专题03认识实数知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题03认识实数知题通关讲义 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 关键提醒 0 是有理数，既不是正数也不是负数。 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.有理数不能填满数轴，加入无理数后，数轴上所有点全部对应实数。 3.大小规律：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 4.作图：可利用正方形对角线在数轴上画出等无理数对应的点。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 1. 判定数的类型时，认为带根号的数都是无理数 提醒：含根号的数化简后若为整数、分数，则属于有理数；仅开方开不尽的数为无理数。 2. 混淆无限小数与无理数的概念 提醒：无限循环小数属于有理数，无限不循环小数才是无理数。 3. 误将分数判定为无理数 提醒：所有分数均可化为有限小数或无限循环小数，分数统一属于有理数。 4. 实数分类时混用两种分类标准 提醒：实数两类分类标准相互独立，按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数，不可交叉混用。 5. 认为无理数无法在数轴上表示 提醒：实数与数轴上的点一一对应，无理数可在数轴上确定对应点。 6. 不化简原式，直接根据表面形式判定数的类型 提醒：实数分类需先化简原式，以最终化简结果作为判定依据。 7. 认为无理数运算结果一定是无理数 提醒：两个无理数的四则运算结果，可能为有理数，也可能为无理数。 8. 实数分类中遗漏0的归属 提醒：0是有理数，不属于正实数、负实数。 9. 比较负实数大小时误用正数比较规则 提醒：负实数比较大小，绝对值越大，数值越小。 10. 混淆实数、有理数、无理数的包含关系 提醒：实数包含有理数和无理数，有理数与无理数为互斥关系， 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★ 题型二 无理数的大小估算 ★★ 题型三 实数概念理解 ★ 题型四 实数的分类 ★ 题型五 实数的性质 ★ 题型六 实数与数轴 ★★ 题型七 实数的大小比较 ★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 无理数 1．若是无理数，且，则可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 2．在实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．在、、 、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 题型二 无理数的大小估算 4．写出一个比小的正整数，可以是_________（答案不唯一，写出一个即可）． 5．若为正整数，且满足，则_____． 6．若，且a，b是两个连续整数，则的值是________． 7．数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数n的值为________． 题型三 实数概念理解 8．下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 9．在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 题型四 实数的分类 11．下列实数中，属于有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 12．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________． 13．在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．下列说法：的平方根与的立方根都是无理数是无限小数；是分数；若是一个数的平方，则是有理数.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 实数的性质 15．的相反数是（     ） A． B． C． D． 16．（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 17．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 18．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 19．如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为．实数的值为______． 题型六 实数与数轴 20．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 21．如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 22．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中 ①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点； ④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0， 所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 题型七 实数的大小比较 23．a是一个大于0且小于1的数，下面几个数中，数值最大的是（     ） A． B． C． D．a 24．比较大小：_____．(填“”、“”或“”) 25．已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 26．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型八 勾股定理与无理数 27．如图，数轴上的点表示的数是________． 28．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 29．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为_________． 30．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 2．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 3．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 4．解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识实数知题通关讲义 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 关键提醒 0 是有理数，既不是正数也不是负数。 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.有理数不能填满数轴，加入无理数后，数轴上所有点全部对应实数。 3.大小规律：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 4.作图：可利用正方形对角线在数轴上画出等无理数对应的点。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 1. 判定数的类型时，认为带根号的数都是无理数 提醒：含根号的数化简后若为整数、分数，则属于有理数；仅开方开不尽的数为无理数。 2. 混淆无限小数与无理数的概念 提醒：无限循环小数属于有理数，无限不循环小数才是无理数。 3. 误将分数判定为无理数 提醒：所有分数均可化为有限小数或无限循环小数，分数统一属于有理数。 4. 实数分类时混用两种分类标准 提醒：实数两类分类标准相互独立，按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数，不可交叉混用。 5. 认为无理数无法在数轴上表示 提醒：实数与数轴上的点一一对应，无理数可在数轴上确定对应点。 6. 不化简原式，直接根据表面形式判定数的类型 提醒：实数分类需先化简原式，以最终化简结果作为判定依据。 7. 认为无理数运算结果一定是无理数 提醒：两个无理数的四则运算结果，可能为有理数，也可能为无理数。 8. 实数分类中遗漏0的归属 提醒：0是有理数，不属于正实数、负实数。 9. 比较负实数大小时误用正数比较规则 提醒：负实数比较大小，绝对值越大，数值越小。 10. 混淆实数、有理数、无理数的包含关系 提醒：实数包含有理数和无理数，有理数与无理数为互斥关系， 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★ 题型二 无理数的大小估算 ★★ 题型三 实数概念理解 ★ 题型四 实数的分类 ★ 题型五 实数的性质 ★ 题型六 实数与数轴 ★★ 题型七 实数的大小比较 ★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 无理数 1．若是无理数，且，则可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，题目要求为无理数且满足， ∴只需写出一个符合范围的无理数即可， ∵，满足，且是无理数， ∴可以取． 2．在实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数有，这个． 3．在、、 、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查无理数，掌握相关知识是解决问题的． 无理数是无限不循环小数，据此判断每个数是否为无理数． 【详解】解： 是无理数； 是分数，有理数； ，是整数，有理数； ，是整数，有理数； 是无理数； 是无限不循环小数，无理数； ∴ 无理数有 、、，共3个． 故选：B． 题型二 无理数的大小估算 4．写出一个比小的正整数，可以是_________（答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】先估算的取值范围，再找出范围内比小的正整数，任写一个符合要求的结果即可． 【详解】解：， ， 即， ∴比小的正整数有，任选一个即可． 5．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】8 【分析】估算出的取值范围，确定其介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 6．若，且a，b是两个连续整数，则的值是________． 【答案】 125 【分析】先估算的取值范围，进而得到的取值范围，确定连续整数，的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，即， 不等式两边同时减，得， ，且，是两个连续整数， ，， 将，代入得： ． 7．数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数n的值为________． 【答案】6 【分析】根据题意得，由可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴， 又， ∴． 题型三 实数概念理解 8．下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决. 【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误； B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误； C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误； D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确； 故选：D 【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 9．在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：在下列各数0，，3.14，，0.731，中，无理数有和两个． 故选：B 【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题的关键． 10．对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 题型四 实数的分类 11．下列实数中，属于有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，是无理数． 12．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________． 【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0） 【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有，； 属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）． 13．在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，，，，中， 有理数有，，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数的意义（有限小数或无限循环小数）是解题的关键． 14．下列说法：的平方根与的立方根都是无理数是无限小数；是分数；若是一个数的平方，则是有理数.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数及有理数和无理数的概念逐个判断即可． 【详解】解：的平方根是的立方根是，所以错误； 无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，所以正确； 是无理数，而分数是有理数，所以错误； 例如是的平方，则是无理数．所以错误． 说法正确的有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数、有理数、无理数的概念的应用，区别有理数和无理数是解题关键． 题型五 实数的性质 15．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 16．（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 17．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 【答案】13 【分析】根据得到，代入得到，从而得到，代入计算即可． 【详解】因为， 解得， 代入得到， 所以， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了实数的非负性，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性，灵活运用整体思想求代数式的值是解题的关键． 18．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 19．如下图，一只蜗牛从点沿数轴向右爬行个单位长度后到达点，点表示．设点所表示的数为．实数的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上的点向右移动加即可求解． 【详解】解：由题意可得， ， ∴实数的值为． 题型六 实数与数轴 20．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置得出，则，再判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 21．如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求解． 【详解】解：由题意知：， 在中，， ∵是以长为半径画弧， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点所表示的数为． 22．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中 ①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧； ③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点； ④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0， 所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解； ②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解； ③根据两点距离公式可判断； ④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解． 【详解】解：①若abc0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①正确； ②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②正确； ③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③正确； ④如图1, B、C都在点O的右侧, ∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC， ∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0， 如图2, B、C都在点O的左侧, ∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC， ∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0， 如图3, B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧， 显然OB﹣OC≠AB﹣AC， 如图4, B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合）， 显然OB﹣OC≠AB﹣AC， 如图5, B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合）， 显然OB﹣OC≠AB﹣AC， 如图6, B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时， 显然OB﹣OC≠AB﹣AC， 综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc0，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，掌握运算法则及数形结合思想是解题关键． 题型七 实数的大小比较 23．a是一个大于0且小于1的数，下面几个数中，数值最大的是（     ） A． B． C． D．a 【答案】C 【分析】根据a是一个大于0且小于1的数，得出，，，a的范围，然后得出最大的数即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴数值最大的是． 24．比较大小：_____．(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较；由于为负数，为正数，根据正数大于负数，即可比较大小． 【详解】解：因为，所以，因此． 而，所以． 故答案为：． 25．已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 26．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 题型八 勾股定理与无理数 27．如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 【详解】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． 28．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 29．如图，长方形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为_________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长度，根据画图的方法知求解． 【详解】解：在中，， ， ∵以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， 则点对应的数为． 30．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴ ∵点表示的数是，点在点的右侧， ∴点表示的数为． 解答题 1．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 2．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 【答案】(1)， (2) 点表示的数即为； (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴即点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是为， ∵， ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）略 （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 3．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 4．解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 【答案】(1)两个无理数分别是和， (2) (3)0 【分析】（1）根据无理数的定义写出一个无理数，然后写出另一个无理数等于其加5的和即可； （2）先利用勾股定理求出正方形对角线长，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． （3）根据数轴上各点的位置，可以判断出，，即，，，由此进行化简即可； 【详解】（1）解：两个无理数分别是和， ∴． （2）解：正方形的对角线长， ∵以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧， 且点A在原点的左侧， ∴点A表示的数为：． （3）解：根据数轴可知∶，， ∴，，， ∴ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $