2.3～2.4 一元二次方程的根与系数的关系及应用 周质量检测 2026～2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系的系统性应用，通过基础巩固、综合推理及实际建模三层递进训练，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|12题（选择1-8、填空1-4）|直接应用根与系数关系（x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a）|概念理解→公式直接应用| |综合应用|5题（选择9-10、解答1-3）|结合判别式求参数、代数式变形（如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂）|公式应用→代数推理→参数讨论| |实际情境|2题（解答4-5）|建立方程模型解决实际问题（两位数、几何运动）|数学建模→根与系数关系应用→实际问题解决|

北师大版 九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.3~2.4 一元二次方程的根与系数的关系及应用 周测练习 考试时间：45分钟　满分：100分　 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 若一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2. 若一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 3. 已知一元二次方程，则下列关于根的关系结论正确的是（ ） A．两根之和为，两根之积为　　B．两根之和为，两根之积为 C．两根之和为，两根之积为　　D．两根之和为，两根之积为 4. 若一元二次方程的一个根为，则另一个根及的值分别是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 5. 已知方程的两实根之和等于两实根之积，则的值为（ ） A．　　B．　　C．或　　D． 6. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则这两个根的乘积是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 8. 若两数之和为，两数之积为，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ） A．　　B． C．　　D． 9. 已知和是方程的两根，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 10. 已知关于的方程的两根之差为，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 若一元二次方程的两根为和，则__________，__________。 2. 已知方程的一个根为，则另一个根为__________，__________。 3. 已知和是方程的两根，则__________。 4. 关于的方程的两根互为相反数，则__________。 5. 设直角三角形两直角边的和为，面积为，则斜边长为__________。 三、解答题（共5题，共50分） 1. （8分）已知一元二次方程，若两根分别为和，不解方程， 求下列式子的值： （1）和；（4分） （2）；（2分） （3）。（2分） 2. （10分）已知关于的一元二次方程。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（4分） （2）设方程两根分别为和，且满足，求的值。（6分） 3. （10分）已知关于的方程有两个实数根。 （1）求实数的取值范围；（4分） （2）若方程的两个实数根为和，是否存在实数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。（6分） 4. （10分）已知一个两位数，十位数字与个位数字之和为，十位数字与个位数字的平方和为。若设十位数字为，个位数字为，利用根与系数的关系求这个两位数。 5. （12分）在中，，，，点从点沿向点以的速度移动，点从点沿向点以的速度移动，若、分别从、同时出发。 （1）几秒钟后，可使的面积为？（6分） （2）设运动时间为秒，设，请利用根与系数的关系证明，当时，满足条件的只有一个解。（6分） A P C Q B 1页 学科网（北京）股份有限公司 九年级数学周测练习参考答案 一、选择题 1. C　　2. A　　3. A　　4. A　　5. B　　6. B　　7. C　　8. A　　9. A　　10. B 二、填空题 1.， 2.； 3. 4. 5. 三、解答题 1. 解答（共8分）： （1）对于一元二次方程，由根与系数的关系可得： ，（2分） ；（2分） （2）；（2分） （3）。（2分） 2. 解答（共10分）： （1）∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ 判别式， ，（2分） 解得。（4分） （2）由根与系数的关系得： ，，（2分） ∵，∴，代入得： ，整理得： ，解得或，（4分） ∵，∴。（6分） 3. 解答（共10分）： （1）∵ 方程有两个实数根，∴， ，（2分） 解得。（4分） （2）不存在，理由如下： 由根与系数的关系得：，，（2分） 若，变形得： ，即，（3分） 代入得：， 整理得， 解得或，（4分） ∵，∴不符合要求舍去，只有， 但当时，，方程有实根，原等式变为： 左边=右边， 满足，因此存在满足条件。（6分） 4. 解答（共10分）： 由题意得： ， ，（2分） ∵，代入得： ，解得，（4分） 根据根与系数的关系，和是方程的两根，（6分） 解得方程两根为，，（8分） 当十位数字为时，个位数字为，两位数为；当十位数字为时，个位数字为，两位数为， 因此这个两位数为或。（10分） 5. 解答（共12分）： （1）设秒后，，则，，（1分） S=· PC· CQ=(6-t)·2t=t(6-t)=8，（3分） 整理得：，解得，，（4分） 均满足（Q到达B点时间为4秒），因此2秒或4秒后，面积为。（6分） （2）由勾股定理得： ，（2分） 当时，得方程： ，整理得，（3分） 设方程两根为和，由根与系数的关系得： ，，（4分） 因此方程必有一个根为（此时P在A，Q在C，PQ=AC=6，满足），另一个根为， 但是初始时刻，不符合运动要求（P、Q同时出发，运动后满足条件），因此符合题意的正根只有一个解。（6分） $