第1章 2 课时1 菱形的性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

2 菱形的性质与判定 课时1　菱形的性质 菱形的边、角性质　　 在菱形ABCD中，已知菱形的周长为36，则边AB的长为(D) A．6 B．7 C．8 D．9 在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，则∠BAC＝70°． (福建中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF. 3题图 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF. 菱形的对角线的性质　　 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(C) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 4题图 　　　 5题图 (常州中考)如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5.若∠ABD＝30°，则AC的长是(B) A．4 B．5 C．6 D．10 如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD上有一点O，点O到菱形一边AB的距离为2，则点O到另一边BC的距离为2． 6题图 　　 7题图 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为24． (北京房山区期末)如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB. (1)求∠DAB和∠CAB的度数； (2)如果AC＝4 ，求DE和AD的长． 8题图 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∠DAC＝∠CAB，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO. ∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝BD， ∴AD＝AB＝DB，∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°，∠CAB＝30°. (2)∵AC＝4，AO＝CO＝2， ∴AB2－BO2＝AO2，且AB＝2OB，故3BO2＝12， ∴BO＝2，∴DB＝4＝AD＝AB，∴AE＝BE＝2， ∴DE＝＝＝2. 菱形的面积　　 (陕西中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，延长CB至点E，延长AD至点F，连接AE，CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为(C) A．9 B． C． D． 9题图 　　　　 10题图 (云南中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是15． 下列命题错误的是(D) A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相平分 C．菱形的对角线互相垂直 D．菱形的四个角都相等 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿AC方向平移，得到△A′B′O′.当点A的对应点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(C) A．6 B．8 C．10 D．12 2题图 已知过菱形钝角的顶点向对角的两边作垂线，垂足恰好落在该边中点，则这个菱形内角中的钝角是(D) A．150° B．135° C．130° D．120° (巴中中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AO＝4，BO＝3，DH⊥AB于点H，DH的长为． 4题图 菱形两对角线之比是5∶3，它们的差是3.2 cm，则菱形的两条对角线的长分别是8 cm和4.8 cm． (福建中考)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为1． 6题图 　　 7题图 (青海中考)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为12． 如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD＝120°，求这个菱形的两条对角线的长． 8题图 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC，AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC， BD＝2BO， ∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2 cm， ∴AO＝AC＝1 cm，∴BO＝＝ cm， ∴BD＝2BO＝2 cm. [核心素养]在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC的延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF.如图①，当E是线段AC的中点时，易证BE＝EF. 9题图①　　　　9题图②　　　　9题图③　　 (1)如图②，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断结论：BE＝EF成立(填“成立”或“不成立”)； (2)如图③，当E是线段AC的延长线上一点，其他条件不变时，结论BE＝EF是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 解：(1)[解析]过点E作EG∥BC交AB于点G. ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°. 又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形， ∴AG＝AE＝GE，∴BG＝EC. ∵CF＝AE，∴GE＝CF. ∵∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠BGE＝∠ECF＝120°， ∴△BGE≌△ECF，∴BE＝EF. (2)结论BE＝EF成立．证明如下： 过点E作EQ∥BC交AB的延长线于点Q. ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵EQ∥BC，∴∠AQE＝∠ABC＝60°. 又∵∠BAC＝60°，∴△AQE是等边三角形， ∴AQ＝AE＝QE，∴BQ＝EC. ∵CF＝AE，∴QE＝CF. 又∵∠ECF＝∠ACB＝60°，∴∠BQE＝∠ECF， ∴△BQE≌△ECF，∴BE＝EF. 学科网（北京）股份有限公司 $