第一章《特殊平行四边形》期中考点总结与练习——考点2《菱形的性质与判定》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 2｜菱形的性质与判定 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 2—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 性质·判定·计算综合 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 ① 本资料共 24 题，全部为各地中考真题（原卷或教辅双源收录），题面未作任何改动；每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，供学生对照订正； ② 填空题的答案已嵌在题面空格中（红色显示），方便教师讲解时即时核对，学生自测时可先遮住红色部分； ③ 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； ④ 本考点是期中计算与证明的主力（★★☆~★★★）：性质记牢、判定用对、计算过关——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 2 保持一致） 考点范围：菱形的定义（平行四边形＋一组邻边相等）、边角性质（四边相等、对角相等）、对角线性质（互相垂直平分、每条平分一组对角）、面积（底×高、对角线乘积的一半）、判定（定义＋邻边相等＋对角线垂直三条路）、对称性，以及勾股定理、斜边中线、中位线三大计算工具在菱形中的综合应用。 一、菱形的定义与边角性质 ◆ 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；反过来，菱形的四条边都相等——定义既是性质也是判定（四条边都相等的四边形是菱形）。 ◆ 边角性质：对边平行且四条边都相等；对角相等、邻角互补（平行四边形性质照常可用）；每条对角线平分一组对角。 二、菱形的对角线与面积 ◆ 对角线：互相垂直且互相平分——垂直把菱形切成四个直角三角形（勾股、斜边中线的用武之地），平分使每条半对角线可由整条取一半。 ◆ 面积两条路：底×高（高由勾股或已知给出）；两条对角线乘积的一半（对角线已知时首选，注意别忘记除以 2）。 三、菱形的判定 ◆ 判定三条路：①四条边都相等的四边形是菱形（定义，适用于一般四边形）；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。后两条前提都是平行四边形——“前提缺失”是判定类假命题的固定陷阱。 菱形性质与判定速记表 项目 内容（边·角） 内容（对角线·面积） 易混点 菱形的性质 四条边都相等；对角相等、邻角互补 对角线互相垂直平分，每条平分一组对角；面积＝底×高＝对角线乘积的一半 与矩形对比：矩形对角线“相等”不“垂直” 判定一（定义） 四条边都相等的四边形是菱形 适用于任何四边形 最稳妥，证明题首选 判定二（邻边） 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 前提：平行四边形 缺前提即假命题 判定三（对角线） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 前提：平行四边形 别与“对角线相等得矩形”混淆 计算三件套 勾股定理：半对角线→边长 斜边中线＝斜边的一半；中位线＝第三边的一半 见“中点＋直角”想斜边中线，见“双中点”想中位线 ◆ 判定速记：从平行四边形出发，加“邻边相等”或“对角线垂直”任一条件即成菱形；从一般四边形出发，先证平行四边形再升级，或直接用定义证四边相等。 四、对称性与斜边中线 ◆ 对称性：2 条对称轴（两条对角线所在直线）＋中心对称；斜边中线：对角线互相垂直把菱形分成四个直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——见“中点＋直角”就想到它。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 性质与计算必考：菱形的边角对角线性质＋勾股、斜边中线、中位线三件套是计算类选择填空的主力，分值 3~10 分； 判定证明是解答题主力：定义与两条判定定理常与全等三角形、勾股定理逆定理串联，先证平行四边形、再升级菱形是标准骨架； 失分集中在三处：判定跳步（前提缺失）、计算链断裂（半对角线取错、面积忘记除以 2）、压轴轴对称最值找不到对称点。 答题方法（三步法） 第一步·定性质：菱形四张牌——四边相等、对角相等、对角线垂直平分、每条对角线平分一组对角，按题意选牌； 第二步·选工具：直角＋已知两边想勾股，中点＋直角想斜边中线，双中点想中位线，对角线已知想“乘积的一半”； 第三步·验前提：判定前先问一句“平行四边形有了吗”——有了加 1 个条件升级，没有先补平行四边形。 注意事项（易错警示） 面积两条路都别忘除以 2：对角线乘积的一半、底×高的高常要自己用勾股求； 斜边中线的前提是“直角三角形＋斜边中点”，两条缺一不可——菱形对角线互相垂直，恰好提供了直角； “对角线互相垂直平分”是菱形独有，矩形只有“平分＋相等”，两条性质最易互换； 轴对称最值先找对称点、把折线拉直成两点之间线段最短——对称轴常是菱形的对角线所在直线。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 边长·周长·面积计算 对角线互相垂直＋勾股；对角线乘积一半或底×高 “菱形的边长/周长/面积为” ★★☆ 斜边中线与中位线 直角三角形斜边中线、中位线 “OE/OH 的长为” ★★☆ 判定与证明 定义与两个判定定理 “求证：四边形×是菱形” ★★☆ 折叠与坐标 折叠性质、对称中心 “点的坐标为” ★★☆ 动点与最值（压轴） 轴对称＋两点之间线段最短 “PE＋PF 的最小值” ★★★ 命题边界：本考点考菱形的定义、性质、判定与计算综合；推理工具仅用平行四边形性质、全等三角形（SAS·ASA·AAS·HL）、勾股定理（含逆定理）、直角三角形斜边中线、中位线、含 30° 角的直角三角形、轴对称——均属九上第一章及之前界内内容，未使用相似、三角比、韦达定理等未学工具。 PART 03 例题精讲（6 题·全部真题） 例题覆盖：对角线角度计算 → 对角线面积 → 勾股求周长 → 斜边中线求 OE → 判定条件辨析 → 勾股逆＋对角线垂直判定。变式覆盖：斜边中线＋勾股 → 斜边中线转移对角线 → 对称中心求坐标 → 平移构造菱形 → 开放加条件 → 辨析改错补条件 → 垂直平分构造菱形 → 对角线平分角＋全等 → 矩形性质证菱形＋面积 → 斜边中线＋中位线证菱形。拔高覆盖：轴对称最值 → 中点＋平行构形算面积 → 中点构造＋全等转移 → 等边＋30°直角边 → 判定＋等边转移 → 垂直平分＋中位线＋方程 → 全等转移证 ME＝NF → 条件选择＋判定证明。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、变 1、变 2 是三件套计算链：对角线垂直平分 → 半对角线 → 勾股 → 边长周长面积，一步都不能跳； ◆ 例 2、例 3 是对角线路线：面积用“乘积的一半”、周长用“勾股乘 4”，两条路都从“互相垂直平分”起步； ◆ 例 4、变 1、变 10 是斜边中线主场：菱形对角线给直角，E 是斜边中点，OE/OH＝斜边的一半； ◆ 例 5、变 5、拔 8 是判定辨析：先问“平行四边形有了吗”，再判断条件升级成什么图形； ◆ 例 6、变 7、变 9 是证明骨架：全等（SAS/ASA/AAS）→ 平行四边形 → 加条件升级菱形； ◆ 变 3、变 4 是坐标平移背景：对称中心把坐标取相反数、平移后用等量关系列方程。 例 1　选择题　　26-27·四川开学 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：， ，推出 ，由垂直的定义可得： ，进而得到 ，最后根据角的和差求解即可. 【解答】 解： 四边形ABCD是菱形， ， ， ， ， 于点E， 于点F， ， ， ，故选：C. 例 2　选择题　　26-27同步 如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（        ） A. B. C.32 D.16 【答案】 B 【解析】 根据题意可求出 ，根据 ，可求出 ，根据菱形的性质可得Rt ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，由勾股定理求出 ，然后求出对角线的长即可求解. 【解答】 解： 菱形ABCD的边长是8， 解： 菱形ABCD的边长是8， 设AC、BD交于点O 设AC，BD交于点O， 在Rt 中，AB=8， 菱形的面积是 例 3　填空题　　26-27·四川月考 如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得 ，根据三角形的内角和定理求出 的度数. 【解答】 解：四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又 ， . 例 4　填空题　　2025·四川甘孜州·中考模拟 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为____3____． 【答案】 3 【解析】 由菱形的性质可得 ， ， ，利用勾股定理求出 的长，进而得到 的长，再根据直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半即可求解． 【解答】 解： 四边形是菱形， ， ， 在Rt 中， ， 例 5　简答题　　2026·西藏模拟 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，求长． 【答案】 证明见解析 12 【解析】 （1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到 ，即可证明四边形AECD是菱形； （2）根据菱形的性质，得出 ，由勾股定理可得 ，从而得到DE=12，再证明四边形BCDE是平行四边形，得到 CB=DE，即可求出CB长. 