第二章 一元二次方程 章末核心考点与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

39 章末核心芳点与素养提升 01分点突破 实数根， 考点一 一元二次方程的有关概念 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ 1.若方程(a-3)xa-1十2x一8=0是关于x的 (2)若(AB-3)(AD-3)=m,求m的值. 元二次方程，则a的值是 2.已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x m2=0的一个根，则m的值是 考点二一元二次方程的解法 3.(1)x2-22x+1=0: (2)(x+3)2=(2x-5)2. 考点三一元二次方程根的判别及根与系数的 关系 考点四一元二次方程的应用 4.关于一元二次方程2x2-5x=2的根的判定 7.某种产品原来每台售价m元，经过两次降价 中，正确的是 后，现在每台的售价比原来减少了19%，假设两 A.有两个相等的实数根 次降价的百分率均相同，则降价率为 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 8.某农场要建一个饲养场（长方形ABCD),饲养 D.没有实数根 场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另 5.(1)已知方程x2一4x+1=0的两根为x1,x2, 三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两 则(2十x1)(2十x2)= 个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门 (2)关于x的一元二次方程x2+3.x一m=0的 (不用木栏)，建成后木栏总长57米，设饲养场 一个根是3，则另一个根是 (长方形ABCD)的宽为a米 (3)若关于x的一元二次方程a.x2一4x十2=0 有两个实数根，则a的取值范围是 6.已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长 (1)饲养场的长为 米（用含a的 是关于x的方程x2-mx十罗-}=0的两个 代数式表示) 40 (2)若饲养场的面积为288m,求a的值. 14.(2025·雅安)阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4一5.x2十4=0，这是一个一元四次方 程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,那么x4=y,于是原方程可变为y2 -5y+4=0…①，解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,∴.x=士1； 当y=4时，x2=4,∴.x=士2； 02真题演练 .原方程有四个根：x1=1,x2=一1，x3=2,x 9.(2025·聊城)用配方法解一元二次方程3x2十 =-2. 6x一1=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则 请你按照上述解题思想解方程(x2十x) a十b的值为 4(x2+x)-12=0. A号 Bs C.2 D 10.（2025·呼和浩特)已知x1,x2是方程x2一x 一2022=0的两个实数根，则代数式x13 2022x1+x22的值是 A.4045B.4044 C.2022 D.1 11.(2026·河南模拟)若一元二次方程x2一4x一 4m=0有两个不相等的实数根，则正比例函 数y=(m+2)x的图象所在的象限是( A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 12.(2025·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载 03素养提升 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去 15.阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同 买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株 学.一天他在解方程x2=一1时，突发奇想：x 椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的 =一1在实数范围内无解，如果存在一个数， 价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那 使2=-1，那么当x2=-1时，有x=士i,从 么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于 而x=士i是方程x2=一1的两个根.据此可 一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 知： 设这批椽的数量为x株，可列方程为 (1)i可以运算，例如：3=2·i=一1×i=一i,则 4= 13.(2025·日照)关于x的一元二次方程2x2十 (2)方程x2一6x十10=0的两根为 4mx十m=0有两个不同的实数根x1,x2,且 .(根用i表示) x2+x22= ,则m= 38.原式=-216. 方程总有两个实数根； 9.(1)①0=-1，x2=2 (2):x=一(mm-3)±(m+3) 2m ②m1=-1,x2=3 ③.x3=-1,x2=4 m3=-1. (2)①x1=-1,x2=10 ,m为正整数，且方程的两个根 ②略. 均为整数，.m=1或3. 第2课时用配方法解二次项系数 14.(1)k≤4； 不为1的一元二次方程 (2)k的值为3或4. 1.C2.D3.4 1 9 - 第4课时用因式分解法求解一元 4.(0-1或- 二次方程 1.C2.D3.C【变式C (2)x=-1±26 4.x1=1,x2=55.D 31 6.(1)因式分解；(2)直接开平方. 5.竹竿有10尺. 6.B7.C 7.(1)x1=1,x2=2; 8.略. 2w=3 (2)=3+ 29 9.3√2 (3)x1=1+5,.x02=1-√5. 第3课时用公式法求解一元 8.x1=-1,x2=4 二次方程 9.C10.B 1.A2.B 11.16【变式】11或13 3.4-3-241 3+/41 8 12.2 0=3-红 13.(1)x1=- 1 32=-5: 8 1 4.(1)x=-2+E =2 (2)=- 2x2=-1. 2 2 : 14.(1)-3√2x; 2072=1 （2)x1=4,x2=-2. 5.A6.8 1 微课堂 1.(1)x1=5,x2=-1. 7.(1m< 8(2)m= 8 (2)x1=-3,x2=1. (3)m>- 7 2.1或2 8 专题五一元二次方程的解法 8.D9.C10.D11.C 1.(1)x1=3,x2=-1; 12.等腰 13.(1)证明：，m≠0， （2-合4=3 .方程m.x2+(m-3)x-3=0 (3)x1=-2,x2=0: (m≠0)是关于x的一元二次方 (4)x1=2+√3，x2=2-3; 程，∴.△=(m-3)2-4m×(-3) =(m+3)2≥0， (5)x=1,x2=-2: 1 52 (6a=26=8 则2()°-7+1=0， 2.y=2,y=-4. 所以：和可看成方程2x2一7x 3.(1)x0=7,x2=-1; 十1=0的两个根， (2)=6,x2=-1; 所以s+1=2 。.1-1 (3)x=1,2m=-2 1 t2· t 2 4=- 号- 则中子即=号 t 2 所以21十2 7t-2+2 4.A5.y2-2y-3=0 t+3t+1= 712+3t十1 6.x01=-1十2，x2=-1-2. 2 2.3一元二次方程的根 14 13: 与系数的关系 2.4一元二次方程的应用 1.D2.A3.2020 第1课时利用一元二次方程 4(10:2)受 解决几何问题 5.D 1.B2.7m3.16cm 6.另一个根是2+√5，c的值是-1. 4.小路的宽应是2m. 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽为 7.A8.D9.C10.D11.14 12.x2-6.x+6=0 8m. 6.127.2 13.(1)k的取值范围为k>一1； 8.该有盖纸盒的底面边长为8cm. (2)1. 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]-4 9.(1)AD=36-3x; (2)当AB=8m时，苗圃园的总面 (m2+m)=4m2+4m十1-4m2 积为96m. 4m=1>0, 10.(1)当t=2s时△PCQ的面积为 .无论m取何值时，方程都有 两个不相等的实数根. △MBC面积的： (2)由题意，得a十b= (2)△PCQ的面积不可能是 -(2m+1D=2m+1, △ABC面积的一半.理由略. 1 第2课时利用一元二次方程 ab=心+m=m+m, 1 解决营销类问题 (2a+b)(a+2b)=20,即2(a+1.D2.D3.10% b)2+ab=20, 4.该市这两年参加健身运动人数的 ∴.2(2m+1)2+m2+m=20, 年均增长率为30%. 整理得：nt十m一2=0，解得：m1=5.D -2,m=1, 6.(3+x)0.5x(4-0.5x)(3 .m的值为-2或1. +x)(4-0.5.x)=15 15.(1)5123 7.50 (2)因为，t满足2s2一7s十1=：8.设每件衬衫应降价x元，由题意， 0,-7t+2=0,且st≠1， 得(40-x)(20+2x)=1200, 53 解得x1=20,x2=10. 综合与实践（一）数形结合与 当x1=20时，20+2x=60件：当 方程思想 x2=10时，20十2x=40件，因为 【理解应用】② 要减少库存，x=20. 【类比迁移】x十号 (x+x+号) 答：每件衬衫应降价20元. 9.(1)设从2026年起该企业智能机 =4x1+()》 x=7 器人工作岗位率的年平均增长率 【拓展应用】士231或3 应达到x,由题意可得28%(1十 综合与实践（二）方程建模与 x)2=35%, 实际应用 (1+x)2=5 任务一：这个矩形的长和宽分别是 2 : 60cm和20cm; x>0, 任务二：按图4上面的做法合适，下 x= 2 -1≈22-1=0.1= 2 面的做法不合适。 10%, 章末核心考点与素养提升 (2)35%×(1+10%)2=35%× 1.-32.-1 1.21=42.35%>40%, 3.(1)x=√2土1： 所以照此速度增长，2029年底该 (2)=8,x2二3、 企业智能机器人工作岗位率可超 4.B 过40%. 5.(1)13;(2)-6;(3)a≤2且a≠0. 10.任务1： 6.(1)当m=1时，四边形ABCD为 设第一季度到第三季度生产量 菱形； 的每季度增长率为x,根据题意 (2)m= 得：200(1+x)2=288, 2 解得x=0.2=20%,x=-2.2 7.10% (不符合题意，舍去)， 8.(1)(60-3a); 答：第一季度到第三季度生产量 (2)a=12. 的每季度增长率为20%； 9.B10.A11.B 任务2： 12.3(x-1)x=6210 设增加a条生产线，则每条生产 18-日 线产能为(300-20a)万个/季 14.x0=-3,x2=2. 度，根据题意得：(1十a)(300 15.(1)1 20a)=1200, (2)01=3+i,x2=3-i 整理得a2-14a十45=0，即(a-5) 第三章图形的相似 (a-9)=0, 3.1相似多边形 解得a1=5,a2=9, 第1课时相似多边形的定义 ,在增加产能同时要节省投入 1.C2.A3.D4.45.B 成本，.a=5. 答：应增加5条生产线。 6125°127.号 54