第一章 特殊的平行四边形 单元测试（基础卷）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第一章“特殊的平行四边形”基础单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，强化几何直观与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正方形旋转性质（1）、矩形判定条件（3）|结合图形变换考查概念辨析| |填空题|6/18|矩形变正方形条件（11）、菱形面积计算（14）|设置开放题与实际情境（教具形变）| |解答题|8/72|矩形与菱形判定（17）、正方形折叠综合（22）|融合折叠/旋转（21、22），体现推理与空间观念|

第一章 特殊的平行四边形（基础卷）2026-2027学年北师大版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如果一个四边形绕对角线交点旋转90°，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（　　）. A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．要使如图所示的□ABCD 成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　） A．AC=BD B．AB=CD C．AB∥CD D．∠ABC=∠ADC 4．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是(　　) A． B． C． D． 5．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为边的中点．若，则菱形的周长为（　　）　　 A．8 B．12 C．8 D．16 7．如图所示为一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两名同学的作法分别如下：甲：连结AC，作AC的中垂线交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形。乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形。对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）。 A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 8．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在顶点处．若刚好是等边三角形，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=12，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．4 B． C． D． 10．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　） A． B． C．10 D．20 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知矩形 ，给出三个关系式：①②③ 如果选择关系式　 　作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是　 　 . 12．如图，将一把含30°角的三角尺放置在矩形纸板上，∠AMF=90°，已知矩形纸板的长是宽的2倍，M是BC的中点，则∠AFE的度数为　 　。 13．如图，菱形ABCD中，点E是AB的中点．AC=16cm， BD=12cm，则OE=　 　cm． 14．我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了　 　． 15．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　． 16． 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿OD翻折，点A的对应点为E， DE交x轴于点F.已知OA=4， OC=8，则点F的坐标为　 　. 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC与 BD 相交于点 O，OE∥CD，直线CE是线段 OD 的垂直平分线，CE 分别交 OD，AD 于点 F，G，连结 DE. （1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由； （2）当CD=4时，求 EG的长. 18．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为边画一个格点正方形． （2）在图②中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积为6． （3）在图③中画一个格点菱形，不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 19．【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 20．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE=CF. （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）若 BD=12cm，AC=16 cm，当四边形 BEDF 是矩形时，求 AE 的长. 21．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点. （1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长. 22．如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上的动点(不包含端点)，连结EC，以EC为折痕，把△CBE折叠至△CFE，延长BF、EF 分别交AD 于点H、G． （1） 求证：△CBE≌△BAH； （2） 若，求证：FB=FC； （3）如图2，若G 为线段AD 的中点，求 的值． 23．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值. 【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ∵a+b=5， ∴（a+b）2=25， ∴a2+2ab+b2=25. ∵ab=3， ∴a2+b2=25-2ab=25-6=19. ∵（a+b）2=a2+2ab+b2， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab. ∵a+b=5，ab=3， ∴a2+b2=25-6=19. 【方法运用】 请你参照上面的两种解法，解答以下问题. （1）已知a-b=1，a2+b2=9，求ab的值； （2）在（1）的条件下，求（a+b）2的值； （3）【探究拓展】 如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE=8，正方形ABGF与正方形CDEG的面积和为36，设BG=x，GE=y，则x+y= 　 　，x2+y2= 　 　，图中阴影部分的面积为　 　. 24．综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】①；一组邻边相等的矩形是正方形 12．【答案】15° 13．【答案】5 14．【答案】200 15．【答案】6 16．【答案】(5，0) 17．【答案】（1）解：四边形OCDE是菱形， 理由如下： ∵CD//OE， ∴∠FDC=∠FOE， ∵CE是线段OD的垂直平分线， ∴FD=FO，∠CFD=∠EFO=90°，ED=OE，CD=CO. 在△FDC和△FOE中， ∴△FDC≌△FOE(ASA)， ∴CD=OE， 又∵ED=OE，CD=CO， ∴ED=OE=CD=CO， ∴四边形OCDE是菱形. （2）解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD=∠CDA=90°，DO=CO， ∵CE是线段OD的垂直平分线， ∴CD=CO， ∴CD=CO=DO， ∴△ODC为等边三角形， ∴DO=CD=4，∠ODC=60°， ∴， 在Rt△CDF中，CD=4，DF=2， 由勾股定理得， 由(1)可知四边形OCDE是菱形， ∴， ∵∠GDF=∠CDA-∠ODC=30°， ∴DG=2GF， 设GF=x，则DG=2x.由勾股定理得DF2+GF2=DG2， ∴x2+22=4x2， 解得(负值已舍去)， ∴ ∴ 18．【答案】（1）解：画一个以为边画一个格点正方形，如图所示， （2）解：画一个格点平行四边形．如图所示， ； （3）解：画一个格点菱形，不是正方形，如图所示， 19．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，OA=OC ∵AE=CF， ∴OA-AE=OC-CF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形． （2）解：∵四边形DEBF是矩形 21．【答案】（1）解：EA1＝FC. 证明：（证法一）∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C. 由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF， ∴△ABE≌△C1BF. ∴BE＝BF，又∵BA1＝BC， ∴BA1﹣BE＝BC﹣BF.即EA1＝FC. （证法二）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C. 由旋转可知，∠A1＝∠C，A1B＝CB，而∠EBC＝∠FBA1， ∴△A1BF≌△CBE. ∴BE＝BF，∴BA1﹣BE＝BC﹣BF， 即EA1＝FC. （2）解：四边形BC1DA是菱形. 证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°， ∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1. ∴四边形BC1DA是平行四边形. 又∵AB＝BC1， ∴四边形BC1DA是菱形. （3）解：（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1. 在Rt△AEG中，AE＝ . 由（2）知四边形BC1DA是菱形， ∴AD＝AB＝2， ∴ED＝AD﹣AE＝2﹣ . （解法二）∵∠ABC＝120°，∠ABE＝30°，∴∠EBC＝90°. 在Rt△EBC中，BE＝BC•tanC＝2×tan30°＝ . ∴EA1＝BA1﹣BE＝2﹣ . ∵A1C1∥AB， ∴∠A1DE＝∠A. ∴∠A1DE＝∠A1. ∴ED＝EA1＝2﹣ . 22．【答案】（1）证明：∵ABCD是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°，AB=BC， 由折叠可得CE垂直平分BF， ∴∠BEF+∠CBH=∠BCE+∠CBH=90°， ∴∠BEF=∠BCE， ∴△CBE≌△BAH； （2）证明：∵HF=HG， ∴∠HGE=∠HFG， 又∵EB=EF， ∴∠EBF=∠EFB=∠HFG=∠AGE， ∴∠FBC=90°-∠EBH=90°-∠AGE=∠AEG， 又∵BCFE是四边形， ∴∠BCF+∠BEF=360°-∠ABC-∠CFE=180°=∠AEG+∠BEF， ∴∠BCF=∠AEG=∠FBC， ∴FB=FC； （3）解：连接CG，设AB=4a，BE=AH=EF=x，则AG=DG=2a，AE=4a-x， ∵∠GFC=∠D=90°，CF=CB=CD，CG=CG， ∴Rt△CGF≌Rt△CGD， ∴DG=GF=2a， 在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2， 即(4a-x)2+(2a)2=(2a+x)2， 解得， ∴. 23．【答案】（1）解：∵a-b=1， ∴(a-b)2=1， ∴a2-2ab+b2=1， ∵a2+b2=9， ∴9-2ab=1， ∴ab=4 ∴ab的值为4. （2）解：∵在(1)的条件下， ∴a2+b2=9，ab=4. ∴a2+b2+2ab=9+2×4=17， ∴(a+b)2=17， ∴(a+b)2的值17 （3）8；36；14 24．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $