专题九 正多边形与圆的综合【（挑战压轴题）导图知识卡片+四大考点讲练+思维拓展训练 共31题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题九 正多边形与圆的综合 【思维导图+四大考点讲练+思维拓展训练 共31题〔解析版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 【压轴考点01】求正多边形的中心角 2 【压轴考点02】尺规作图—正多边形 7 【压轴考点03】已知正多边形的中心角求边数 10 【压轴考点04】正多边形和圆的综合 16 【压轴强化-精选真题 实战演练】 21 【压轴考点01】求正多边形的中心角 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【思路引导】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【规范解答】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 【对应练习1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A．3 B．3.14 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正八边形的性质求出，根据直角三角形的边角关系求出边上的高，由三角形的面积的计算方法可求出的面积，进而得到正八边形的面积即可． 【规范解答】解：如图，正八边形内接于，连接，，过点A作于点M， ∵八边形是正八边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴正八边形的面积为． 圆的面积为， 即可估计的近似值为． 故选：C． 【对应练习2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，作于点，根据正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，平移，反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，平移，反比例函数的性质，熟练掌握平移，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：连接，作于点， 原点为正六边形的中心，轴， ， 又， 是等边三角形， ， ，， 设正六边形的边长为， 则， 平移后D的对应点． 点都在反比例函数图象上， ， 解得（舍）或， ， ． 故选：A． 【对应练习3】（2024·江苏镇江·一模）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是____________（填写序号）．    【答案】①③/③① 【思路引导】补全缺失的A角，连接、、、，根据正八边形可得，，先得出点O在线段的垂直平分线上，结合对称可得垂直平分线段，可得①正确；故有②错误；先根据对称性得出与在同一条直线上，由四边形、四边形是等腰梯形，可得，进而有，则判断③正确，根据等腰直角三角形可得，再证明，即有，进而可判断故④错误，问题得解． 【规范解答】如图，补全缺失的A角，连接、、、，    ∵多边形是正八边形， ∴正八边形是称轴图形，且，， ∴四边形、四边形是等腰梯形， ∵以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵在正八边形中，所在直线是正八边形的对称轴， ∴垂直平分线段， ∴点O在上，故①正确； ∴点O不在上，故②错误； ∴点O为与的交点， ∵正八边形是关于对称的轴对称图形， ∴点A、点O、点D三点共线， ∴与在同一条直线上， ∵四边形、四边形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且，故③正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上正确的有①③， 故答案为：①③． 【考点剖析】本题主要考查了正多边形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，充分利用正八边形是轴对称图形，是解答本题的关键． 【压轴考点02】尺规作图—正多边形 【典例精讲】（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【思路引导】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【规范解答】（1）略 （2）略 【对应练习1】（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【对应练习2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【对应练习3】请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】 如图，四边形ABCD即为所求作． 【思路引导】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【规范解答】略 【考点剖析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【压轴考点03】已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【思路引导】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【规范解答】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 【对应练习1】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【思路引导】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【规范解答】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 【对应练习2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【思路引导】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【规范解答】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【对应练习3】如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【思路引导】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【规范解答】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②略 【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 【压轴考点04】正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2026·宁夏·中考真题）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【思路引导】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【对应练习1】（2026·河南平顶山·三模）风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【思路引导】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 【对应练习2】（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【思路引导】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 【对应练习3】（2026·河北邯郸·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰《九章算术注》中指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则的长为______． 【答案】 【思路引导】设正六边形外接圆的圆心为，连接，过作于，利用正多边形的性质可得，，，利用圆周角定理可得，，即得，进而得到，即得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理、锐角三角函数求出半径即可求解． 【规范解答】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接，过作于，如图，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ，即的半径为， ∴的长． 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【规范解答】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 2．（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【规范解答】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 4．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【思路引导】连接 交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【规范解答】 解：连接 交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 【考点剖析】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点，，，，，在圆上，若两个小正六边形的边长均为，则大正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：如图，    在小正六边形中，， 则， 在大正六边形中， ， ， 过G作于点H， ， 在中， ， ， ， ， 设， 则，，， 由于， ， 解得（舍去）或， 即， 故选：A． 6．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【思路引导】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【规范解答】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 7．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【规范解答】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 8．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【思路引导】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【规范解答】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 9．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【思路引导】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【规范解答】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 10．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【思路引导】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【规范解答】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【思路引导】过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示． (1)若正方形的边长为a，则正八边形的边长是多少? (2)如图②，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）? (3)如图③，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）? 【答案】(1) (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求． 【思路引导】（1）由是正八边形和四边形是正方形，可得，，，四个三角形均为等腰直角三角形，设，则，再由，即可求解； （2）连接，交于点，分别以，，，为圆心，，，，为半径画弧，分别交正方形的边于点，则即为所求； （3）连接，交于点，作，的垂直平分线，分别交正方形的边于点，再以为圆心，为半径作圆，分别交，于点，则即为所求． 【规范解答】（1）解：∵是正八边形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，，四个三角形均为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ， ， ， ∴正八边形的边长为． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形和正方形内接于，，分别与相交于点G，H．若的半径为R，求的长． 【答案】的长为 【思路引导】连接交于点，连接，，证明直线是线段的垂直平分线，求得，，据此求解即可． 【规范解答】解：如图，连接交于点，连接，， ∵正方形和等边三角形都内接于， ∴是的直径，，，， ∴，， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 14．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【思路引导】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【规范解答】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 15．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【思路引导】（1）根据正五边形的边角关系进行解答即可； （2）证明，则，由即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴, ∴，都是等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴都是等腰三角形． （2）略 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题九正多边形与圆的综合 【思维导图+四大考点讲练+思维拓展训练共31题〔原卷版〕】 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 。。。。。。。。。 【考点讲练-重点难点举一反三】. 2 二【压轴考点01】求正多边形的中心角★★女女 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 二【压轴考点2】尺规作图-正多边形★★★★ 3 【压轴考点03】己知正多边形的中心角求边数★★食★ 二【乐辅考点4】正多边形和凤的综合★★女★ 【压轴强化-精选真题实战演练】...... 思维导图 知识梳理技巧点拨 二，正多边形与圆的关系 二、正多边形的有关公式 定义 ☐正多边形的边长。半径。边心距公式设正m边形的边长为 备边相。备角他相等的多边正多 ②外接与内接 ①外接同半径：R 正多边形有一个外接圆。外接圆的圆心叫作正多边形的中心。 正大遗形的外楼 2m180 外接圆的半径叫作正多边题的半径R。 正多边形也有一个内切图，内切国的圆心就是正多边形的中心 ②内切网率径（边心平）：r- 2an180 肉切圆的率径叫作正多边形的内切半径r,也叫边心距 图内心角与外角 正大边形的内切 正边形的每个内角的度数 专题九 ②正多边形的周长，面积公式 。--2×180 常用结论 正多边形与圆 ①周长：C=a 正n边形的每个外角的度数： B--180-a 的综合 2图积：5=2CG=支n限· 到各商点的距高色相等。 日常见正多边形的内角、外角 其等手来经尺 正多边形正三角形(》正方形n=)正五边形正大边形m6 每个内角每 60 00 10 每个外角B120 五、压随题解题技巧 90 72*60 三、作围方法：作正多边形 构迪情臣，转化阿面持复杂图形转化为正多边形推及，乙，令 利用其对称性和等量关系求解， 只要会什的内正三角形和正大边形 就可以利用以下方法作出正边无 四、正多边形的重要牲质 日己知一边作正边带 先根吸边作出其所对的圆心（利用重直 ☐各边相等。各角相等 先件的接正三角形正六边 2正多边形既是轴对你图彩，也是中心对称图形 再依次等分便阀即可。 目正多边形的种角线条数： 到：作正五边形 侧：已知边风作正六边形 正边形的对角线条数 D作正六边形③再正五功到①已如边A8作出侧303作正大边 △口个@ 小贴士 想一想 学以致用】 作的关键是找准圆心浅等分周 正多边形的身条对我都北它分成 两个全等的角形 ?枝心思想：对称美+圆的魅力=解题钥匙1心⊙ 第1页共14页 考点讲练 重点难点举一反三 【压轴考点01】求正多边形的中心角★★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八 角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为6m的正八边形（如图)，求塔基的面积（结果保留小数点后 一位)· 【对应练习1】(25-26八年级上·江苏无锡·期中)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到 了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥 少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种 思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图，⊙0的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形 面积近似估计⊙0的面积，可得元的估计值为， 若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得π的估计值 为( A.3 B.3.14 C.22 D.23 【对应练习2】(2025九年级上·全国·专题练习)如图，平面直角坐标系中，原点0为正六边形 ABCDEF的中心，EF‖x轴，点E在双曲线y=《(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移V3 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为() 第2页共14页 y=0) E D A.43 B.3V3 Cc.23 D.V3 【对应练习3】(2024·江苏镇江·一模)如图，有一张正八边形纸片ABCDEFGH缺了一个角A,连接 CH,点O在CH上.若以点C为圆心，OH长为半径所画的圆恰好经过点D,则下列结论：①点O也在BF 上：②点0也在BG上：③连接0D,则0DⅡBC:④0H=+OC,其中正确的是 (填写序 号). H F 【压轴考点02】尺规作图一正多边形★★★★ 【典例精讲】(2026九年级上·江苏·专题练习)作图与证明：如图，已知⊙0和⊙0上的一点A,请完 成下列任务： A (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF: (2)连接BF,CE.判断四边形BCEF的形状并加以证明. 第3页共14页 【对应练习1】(2026·甘肃武威·模拟预测)用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题， 在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数 学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个 正七边形：如图，己知AB为⊙O的直径 步骤一：作出半径0B的垂直平分线，与⊙O分别交于EF两点，垂足为D. 步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次截取BG=GH=HM=MN=NP=PQ=ED. 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ, 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不 写作法，但保留作图痕迹. B 【对应练习2】(25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠GBH=90: (2)以点B为圆心，2个单位长度为半径画弧，分别交BG、BH于点A、C: (3)分别以点A和点C为圆心，2个单位长度为半径画弧，两弧交于点D: (4)连接AD、DC、AC: (5)以点C为圆心，CA长为半径画弧交CH于点E: 则∠DAE的度数是() G D H E C B A.22.5° B.30 C.45o D.60° 第4页共14页 【对应练习3】请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：⊙O,点A在圆上. 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD. 【压轴考点03】已知正多边形的中心角求边数★★★★ 【典例精讲】(2026·浙江绍兴·二模)如图，在⊙0中，弦AB,AC分别是⊙0的内接正三角形和内接 正方形的一条边，连接BC,BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是 B 【对应练习1】(25-26九年级上·湖北随州·期末)如图，点A,B,C,D为一个正多边形的部分顶点，点0 为正多边形的中心，若∠A0D=120°，则这个正多边形的边数为() A.6 B.9 C.10 D.12 【对应练习2】(25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测)如图，在正n边形A1A2A3·A中，∠1= 15°，则n的值是 第5页共14页 A3 【对应练习3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(AD<BC),∠A=90°，BC=CD=6.将梯形ABCD 绕点C按顺时针方向旋转，使点B与点D重合，此时点A、D的对应点分别是点E、F, D (1)当点F正好落在AD的延长线上时，求∠BCD的度数； (2)联结AE,设AD=x,AE=y. ①求y关于x的函数解析式： ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形.设∠BCF是一个正多边形的中心角，联结BD, 请说明以线段BD、AE为边的正多边形是双同正多边形的理由.当这两个正多边形的面积比是4：5时，求 双同正多边形的边数， 第6页共14页 【压轴考点04】正多边形和圆的综合★★★★ 【典例精讲】(2026·宁夏·中考真题)如图，⊙O与正六边形ABCDEF相切，仅用无刻度直尺按要求作 图，不写作法，保留作图痕迹. (1)作∠ABC的角平分线； (2)过点0画一条直线将图形分成面积相等的两部分. 【对应练习1】(2026·河南平顶山·三模)风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械.古代 的风车是从船帆发展起来的，它具有6一8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马 灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车.如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为6m, 该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆OC垂直于地面AB,且圆周最低点D距离地面 AB为3m. D B 图1 图2 (1)若扇叶0E与立杆夹角∠C0E=15°，求扇叶0P最外端P与地面AB的距离. (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段OP的垂线，当点P运行到0C的左侧且该垂线经过点C时， 求PD的长度 第7页共14页 【对应练习2】(2026·河北石家庄·一模)在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计 算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径.琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A,并与 圆相切，交BC于点M测得AB=4,BM=2,螺纹孔的直径为 【对应练习3】(2026·河北邯郸·一模)我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中 指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）·刘徽发现，圆内 接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的 理论和完善的算法，如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十 二边形，连接AG,CF,AG交CF于点P,若AP=2V6,则CG的长为_一· 用 图1 图2 压轴强化 精选真题实战演练 1.(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点P在AB上，则∠CPE 的度数为( ) A D A.50° B.60° C.64° D.72° 第8页共14页 2.(2026·安徽·二模)如图，一个正多边形中心点0为正多边形的中心，0A=1,若∠ACB=15°，则 这个正多边形的面积为( ) A.1 B.3 C.n D.3π 3.(2026·四川内江·中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，P为BC上的一点（点P不与点C重 合)，则∠CPD的度数为( B D A.36° B.45° C.60° D.72 4.(2026·江苏南通·中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,⊙O的直径为DM,连 接AM,BM,CM,EM.小慧、小丽经过探素，分别得到以下结论.小慧：∠BMC=36,小丽：兴+ “=1.下列关于两人结论的判断中，正确的是（ EM B M A.小慧和小丽的结论都正确 B.小慧和小丽的结论都错误 C.小慧的结论正确，小丽的结论错误 D.小慧的结论错误，小丽的结论正确 5.(25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，己知四个正六边形摆放在图中，顶点A,B,C,D, E,F在圆上，若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是() 第9页共14页 E D A.2+1) B.图+1 C.2(-) D.g-1 3 3 3 3 6.(26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测)如图，⊙0的内接正三角形ABC的边心距0D为2cm,则⊙0 的半径为 cm. A 7.(2026九年级上·江苏·专题练习)如图，A、B、CD为一个正多边形的顶点，若∠ADB=15°，则 该正多边形的边数为 B A 8.(2026·黑龙江绥化·中考真题)如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正 六边形地基的面积是 m2(计算结果保留根号). 9.(2026·山西长治·三模)如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNQP的顶点 恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC与BD相交于点O,正八边 形的另外四个顶点HI,J,K分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI分别交PM和QN于点BR,则的 值为 第10页共14页 A B 10. (2026·福建福州·模拟预测)如图，正七边形ABCDEFG,连接对角线AE,BG交于点H,则∠1的 度数为 G 11.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，正六边形ABCDEF的中心为原点，顶点A,D在x轴上， 半径为2，求其各个顶点的坐标. 12.(26-27九年级上·全国·课后作业)如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有 四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.你能用尺规作内嵌于正方形 的正八边形吗？甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示 D G H 图① 图② 图③ (1)若正方形ABCD的边长为a,则正八边形的边长是多少？ (2)如图②，已知，正方形ABCD,你能用尺规作内嵌于正方形ABCD的正八边形吗（要求：正八边形的八 个顶点均在正方形四条边上)？ 第11页共14页 (3)如图③，已知，正方形ABCD,你能用尺规作内嵌于正方形ABCD的正八边形吗（要求：正八边形中只 有四个顶点在正方形四条边上)？ 13.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF内接于⊙O,DE,FE分 别与BC相交于点G,H.若⊙O的半径为R,求GH的长. A 0 G B E 第12页共14页 14.（2026·江苏南京·二模)在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发 动机.在另一种转子发动机（图(1）是某汽车转子发动机的截面图)中，有一个可以转动的部件，它的 示意图如图(2)所示.图(2)的画法如下：画一个边长为a的正三角形ABC,分别以A,B,C为圆心， 以a为半径画BC,AC,AB.这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形ABC. (2) D M C G (3) (4) (1)圆弧三角形ABC的周长为 一一-，面积为一·（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形ABC运动时有何特性呢？ ①如图(3)，圆弧三角形ABC沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点 形成的图形大致为( A. C. D. ②数学家发现：圆弧三角形ABC能在边长为a的正方形DEFG中转动，且始终保持与正方形的每一边都有 且只有一个公共点.图(4)是转动过程中的一种情形（点B,C分别在边EF,FG上，AC与边DG有且只有 一个公共点M0·求证：AB与DE有且只有一个公共点. (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终 保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点：②该图形不能是圆弧三角形或圆.请画出示意图并写出画 法 第13页共14页 15.(25-26九年级下·全国·单元复习)如图，⊙0的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点 M M d D (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：BM2=BE·ME. 第14页共14页 2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题九 正多边形与圆的综合 【思维导图+四大考点讲练+思维拓展训练 共31题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 【压轴考点01】求正多边形的中心角 2 【压轴考点02】尺规作图—正多边形 3 【压轴考点03】已知正多边形的中心角求边数 5 【压轴考点04】正多边形和圆的综合 7 【压轴强化-精选真题 实战演练】 8 【压轴考点01】求正多边形的中心角 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【对应练习1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为2，运用“割圆术”在圆的内部画正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若在圆的内部画正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A．3 B．3.14 C． D． 【对应练习2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【对应练习3】（2024·江苏镇江·一模）如图，有一张正八边形纸片缺了一个角A，连接，点O在上．若以点C为圆心，长为半径所画的圆恰好经过点D，则下列结论：①点O也在上；②点O也在上；③连接，则；④，其中正确的是____________（填写序号）．    【压轴考点02】尺规作图—正多边形 【典例精讲】（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【对应练习1】（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【对应练习2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【对应练习3】请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【压轴考点03】已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【对应练习1】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【对应练习2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【对应练习3】如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【压轴考点04】正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2026·宁夏·中考真题）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【对应练习1】（2026·河南平顶山·三模）风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【对应练习2】（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【对应练习3】（2026·河北邯郸·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰《九章算术注》中指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则的长为______． 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点，，，，，在圆上，若两个小正六边形的边长均为，则大正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 7．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 8．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 9．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 10．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形，如图①所示． (1)若正方形的边长为a，则正八边形的边长是多少? (2)如图②，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形的八个顶点均在正方形四条边上）? (3)如图③，已知，正方形，你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗（要求：正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上）? 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形和正方形内接于，，分别与相交于点G，H．若的半径为R，求的长． 14．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 15．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null