【解答】 （1）证明： 四边形 AECD是平行四边形， 四边形AECD是菱形； （2）解： 四边形AECD是菱形，AD=10, 的周长为36， 在Rt 中， 四边形BCDE是平行四边形， 例 6　解答题　　26-27·广东月考 如图，在中，，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积； （3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】 证明： ，D是AB的中点， AD=EC, 四边形ADCE为菱形； 如图所示，射线DF就是所求的射线 【解析】 （1）先根据斜边上的中线性质得到 ，则可证明 ，然后根据菱形的定义可判断四边形ADCE为菱形； （2）先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到 ， ，再根据三角形面积公式计算出 ，则利用D是 AB的中点得到 ，接着根据菱形的性质得到 ，然后计算 即可； （3）过D点作BC的垂线即可. 【解答】 （1）证明： ，D是AB的中点， AD=EC, 四边形ADCE为菱形； （2）解： 是AB的中点， 四边形ADCE为菱形， 四边形ABCE的面积 （3）如图所示，射线DF就是所求的射线 PART 04 变式练习（10 题·全部真题） 与例题同考点、同方法，换图形、换背景、换设问角度，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 与例 4 同练斜边中线：先找直角，再确认“中点在斜边上”； ◆ 变 3、变 4 是坐标与平移背景的菱形：对称中心取相反数、平移后找等量关系； ◆ 变 5、变 6、变 7、变 8 全部围绕判定：加条件、辨析改错、垂直平分、对角线平分角，练“前提意识”； ◆ 变 9、变 10 与例 2、例 6 串联：先证菱形再算面积，证明与计算一气呵成。 变式 1　选择题　　2025·江苏盐城·期末 下列命题中，真命题是（        ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】 C 【解析】 本题根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，逐一判断各命题即可得到结果. 【解答】 解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A是假命题； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不是正方形，故B是假命题； C、根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，故C是真命题； D、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故D是假命题. 变式 2　选择题　　26-27·山西月考 2026年“山河之上是生活”山西文旅体验季在晋城王莽岭景区举办，为美化全新投用的卧龙场步行街广场，景区规划修建一处菱形绿化花池用来摆放太行特色花卉．如图，已知这个菱形花池的周长是12米，，则花坛对角线的长为（        ） A.米 B.6米 C.米 D.3米 【答案】 D 【解析】 先由菱形的性质可得 ，进而根据等边三角形的判定方法可得 是等边三角形，最后根据等边三角形性质求解即可. 【解答】 解： 菱形花池 的周长是12米， 又 是等边三角形， 变式 3　选择题　　2026·海南模拟 如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（     ） A.5 B. C.15 D. 【答案】 B 【解析】 连接EF，设AE交BF于点H，由作图可得， ，AE平分 ，根据菱形的判定证明四边形ABEF是菱形，则 ， ，在Rt 中利用勾股定理求出AH的长，即可得出答案. 【解答】 解：如图，连接EF，设AE交BF于点H. 由作图可得， ，AE平分 由作图可得， ， 平分 四边形ABCD是平行四边形， 又 四边形ABEF是平行四边形， 又 四边形ABEF是菱形. ， ， 在Rt 中，根据勾股定理，得 变式 4　选择题　　2025·广东·中考真题 在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF，若四边形 ECDF 为菱形时，则 a 的值为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B 【解析】EF 由 AB 平移得到，与 AB 平行且相等，从而与 CD 平行且相等，四边形 ECDF 是平行四边形；再由菱形得 EC＝CD，把 EC 用 BC 与 a 表示出来列方程。 【详解】∵EF 由线段 AB 平移得到，∴EF∥AB 且 EF＝AB＝4。 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝CD， ∴EF∥CD 且 EF＝CD，四边形 ECDF 是平行四边形。 ∵BC＝6，线段 AB 向右平移 a 个单位，∴EC＝6－a。 若四边形 ECDF 为菱形，则 EC＝CD＝4，即 6－a＝4，解得 a＝2。故选 B。 变式 5　填空题　　2025·黑龙江·月考 如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．则这个菱形的对角线的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 由题意易得 ，然后可得 是等边三角形进而根据勾股定理可进行求解. 【解答】 解： 四边形 是菱形，且边长为2cm， , ， ， 是等边三角形， ， ， ， 变式 6　填空题　　25-26·辽宁月考 如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 取BC的中点K，连接KE，过K作 于E'，证明出 ，由性质得FG=EK，即知线段FG长度最小即是线段 KE长度最小，此时E运动到 ，KE最小值即是KE的长度，根据KE是 的中位线，即可得答案. 【解答】 解：取BC的中点K，连接KE，过K作 于E，如图： 菱形ABCD中， 是等边三角形， 将线段CE绕点C逆时针旋转 得到CF， 线段FG长度最小即是线段KE长度最小， 当E运动到 时，KE最小，即是FG最小，最小值即是 的长度， 是BC中点， ，而CG 是 的中位线， 最小值是 故答案为： 变式 7　填空题　　2025·湖南怀化·中考模拟 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点，，连接，．若 则 ______________________________． 【答案】 度 【解析】 本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识， 首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解； 【解答】 解：四边形是矩形， ，． 垂直平分， ，，， ， ． ，， ， ， ， 四边形是菱形， ． ， ， ， ， 故答案为：． 变式 8　解答题　　2026·贵州模拟 如图，在矩形中，，，是边上的一点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】 证明：矩形中，是边上的一点，延长至点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形. 解：当时，四边形是菱形， 理由如下：矩形，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形. 【解析】 （1）根据矩形性质推出，，进而代换出，即可证明四边形是平行四边形. （2）根据，证明即可解题. 【解答】 （1）证明：矩形中，是边上的一点，延长至点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形. （2）解：当时，四边形是菱形， 理由如下：矩形，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形. 变式 9　解答题　　25-26·山东月考 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【答案】 见解析 96 【解析】 （1）根据平行四边形的性质可证 , 根据垂直平分线的性质可证 , , 利用ASA可证 ，根据全等三角形的性质可证 ，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知 , 设 、 , 根据勾股定理可得 , 利用完全平方公式可以求出 , 根据菱形的面积公式求出结果即可. 【解答】 （1） 证明： 四边形 是平行四边形, ∴ AD||BC, 是 的垂直平分线， 在 和 中， 四边形AFCE是菱形； （2）解： 四边形 是菱形 四边形AFCE的周长是40, 设 、 则有 ， ， 在Rt 中, , 整理可得： 变式 10　解答题　　26-27·山东开学 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、四边形是平行四边形， , , 又, , , 平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C. PART 05 拔高巩固（8 题·全部真题） 菱形综合与压轴——期中卷选择填空压轴与解答题后段的来源题型 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 轴对称最值：E 关于对角线 AC 对称到 AB 上的中点 G，PE＋PF 拉直成 GF，最小值＝AD； ◆ 拔 2 中位线定分点：E 是 BC 中点、EF∥CO，F 恰是 BO 中点，矩形 EFOG 面积＝菱形面积的十六分之二； ◆ 拔 3 辅助线突破口（嵌空）：取 DE 中点 H，中位线＋全等把 GF 转移到 AG，等边三角形三线合一＋勾股收尾； ◆ 拔 4 含 30° 直角边：等边三角形给 60°，30° 角对边＝斜边一半定 AE，再勾股收 DE； ◆ 拔 5 周长换边长：设 AB＝AF＝x，周长列方程解 x，菱形对角线平分 120° 得等边三角形； ◆ 拔 6 中位线＋垂直平分＋两次勾股：OF 是中位线、PB＝PE、两次勾股列方程，PQ＝2PO； ◆ 拔 7 角的转移：菱形对角相等减去公共的等腰底角，配 SAS 全等，再用 AAS 转移 ME＝NF； ◆ 拔 8 条件选择（嵌空）：①是 AAS、③是 ASA，②是 SSA 不能判定全等——最大陷阱，选错即全错。 拔高 1　选择题　　25-26·安徽月考 “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的 宽（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【解答】 解：由题意知，， 四边形是平行四边形， ， 如图，作于，于，连接，则， 设， 四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是菱形， ， ， 由勾股定理得，， 则， 重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， 丝带的宽为， 故选：． 拔高 2　选择题　　26-27·广东月考 如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由菱形性质和已知条件可证四边形OMPN为矩形，所以MN=OP，则MN的最小值为OP最小值，因为点P为线段BC上的一个动点，所以 OP BC时，OP最小，根据面积法求出OP最小值即可. 【解答】 解：连接 在菱形ABCD中， 四边形OMPN为矩形， 则 MN的最小值为 OP最小值， 点P为线段BC上的一个动点， 时，OP最小， 此时 的最小值为 拔高 3　选择题　　25-26·广东期中 如图，菱形的面积为，点，，，分别为，，，的中点，则四边形的面积为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【解答】 解：连接交于， 四边形是菱形， ， 点分别是边和的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 菱形的面积， ， ， 四边形的面积为， 故选：． 拔高 4　填空题　　26-27·湖南月考 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为___10_____．     【答案】 10 【解析】 根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为进行计算 【解答】 解：四边形是菱形， 在Rt中， 由勾股定理得 是线段的垂直平分线 的周长为：. 拔高 5　填空题　　26-27·江苏开学 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为________． 【答案】 【解析】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得 ，利用面积法即可求得DH的值. 【解答】 解： 四边形ABCD是菱形， 菱形ABCD的面积 故答案为： 拔高 6　填空题　　25-26·江苏月考 如图，在菱形中，，垂足为，交于点，．若，则_______4_________． 【答案】 【解析】 根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长． 【解答】 解：连接，， ，， 垂直平分， ， 菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ． 故答案为：4 拔高 7　解答题　　2026·山东中考 如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为，求线段 的长． 【答案】 见解答 4 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）证明： BE , 四边形 ABED是平行四边形， 又 是直角三角形， D是CE中点， , 四边形ABED是菱形. （2）解：设点 A到CE的距离为 h，因为 AB CE， 菱形ABED的面积为 则 Rt 的面积： 又 Rt 中 ，面积也可表示为 化简得 拔高 8　解答题　　2025·湖南·中考 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】 见解析 【解析】 （1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【解答】 （1）解：证明：为对角线上的中点，且， 垂直平分， ， 四边形是平行四边形， 是菱形； （2）解：如图： ， ， 设 ， ， ， ， 解得： ， ， ， ， 为等边三角形， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错误原因 订正完成 例 1 利用菱形性质求线段长 例 2 利用菱形性质求面积 例 3 菱形折叠、利用菱形性质求角度 例 4 利用菱形性质、直角三角形斜边中线求线段长 例 5 菱形的性质与判定 例 6 菱形的性质与判定、尺规作图 变式 1 特殊四边形的判定 变式 2 利用菱形性质求周长 变式 3 菱形的性质与判定 变式 4 菱形的判定 变式 5 菱形性质求线段长 变式 6 菱形最值问题 变式 7 菱形的判定 变式 8 菱形的判定 变式 9 菱形的性质与判定 变式 10 菱形的判定 拔高 1 利用菱形性质求线段长 拔高 2 菱形最值问题 拔高 3 菱形性质、中点四边形问题 拔高 4 利用菱形性质求线段长 拔高 5 利用菱形性质求线段长 拔高 6 利用菱形性质求线段长 拔高 7 菱形性质与判定的综合 拔高 8 菱形性质与判定的综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力者挑战；填空题的答案嵌在题目空格中（红色），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 2｜菱形的性质与判定 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 2—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 性质·判定·计算综合 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 ① 本资料共 24 题，全部为各地中考真题（原卷或教辅双源收录），题面未作任何改动；每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，供学生对照订正； ② 填空题的答案已嵌在题面空格中（红色显示），方便教师讲解时即时核对，学生自测时可先遮住红色部分； ③ 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； ④ 本考点是期中计算与证明的主力（★★☆~★★★）：性质记牢、判定用对、计算过关——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 2 保持一致） 考点范围：菱形的定义（平行四边形＋一组邻边相等）、边角性质（四边相等、对角相等）、对角线性质（互相垂直平分、每条平分一组对角）、面积（底×高、对角线乘积的一半）、判定（定义＋邻边相等＋对角线垂直三条路）、对称性，以及勾股定理、斜边中线、中位线三大计算工具在菱形中的综合应用。 一、菱形的定义与边角性质 ◆ 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；反过来，菱形的四条边都相等——定义既是性质也是判定（四条边都相等的四边形是菱形）。 ◆ 边角性质：对边平行且四条边都相等；对角相等、邻角互补（平行四边形性质照常可用）；每条对角线平分一组对角。 二、菱形的对角线与面积 ◆ 对角线：互相垂直且互相平分——垂直把菱形切成四个直角三角形（勾股、斜边中线的用武之地），平分使每条半对角线可由整条取一半。 ◆ 面积两条路：底×高（高由勾股或已知给出）；两条对角线乘积的一半（对角线已知时首选，注意别忘记除以 2）。 三、菱形的判定 ◆ 判定三条路：①四条边都相等的四边形是菱形（定义，适用于一般四边形）；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。后两条前提都是平行四边形——“前提缺失”是判定类假命题的固定陷阱。 菱形性质与判定速记表 项目 内容（边·角） 内容（对角线·面积） 易混点 菱形的性质 四条边都相等；对角相等、邻角互补 对角线互相垂直平分，每条平分一组对角；面积＝底×高＝对角线乘积的一半 与矩形对比：矩形对角线“相等”不“垂直” 判定一（定义） 四条边都相等的四边形是菱形 适用于任何四边形 最稳妥，证明题首选 判定二（邻边） 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 前提：平行四边形 缺前提即假命题 判定三（对角线） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 前提：平行四边形 别与“对角线相等得矩形”混淆 计算三件套 勾股定理：半对角线→边长 斜边中线＝斜边的一半；中位线＝第三边的一半 见“中点＋直角”想斜边中线，见“双中点”想中位线 ◆ 判定速记：从平行四边形出发，加“邻边相等”或“对角线垂直”任一条件即成菱形；从一般四边形出发，先证平行四边形再升级，或直接用定义证四边相等。 四、对称性与斜边中线 ◆ 对称性：2 条对称轴（两条对角线所在直线）＋中心对称；斜边中线：对角线互相垂直把菱形分成四个直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——见“中点＋直角”就想到它。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 性质与计算必考：菱形的边角对角线性质＋勾股、斜边中线、中位线三件套是计算类选择填空的主力，分值 3~10 分； 判定证明是解答题主力：定义与两条判定定理常与全等三角形、勾股定理逆定理串联，先证平行四边形、再升级菱形是标准骨架； 失分集中在三处：判定跳步（前提缺失）、计算链断裂（半对角线取错、面积忘记除以 2）、压轴轴对称最值找不到对称点。 答题方法（三步法） 第一步·定性质：菱形四张牌——四边相等、对角相等、对角线垂直平分、每条对角线平分一组对角，按题意选牌； 第二步·选工具：直角＋已知两边想勾股，中点＋直角想斜边中线，双中点想中位线，对角线已知想“乘积的一半”； 第三步·验前提：判定前先问一句“平行四边形有了吗”——有了加 1 个条件升级，没有先补平行四边形。 注意事项（易错警示） 面积两条路都别忘除以 2：对角线乘积的一半、底×高的高常要自己用勾股求； 斜边中线的前提是“直角三角形＋斜边中点”，两条缺一不可——菱形对角线互相垂直，恰好提供了直角； “对角线互相垂直平分”是菱形独有，矩形只有“平分＋相等”，两条性质最易互换； 轴对称最值先找对称点、把折线拉直成两点之间线段最短——对称轴常是菱形的对角线所在直线。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 边长·周长·面积计算 对角线互相垂直＋勾股；对角线乘积一半或底×高 “菱形的边长/周长/面积为” ★★☆ 斜边中线与中位线 直角三角形斜边中线、中位线 “OE/OH 的长为” ★★☆ 判定与证明 定义与两个判定定理 “求证：四边形×是菱形” ★★☆ 折叠与坐标 折叠性质、对称中心 “点的坐标为” ★★☆ 动点与最值（压轴） 轴对称＋两点之间线段最短 “PE＋PF 的最小值” ★★★ 命题边界：本考点考菱形的定义、性质、判定与计算综合；推理工具仅用平行四边形性质、全等三角形（SAS·ASA·AAS·HL）、勾股定理（含逆定理）、直角三角形斜边中线、中位线、含 30° 角的直角三角形、轴对称——均属九上第一章及之前界内内容，未使用相似、三角比、韦达定理等未学工具。 PART 03 例题精讲（6 题·全部真题） 例题覆盖：对角线角度计算 → 对角线面积 → 勾股求周长 → 斜边中线求 OE → 判定条件辨析 → 勾股逆＋对角线垂直判定。变式覆盖：斜边中线＋勾股 → 斜边中线转移对角线 → 对称中心求坐标 → 平移构造菱形 → 开放加条件 → 辨析改错补条件 → 垂直平分构造菱形 → 对角线平分角＋全等 → 矩形性质证菱形＋面积 → 斜边中线＋中位线证菱形。拔高覆盖：轴对称最值 → 中点＋平行构形算面积 → 中点构造＋全等转移 → 等边＋30°直角边 → 判定＋等边转移 → 垂直平分＋中位线＋方程 → 全等转移证 ME＝NF → 条件选择＋判定证明。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、变 1、变 2 是三件套计算链：对角线垂直平分 → 半对角线 → 勾股 → 边长周长面积，一步都不能跳； ◆ 例 2、例 3 是对角线路线：面积用“乘积的一半”、周长用“勾股乘 4”，两条路都从“互相垂直平分”起步； ◆ 例 4、变 1、变 10 是斜边中线主场：菱形对角线给直角，E 是斜边中点，OE/OH＝斜边的一半； ◆ 例 5、变 5、拔 8 是判定辨析：先问“平行四边形有了吗”，再判断条件升级成什么图形； ◆ 例 6、变 7、变 9 是证明骨架：全等（SAS/ASA/AAS）→ 平行四边形 → 加条件升级菱形； ◆ 变 3、变 4 是坐标平移背景：对称中心把坐标取相反数、平移后用等量关系列方程。 例 1　选择题　　26-27·四川开学 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 例 2　选择题　　26-27同步 如图，已知菱形的边长是8，，则菱形的面积是（        ） A. B. C.32 D.16 例 3　填空题　　26-27·四川月考 如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（        ） A. B. C. D. 例 4　填空题　　2025·四川甘孜州·中考模拟 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为________． 例 5　简答题　　2026·西藏模拟 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，求长． 例 6　解答题　　26-27·广东月考 如图，在中，，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积； （3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． PART 04 变式练习（10 题·全部真题） 与例题同考点、同方法，换图形、换背景、换设问角度，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 与例 4 同练斜边中线：先找直角，再确认“中点在斜边上”； ◆ 变 3、变 4 是坐标与平移背景的菱形：对称中心取相反数、平移后找等量关系； ◆ 变 5、变 6、变 7、变 8 全部围绕判定：加条件、辨析改错、垂直平分、对角线平分角，练“前提意识”； ◆ 变 9、变 10 与例 2、例 6 串联：先证菱形再算面积，证明与计算一气呵成。 变式 1　选择题　　2025·江苏盐城·期末 下列命题中，真命题是（        ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 变式 2　选择题　　26-27·山西月考 2026年“山河之上是生活”山西文旅体验季在晋城王莽岭景区举办，为美化全新投用的卧龙场步行街广场，景区规划修建一处菱形绿化花池用来摆放太行特色花卉．如图，已知这个菱形花池的周长是12米，，则花坛对角线的长为（        ） A.米 B.6米 C.米 D.3米 变式 3　选择题　　2026·海南模拟 如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（     ） A.5 B. C.15 D. 变式 4　选择题　　2025·广东·中考真题 在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF，若四边形 ECDF 为菱形时，则 a 的值为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 变式 5　填空题　　2025·黑龙江·月考 如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．则这个菱形的对角线的长为________．（结果保留根号） 变式 6　填空题　　25-26·辽宁月考 如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是________． 变式 7　填空题　　2025·湖南怀化·中考模拟 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点，，连接，．若 则 __________________________． 变式 8　解答题　　2026·贵州模拟 如图，在矩形中，，，是边上的一点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当为何值时，四边形是菱形？请说明理由． 变式 9　解答题　　25-26·山东月考 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 变式 10　解答题　　26-27·山东开学 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（        ） A. B. C. D. PART 05 拔高巩固（8 题·全部真题） 菱形综合与压轴——期中卷选择填空压轴与解答题后段的来源题型 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 轴对称最值：E 关于对角线 AC 对称到 AB 上的中点 G，PE＋PF 拉直成 GF，最小值＝AD； ◆ 拔 2 中位线定分点：E 是 BC 中点、EF∥CO，F 恰是 BO 中点，矩形 EFOG 面积＝菱形面积的十六分之二； ◆ 拔 3 辅助线突破口（嵌空）：取 DE 中点 H，中位线＋全等把 GF 转移到 AG，等边三角形三线合一＋勾股收尾； ◆ 拔 4 含 30° 直角边：等边三角形给 60°，30° 角对边＝斜边一半定 AE，再勾股收 DE； ◆ 拔 5 周长换边长：设 AB＝AF＝x，周长列方程解 x，菱形对角线平分 120° 得等边三角形； ◆ 拔 6 中位线＋垂直平分＋两次勾股：OF 是中位线、PB＝PE、两次勾股列方程，PQ＝2PO； ◆ 拔 7 角的转移：菱形对角相等减去公共的等腰底角，配 SAS 全等，再用 AAS 转移 ME＝NF； ◆ 拔 8 条件选择（嵌空）：①是 AAS、③是 ASA，②是 SSA 不能判定全等——最大陷阱，选错即全错。 拔高 1　选择题　　25-26·安徽月考 “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的 宽（ ） A. B. C. D. 拔高 2　选择题　　26-27·广东月考 如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（        ） A. B. C. D. 拔高 3　选择题　　25-26·广东期中 如图，菱形的面积为，点，，，分别为，，，的中点，则四边形的面积为（       ） A. B. C. D. 拔高 4　填空题　　26-27·湖南月考 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________．     拔高 5　填空题　　26-27·江苏开学 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为_______． 拔高 6　填空题　　25-26·江苏月考 如图，在菱形中，，垂足为，交于点，．若，则_______________． 拔高 7　解答题　　2026·山东中考 如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为，求线段 的长． 拔高 8　解答题　　2025·湖南·中考 如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错误原因 订正完成 例 1 利用菱形性质求线段长 例 2 利用菱形性质求面积 例 3 菱形折叠、利用菱形性质求角度 例 4 利用菱形性质、直角三角形斜边中线求线段长 例 5 菱形的性质与判定 例 6 菱形的性质与判定、尺规作图 变式 1 特殊四边形的判定 变式 2 利用菱形性质求周长 变式 3 菱形的性质与判定 变式 4 菱形的判定 变式 5 菱形性质求线段长 变式 6 菱形最值问题 变式 7 菱形的判定 变式 8 菱形的判定 变式 9 菱形的性质与判定 变式 10 菱形的判定 拔高 1 利用菱形性质求线段长 拔高 2 菱形最值问题 拔高 3 菱形性质、中点四边形问题 拔高 4 利用菱形性质求线段长 拔高 5 利用菱形性质求线段长 拔高 6 利用菱形性质求线段长 拔高 7 菱形性质与判定的综合 拔高 8 菱形性质与判定的综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力者挑战；填空题的答案嵌在题目空格中（红色），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $