★★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 勾股定理与网格问题 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【详解】解：由勾股定理可得：，， 故长度为无理数的线段是， 故选：D． 2．如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若，则点N应是图中的点______． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，的长度，再根据全等三角形的性质可知对应边相等，可得，，再分别计算点到点的距离以及与点的距离，即可确定点的位置． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为， 由勾股定理得，，， ， ，， ∵，，，， 又， 点应是图中的点． 3．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，则点到边的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格结构，利用勾股定理求出三角形各边长，利用割补法求出三角形面积，最后利用等面积法求出点到边的距离即可． 【详解】解：由网格图可知，，，． ． 设点到边的距离为， 则由面积公式得：， 即， 解得． 题型二 勾股定理与折叠问题 4．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 5．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 6．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在 中， 求出 ， 过点怍 于点 ， 则 ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则 ． 【详解】解∶ 由折叠可知， ， 等腰Rt 中， ， ， 是 的中点， ， 在Rt 中， ， ， 设 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 在 Rt 中， ， 过点 作 于点 ， ， ， 设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 在 Rt 中， ， ， ， ， 故选∶ C． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 7．如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【答案】(1)； (2) ①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②的最大值为． 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）①略 ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，垂线段最短的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 题型三 求梯子滑落高度 8．如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，． 9．如图，一根竹竿长2.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.7米， 若竹竿底端向左滑动0.8米，那么竹竿顶端下滑_____．米． 【答案】0.4 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意列出已知数据，并利用勾股定理求解．由题意得，，，在中，，在中，，即可求出顶端下移的距离． 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， 则顶端下移的距离米． 10．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中，，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 11．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 题型四 求旗杆高度 12．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 13．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，米，米， 则米， 即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米． 14．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：由题意知，（米）， ∵开始时的长度是的倍， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴处的游船到岸边的距离为米． （2）解：由题意知，（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴游船向岸边移动的距离为米． 15．如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 【答案】实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 【分析】利用辅助线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明，将AC、BD、CD转化到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理求出绳索长度，结合旗杆高度求出最低点即可． 【详解】解：作于，于，则， ， ， 在和中， ， ， ，， （米）， （米）． 又（米），且， ，即， （米）， （米）， （米）， 在中，由勾股定理得：， （米）， 米（绳索长度不变）， （米）， 答：实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 题型五 求小鸟飞行距离 16．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 17．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．    【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，    AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 18．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米． 【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作，则四边形是矩形，故可得的长度，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画出图形如下： 其中米，米，米， 过点D作，则四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在中，米， 答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键． 19．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 题型六 求大树折断前的高度 20．如图，第9号台风“利奇马”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理计算该直角三角形的斜边长度．因为树高是未折断部分长度加上折断部分长度，所以将计算出的斜边长度与3米相加即可得到树高． 【详解】设折断的树高， 根据勾股定理可知：， 所以， 则这棵大树折断前的树高． 21．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 【答案】15 【分析】设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即米， 答：这棵树高米． 22．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号） 【答案】大树的高度为米 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到，再由即为树高，进而得到答案. 【详解】解：由题可得：，， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴米. 答：大树的高度为米. 23．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 题型七 解决水杯中筷子问题 24．一根长度为的吸管放入底面直径为，高为的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．为了使露在外面的长度最短，需使吸管在杯内的部分尽可能长．根据勾股定理求得杯子内吸管的最大长度，进而求得露在外面的最短长度． 【详解】∵圆柱形水杯底面直径，高， ∴杯子内吸管的最大长度为 ∴露在外面的最短长度为 故选：D． 25．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 【答案】12 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， 由得， 解得， 则水的深度为12尺． 26．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为，求l的取值范围． 【答案】 【分析】先求出当筷子与底面垂直时，露在筷子外面的长度，再求出当筷子如图放置时，在杯子里的筷子部分长度，即可求解． 【详解】解：当筷子与底面垂直时，（）， 当筷子如图放置时，在杯子里的筷子部分长度为（）， 此时（）， ． 27．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型八 解决航海问题 28．如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 【答案】34 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，第一艘船（西北方向）：速度海里时，航行小时， ∴； 第二艘船（西南方向）：速度15海里时，航行2小时， ∴海里， ∴． 29．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 30．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 31．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 题型九 求河宽 32．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米． 【答案】75 【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可． 【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75． 故答案为75． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键． 33．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 34．如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【分析】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 【详解】解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 35．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ∵， ∴, ∴ ， ∴． (2) 可以安全通过， 理由：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型十 求台阶上地毯长度 36．如图，是一段楼梯示意图，楼梯长米，高为米，若在此楼梯铺地毯，则地毯的长度至少需要_______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出米，得到米，即可得到答案． 【详解】解：米，米 根据题意得米， 地毯的长度至少需要米， 故答案为：． 37．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 38．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 39．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】最短路程是150cm． 【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决． 题型十一 判断汽车是否超速 40．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 41．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 42．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【详解】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 43．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 题型十二 判断是否受台风影响 44．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 45．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 46．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】 农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】略 47．如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．    (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为． (2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．    ∵，， ∴． 答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．    题型十三 选址使到两地距离相等 48．如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是________ 【答案】1700m 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP＋BP＝A′B， 在Rt△A′DB中， 由勾股定理求得A′B＝＝＝1700m， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是1700m． 故答案为1700m． 【点睛】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 49．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 50．如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ 【答案】 【分析】由题意得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 于点，于点， ， ∴，， ∴， ∵，，笔直的公路上、两点相距， ∴， 解得， 故收购站应建在离点处． 51．如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【答案】(1) (2)千米处 【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 题型十四 求最短路径 52．如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵点P是的中点， ∴， 如图， ∴， ∴； 如图， ∴； 如图， ∴， ∵， ∴所走的最短路程是； 故选C． 53．如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开如图所示，过点B作于点C，则， ∴， 即它要爬行的最短路程是． 54．公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要多长时间（结果保留小数点后一位）？ 【答案】24.0 s 【分析】本题主要涉及长方体的展开图以及勾股定理的应用．要找到蚂蚁从点M爬到点N的最短路径，需要将长方体的表面展开，把立体图形转化为平面图形，然后利用勾股定理求出不同展开方式下M、N两点间的距离，最后比较距离大小，距离最短的对应的时间就是最快时间． 【详解】解：将长方体前面和右面展开，如图1所示，由勾股定理，得； 将长方体前面和上面展开，如图2所示，由勾股定理，得； ∵，（s）； ∴这只蚂蚁最快需要24.0 s． 55．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 56．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的和都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（    ） A．仅符合要求 B．仅符合要求 C．和都符合要求 D．和都不符合要求 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，判断出的形状，从而判断这个零件是否符合要求,即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，不是直角三角形 ∴， 符合要求，不符合要求 故选：A． 57．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为________． 【答案】南偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． 根据题意得出，的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： （海里），（海里）， ， ， 故， 是直角三角形， ， ∴， 乙船航行的方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 58．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度： (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）首先利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 59．某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】元 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理的应用知题通关讲义 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点03:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题技巧：设未知线段长，利用折叠相等关系表示边长，结合勾股定理列方程求解。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点04:通用解题步骤（所有应用题通用） 知识点05:应用场景:核心公式+等量关系 1. 非直角三角形直接套用勾股定理 提醒：勾股定理只适用于直角三角形，使用前必须先确认三角形含有直角。 2. 混淆直角边与斜边，公式代入出错 提醒：斜边是直角的对边，也是直角三角形最长边；公式中c代表斜边，a、b代表两条直角边。 3. 已知两边求第三边，未分类讨论造成漏解 提醒：题目没有说明已知边是直角边还是斜边时，要分两种情况计算。 4. 立体图形最短路径，立体展开方式错误 提醒：求立体表面两点最短距离，需要把立体侧面展开成平面图形，依据两点之间线段最短求解。 5. 折叠问题不能找出对应相等线段 提醒：折叠前后对应线段长度相等，利用该性质表示边长，再借助勾股定理列方程。 6. 应用题边长单位未统一直接计算 提醒：计算前先统一各边长单位，单位不一致会造成结果错误。 7. 判断直角三角形，未选用最长边验证 提醒：验证时必须把最长边当作斜边，检验两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。 8. 勾股定理列方程，化简运算出错 提醒：设未知数后，正确表示三角形各边，按a2+b2=c2建立方程，规范计算。 9. 方位应用题画图失误，误判直角 提醒：根据方位角画出图形，准确找到直角，不能凭主观猜测判定直角。 10. 求解边长后，未舍去不符合实际的解 提醒：边长为正数，计算得到的负数解要舍去，结合实际场景剔除不合理答案。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型三 求梯子滑落高度 ★★ 题型四 求旗杆高度 ★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型八 解决航海问题 ★★ 题型九 求河宽 ★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十四 选址使到两地距离相等 ★★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 勾股定理与网格问题 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 2．如图，正方形网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．若，则点N应是图中的点______． 3．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，则点到边的距离是（    ） A． B． C． D． 题型二 勾股定理与折叠问题 4．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 5．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 6．如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（　　） A． B． C． D． 7．如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 题型三 求梯子滑落高度 8．如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 9．如图，一根竹竿长2.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.7米， 若竹竿底端向左滑动0.8米，那么竹竿顶端下滑_____．米． 10．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 11．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 题型四 求旗杆高度 12．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 13．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 14．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 15．如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 题型五 求小鸟飞行距离 16．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 17．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．    18．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 19．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 题型六 求大树折断前的高度 20．如图，第9号台风“利奇马”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 22．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号） 23．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 题型七 解决水杯中筷子问题 24．一根长度为的吸管放入底面直径为，高为的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为（        ） A． B． C． D． 25．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 26．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为，求l的取值范围． 27．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 题型八 解决航海问题 28．如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 29．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 30．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 31．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 题型九 求河宽 32．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米． 33．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 34．如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 35．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 题型十 求台阶上地毯长度 36．如图，是一段楼梯示意图，楼梯长米，高为米，若在此楼梯铺地毯，则地毯的长度至少需要_______米． 37．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 38．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 39．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 题型十一 判断汽车是否超速 40．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 41．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    42．已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 43．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 题型十二 判断是否受台风影响 44．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 45．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 46．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 47．如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．    (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 题型十三 选址使到两地距离相等 48．如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是________ 49．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____． 50．如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ 51．如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 题型十四 求最短路径 52．如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 53．如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 54．公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要多长时间（结果保留小数点后一位）？ 55．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 56．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的和都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（    ） A．仅符合要求 B．仅符合要求 C．和都符合要求 D．和都不符合要求 57．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为________． 58．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度： (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； 59．某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $