2026-2027学年人教版数学九年级上册期末综合测试

期末综合测试 (时间：120分钟　满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四个运动项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　). 　　　　 　　　　 2．已知(a－5)x|a|-3－4x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a满足(　　). A．a≠5 B．a＝－5 C．a＝5 D．a＝5或－5 3．已知点(－1，a)，(2，b)，(3，c)在反比例函数y＝(k>0)的图象上，则下列判断正确的是(　　). A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 4．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转40°得到△DBE.若AB⊥DE，则∠A的度数为(　　). A．50° B．45° C．40° D．35° 5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝120°，B是的中点，则∠D的度数是(　　). A．60° B．35° C．30.5° D．30° 6．下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是(　　). x … －2 －1 0 1 2 … y … －5 0 3 4 3 … A．对称轴为x＝－1 B．当x＝3时，y＝－5 C．当x＜时，y随x的增大而增大 D．此函数有最小值4 7．如图1，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4 cm，瓶内液体超过一半，最大深度CD＝6 cm，则截面圆中弦AB(图2)的长为(　　). 　　　　　 A.5 cm B．2 cm C．6 cm D．4 cm 8．如图，有一块长28 m，宽10 m的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路．若草坪的面积是243 m2，设小路的宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是(　　). A．28×10－28x－10x＝243 B．2(28－x＋10－x)＝243 C．(28－x)(10－x)＋x2＝243 D．(28－x)(10－x)＝243 9．小丽在公园里荡秋千，起始位置为A处，摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　　). A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m 10．已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　). A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11．若点P(m，5)与点Q(－3，n)关于原点对称，则m＋n的值是________． 12．若关于x的一元二次方程x2＋kx＋9＝0有两个相等的实数根，则k的值是________． 13．图1为传统建筑中一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝________°. 　　　　　 14．如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′.若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是________． 15．欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2＋mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为________． 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16．解下列方程： (1)4x2＝(x＋2)2； (2)x2＋2x－1＝0. 17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4). (1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； (2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2； (3)在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为________． 18．如图，已知A(－3，2)，B(n，－3)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OA，OB，求△AOB的面积． 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19．某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角∠BAD(两边足够长)围成一个矩形花园ABCD，并在CD上留宽为1 m的门．同学们购买了35 m长的篱笆．设AB＝x m，花园的面积为S m2. (1)当S＝288时，求x的值； (2)如图，点P处有一棵树与墙AD的距离是20 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值． 20．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径． 21．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 实验过程：如图，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位：s)、运动速度v(单位：cm/s)、滑行距离y(单位：cm)的数据． 【数据收集】 记录的数据如下． 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/(cm·s-1) 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/cm 0 19 36 51 64 75 … 【数据分析】 观察分析发现，小球运动速度v(单位：cm/s)与运动时间x(单位：s)满足关系式v＝kx＋b1.小球滑行距离y(单位：cm)与运动时间x(单位：s)满足关系式y＝ax2＋b2x. (1)填空：k＝________，b1＝________，b2＝________． 【问题解决】 (2)当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑行距离． (3)当小球到达木板点A的同时，在点A的前方40 cm处有一辆电动小车，以4 cm/s的速度匀速向右直线运动，则小球会不会撞上小车？并说明理由． 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分) 22．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)，函数的最大值为1－a2. (1)求的值； (2)求该二次函数的解析式； (3)若m，n是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的两个实数根，求m2－4m－n的值． 23．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分过程． (1)证明：如图2，在BC上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG. 因为M是的中点， 所以MA＝MC. …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 　 　 【实践应用】 (2)如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为________________． (3)如图4，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD，垂足为E，△BDC的周长为，BC＝2，请求出AC的长． 参考答案 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.A 10.A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.－2 12.±6 13.45 14.15 15.3 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16.(1)因为4x2＝(x＋2)2， 所以4x2－(x＋2)2＝0， 所以[2x－(x＋2)][2x＋(x＋2)]＝0， 所以(x－2)(3x＋2)＝0， 所以x－2＝0，或3x＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝－. (2)因为x2＋2x－1＝0， 所以(x＋1)2－2＝0， 所以(x＋1)2＝2， 所以x＋1＝，或x＋1＝－， 解得x1＝－1，x2＝－－1. 17.(1)△A1B1C1如图所示． C1(－3，－4) (2)△AB2C2如图所示． (3)因为点C的坐标为(3，4)，点A的坐标为(1，1)， 所以AC＝＝， 所以的长度为＝， 即点C经过的路径长度为. 故答案为： 18.(1)因为点A(－3，2)在反比例函数y＝的图象上， 所以m＝－3×2＝－6， 所以反比例函数的解析式为y＝－. (2)因为点B(n，－3)在反比例函数y＝－的图象上， 所以n＝2. 因为点A(－3，2)，B(2，－3)都在一次函数y＝kx＋b的图象上，分别代入，得 解得 所以一次函数的解析式为y＝－x－1. 设直线y＝－x－1与y轴交于点C，如图， 所以点C的坐标为(0，－1)， 所以OC＝1. 因为点A的坐标为(－3，2)，点B的坐标为(2，－3)， 所以S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·|xA|＋OC·|xB|＝OC(|xA|＋|xB|)＝×1×(3＋2)＝. 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19.(1)因为四边形ABCD为矩形， 所以AB＝CD＝x. 由题可知，BC＋CD＝35＋1＝36， 所以BC＝36－x. 所以S＝x(36－x). 当S＝288时，即288＝x(36－x), 解得x1＝12，x2＝24. 答：x的值为12或24. (2)将S＝x(36－x)变形为S＝－(x－18)2＋324. 由函数解析式可知，S关于x的二次函数图象开口向下，当x>18时，S随x的增大而减小. 因为x≥20， 所以当x＝20时，S最大. 把x＝20代入S＝x(36－x)，得S＝320. 答：花园面积的最大值为320 m2. 20.(1)【证明】如图，连接OC. 因为OA＝OC， 所以∠OAC＝∠OCA. 因为AC平分∠BAD， 所以∠DAC＝∠CAB＝∠OCA， 所以AD∥OC. 因为AD⊥CD， 所以OC⊥CD. 又因为OC是⊙O的半径， 所以CD是⊙O的切线． (2)【解】如图，过点O作OE⊥AD，垂足为E， 所以∠OED＝∠EDC＝∠DCO＝90°， 所以四边形OEDC是矩形， 所以OE＝CD＝2，DE＝OC， 所以AE＝AD－DE＝4－OC＝4－OA. 在Rt△AEO中， 根据勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2， 所以OA2＝(4－OA)2＋22， 解得OA＝， 即⊙O的半径为. 21.(1)当x＝0时，v＝b1＝10.把b1＝10，x＝2，v＝9代入v＝kx＋b1，得9＝2k＋10， 解得k＝－， 则v＝－x＋10. 因为x＝2时，y＝19，x＝4时，y＝36， 所以 解得 则y＝－x2＋10x. 故答案为：－　10　10 (2)由v＝－x＋10， 当v＝0时，即0＝－x＋10， 解得x＝20. 把x＝20代入y＝－x2＋10x， 得y＝－×202＋10×20＝100(cm). 故当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为100 cm. (3)小球不会撞上小车．理由如下： 小球滑行距离y＝－x2＋10x，小车行驶距离s＝4x. 若小球能撞上小车， 则－x2＋10x＝4x＋40， 整理，得－x2＋6x－40＝0， Δ＝62－4×(－)×(－40)＝－4<0， 所以此方程无解， 故小球不会撞上小车． 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分) 22.(1)因为二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)， 所以对称轴为x＝＝1.5＝－， 所以＝－3. (2)因为二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－a2， 所以a<0，＝＝1－a2. 又因为b＝－3a， 所以a2－3a－4＝0， 解得a1＝4，a2＝－1. 因为a<0， 所以a＝－1，则b＝3， 所以y＝－x2＋3x－2. (3)由(2)知，一元二次方程为－x2＋3x－2＝0，即x2－3x＋2＝0. 若m，n是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两个实数根， 则m＋n＝3，m2－3m＝－2， 所以m2－4m－n＝m2－3m－(m＋n)＝－2－3＝－5. 23.(1)在△MBA和△MGC中， 所以△MBA≌△MGC(SAS)， 所以MB＝MG. 又因为MD⊥BC， 所以BD＝GD， 所以CD＝CG＋GD＝AB＋BD. (2)BE＝CE＋AC (3)因为AB＝AC，所以＝，即A是的中点．又因为AE⊥CD，所以根据阿基米德折弦定理， 得CE＝BD＋DE. 因为△BDC的周长为， 所以BD＋CD＋BC＝， 所以BD＋DE＋CE＋BC＝2CE＋BC＝. 又因为BC＝2， 所以CE＝. 在Rt△ACE中，∠ACD＝45°， 所以AC＝＝CE＝. 学科网（北京）股份有限公司 $