2026-2027学年浙教版数学九年级上册专题复习：几何中最值问题

2026-2027年浙教版九上专题复习：圆中最值 【思维导图】 【知识梳理】 核心思想：动点在圆上，求距离、线段长、面积最值，优先找定点 + 圆心，利用半径转化 一、基础模型：点与圆的距离最值（最重要） 已知：⊙O 半径r，定点P，圆心O 点P在圆外 最大值：PO + r（P、O延长交圆远侧点） 最小值：PO - r（P、O连线交圆近侧点） 点P在圆内 最大值：PO + r 最小值：r - PO 点P在圆上 最大值：2r（直径），最小值：0 ✅口诀：圆上一点到定点距离，最大值定点圆心加半径，最小值减半径 二、隐圆（定角定弦模型）高频考点 1. 定弦定角 → 动点轨迹是圆 条件：线段AB固定，动点C满足∠ACB=θ（定值） 👉C在以AB为弦的圆上运动（隐圆） 用途：求C到定点距离最值、△ABC 面积最值 △ABC 面积最大值：高最大时，C在弧中点，高为圆心到弦距离 + 半径 2. 直角对直径 条件：∠ACB=90，AB定长 👉C轨迹：以AB为直径的圆 看到直角顶点是动点，优先想隐圆 3. 定边定角，求线段最值 看到固定线段、不变角，先画隐圆，再套用【点圆距离公式】 三、圆中线段 / 弦最值 过圆内一点P的弦 最长弦：直径 最短弦：垂直于OP的弦 圆上两点距离最大值：直径 四、阿氏圆（圆中加权最值，压轴难点） 题型：PA+k· PB(k≠1)，(A,B定点，P在圆上） 思路：构造相似三角形，转化k·PB，变成两点之间线段最短。 区别胡不归：胡不归是动点在直线上；阿氏圆动点在圆上 五、面积最值 同底三角形，顶点在圆上：面积最值看高的最值 圆内接多边形：周长、面积最值常在正多边形取得 一阶学习（基础训练） 1.如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（） A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 【答案】C 2.如图，在中，，，是的中点，经过、两点的圆交、于点E、F，且．当圆变化时，点到线段的最大距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，如图，根据等腰直角三角形的性质得，，，，易证得，则，，再判断为等腰直角三角形，得到，由于，所以当越小，越小，加上，则当越小，越小，而越大，此时点C到的距离越大，即最小时，点C到的距离最大，设点C到的最大距离为h，根据圆周角定理，由得为的直径，所以当的直径等于时，的直径最小，即最小，此时可判断四边形为正方形，根据正方形和等腰直角三角形的性质易得． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，，是的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当越小，越小， ∵， ∴当越小，越小，而越大，此时点C到的距离越大， 即最小时，点C到的距离最大， 设点C到的最大距离为h， ∵， ∴为的直径， ∴当的直径等于时，的直径最小，即最小，此时，则四边形为正方形， ， 即点C到线段的最大距离为． 故选：A． 3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂径定理， 连接，作，连接，由垂径定理得，再根据勾股定理求出即可求出，然后根据“等边对等角”得出，可得，接下来说明点F在以为直径的上运动，根据三角形的三边关系得，即点F在的延长线上时，的长最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，过点G作，于点M，连接， ∵ ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 点F在以为直径的上运动， ∴， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：C. 4.如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作交于点H，利用等腰直角三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余及补角的定义得出，证明，得到，，设，则，由等腰直角三角形性质得出，利用勾股定理列方程得到的表达式，此时的表达式是二次函数，当时，有最小值，将开方后即可得出其最小值． 【详解】解：如图，过点P作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 当时，有最小值， ∴最小值， 故选：D． 5.如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 详解：连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C． 6.如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图所示 ， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ， ， ． 最小值为． 故选：A． 二阶学习（提升训练） 1.如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】延长交于点，连接，易证四边形为菱形，为等边三角形，进而得到，进而得到点在以点为圆心，的长为半径的圆上，进而得到的最大值为的直径，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点，连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴当为的直径时，的值最大，为； 故答案为：12． 2.如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，，根据圆周角定理得出，由三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据证明，得出，则点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上，故当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为，即可求解． 【详解】解：以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上， ∴当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为， 故答案为：． 3.如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键是由圆周角定理推出，由三角形中位线定理得到． 连接OA，OB，由圆周角定理得到，进而判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值． 【详解】解：连接OA，OB，如下图， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点M，N分别是的中点， 是的中位线， ， 最大时，取最大值，当是该圆的直径时，取最大值， 的最大值是， 长的最大值是． 4.已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理．根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∴点G在以为直径的圆上， 取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 5.如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 6.如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了矩形的性质，与三角形中位线有关的求解问题、勾股定理、度的圆周角所对的弦是直径，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，根据三点共线是有最值即可求解． 【详解】解：由题意得， 点在为直径的圆上，在中， 的半径为是的中点， 三点共线时线段有最值， 如图1，有最大值， 如图2，有最小值． 故答案为：4，1． 7.如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵，轴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， ∴当点三点共线时，有的最小值为； 故答案为：． 8.如图，E是正方形ABCD的边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于点F，垂足为P，连接PC，已知正方形ABCD的边长为4，则PC长的最小值为　　． 【分析】以AD为直径作⊙H，连接CH，交⊙H为点P，根据点圆最值的性质，则PC为最小距离，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵AF⊥DE， ∴∠APD＝90°， ∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取AD中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求， ∵正方形的边长为4， ∴DC＝4，DH＝2， ∴， ∵HP＝2， ∴． 故答案为：． 9.如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 　22　． 【分析】如图，作△APC的外接圆⊙O，根据圆周角定理可得∠COA＝60°，得△AOC是等边三角形，可知点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，根据勾股定理和线段的差可得结论． 【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O， ∵∠APC＝150°， ∴∠COA＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝2， ∴点P的运动轨迹是， 当O、P、B共线时，PB长度最小， 设OB交AC于D， 此时PA＝PC，OB⊥AC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AD＝CDAC＝1，∠ABD∠ABC＝30°， ∴BD＝OD， ∵OP＝OC＝2， ∴PD＝2， ∴PB＝BD﹣PD（2）＝22． 故答案为：22． 三阶学习（培优训练） 1.［问题提出］（1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为4，则线段长度的最大值是________； ［问题探究］（2）如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为8，求长度的最大值； ［问题解决］（3）如图3，某公园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）存在，米 【解析】 【分析】（1）当C在线段延长线上时，最大，即可； （2）连接并延长交半圆O于F，当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值，在中，求出即可得到答案； （3）作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接，连接并延长交于P，过A作于F，在中，求出，再在中，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为4， 当C在线段延长线上时，最大， 此时， 即的最大值为12； 故答案为：12； （2）以正方形的边为直径作半圆O，正方形的边长为8，如图2，连接并延长交半圆O于F， ，，， 当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值， 在中，由勾股定理得： ， 即长度的最大值为； （3）修建的观赏小路的长度存在最大值，理由如下： 作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接，连接并延长交于P，过A作于F，如图3： 则， ， ，， ，此时点P符合题意； 在中，米， （米），（米）， 垂直平分，米， 米，， （米）， 米， （米）， 在中，由勾股定理得：（米）， （米）， 即的最大长度为米． 2.如图，内接于，，点是上的动点，点在上．连接，交于点，，且，延长，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）若，求的最大值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的外角性质得到，结合圆周角定理可证得结论； （2）证明得到，进而求得，，．推导出，利用等角对等边可得答案； （3）作于点，于点，于点，连接、．可设，．利用等腰三角形的性质、勾股定理和等面积法求得，，．由勾股定理得求得，证明，得到．故要使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．利用勾股定理求得，进而可求解． 【小问1详解】 证明：因为，所以． 因为是的外角，所以． 因为与都是弧所对的圆周角， 所以， 因为 所以． 【小问2详解】 解：因为，所以． 因为与都是弧所对的圆周角， 所以， 所以． 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为， 所以． 因为，， 所以，即； 【小问3详解】 解：作于点，于点，于点，连接、． 由，可设，． 在中，， 所以， 所以边上高线长， 因为，， 所以． 因为，， 所以垂直平分，又， 所以A、O、P三点共线， 在中，，， 由勾股定理得, 解得， 因为，， 所以， 所以． 故要使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大． 此时，垂直平分， 在Rt中，， ． 所以的最大值． 所以的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版九上专题复习：圆中最值 【思维导图】 【知识梳理】 核心思想：动点在圆上，求距离、线段长、面积最值，优先找定点 + 圆心，利用半径转化 一、基础模型：点与圆的距离最值（最重要） 已知：⊙O 半径r，定点P，圆心O 点P在圆外 最大值：PO + r（P、O延长交圆远侧点） 最小值：PO - r（P、O连线交圆近侧点） 点P在圆内 最大值：PO + r 最小值：r - PO 点P在圆上 最大值：2r（直径），最小值：0 ✅口诀：圆上一点到定点距离，最大值定点圆心加半径，最小值减半径 二、隐圆（定角定弦模型）高频考点 1. 定弦定角 → 动点轨迹是圆 条件：线段AB固定，动点C满足∠ACB=θ（定值） 👉C在以AB为弦的圆上运动（隐圆） 用途：求C到定点距离最值、△ABC 面积最值 △ABC 面积最大值：高最大时，C在弧中点，高为圆心到弦距离 + 半径 2. 直角对直径 条件：∠ACB=90，AB定长 👉C轨迹：以AB为直径的圆 看到直角顶点是动点，优先想隐圆 3. 定边定角，求线段最值 看到固定线段、不变角，先画隐圆，再套用【点圆距离公式】 三、圆中线段 / 弦最值 过圆内一点P的弦 最长弦：直径 最短弦：垂直于OP的弦 圆上两点距离最大值：直径 四、阿氏圆（圆中加权最值，压轴难点） 题型：PA+k· PB(k≠1)，(A,B定点，P在圆上） 思路：构造相似三角形，转化k·PB，变成两点之间线段最短。 区别胡不归：胡不归是动点在直线上；阿氏圆动点在圆上 五、面积最值 同底三角形，顶点在圆上：面积最值看高的最值 圆内接多边形：周长、面积最值常在正多边形取得 一阶学习（基础训练） 1.如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（） A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 2.如图，在中，，，是的中点，经过、两点的圆交、于点E、F，且．当圆变化时，点到线段的最大距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 4.如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6.如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 二阶学习（提升训练） 1.如图，已知的半径为6，圆心角，C是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．在点C的运动过程中，的最大值为________． 2.如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为__________． 3.如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 4.已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为 ． 5.如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 6.如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 7.如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 8.如图，E是正方形ABCD的边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于点F，垂足为P，连接PC，已知正方形ABCD的边长为4，则PC长的最小值为　 　． 9.如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 　 　． 三阶学习（培优训练） 1.［问题提出］（1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为4，则线段长度的最大值是________； ［问题探究］（2）如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为8，求长度的最大值； ［问题解决］（3）如图3，某公园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由． 2.如图，内接于，，点是上的动点，点在上．连接，交于点，，且，延长，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）若，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $