第1章 2 课时2 菱形的判定-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　菱形的判定 根据定义进行菱形的判定　　 如图，在▱ABCD中，AB＝9 cm，BC＝4 cm，将CB沿BA方向平移得到EF(点F在边AB上)，则当BF＝5cm时，四边形 DAFE是菱形，依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 1题图 根据边进行菱形的判定　　 如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E. (1)求证：四边形CDC′E是菱形； (2)若BC＝CD＋AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明． 2题图 (1)证明：根据题意，得CD＝C′D， ∠C′DE＝∠CDE，CE＝C′E. ∵AD∥BC，∴∠C′DE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE， ∴CD＝C′D＝C′E＝CE， ∴四边形CDC′E是菱形． (2)解：当BC＝CD＋AD时，四边形ABED是平行四边形． 证明如下： 由(1)知CE＝CD.∵BC＝CD＋AD，∴BE＝AD. 又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形． 根据对角线进行菱形的判定　　 请从对角线的角度在如图的横线上填写应满足的条件． 3题图 (长春中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：▱ABCD是菱形． 4题图 证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴AB2＝25＝16＋9＝OA2＋OB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 菱形的性质与判定的综合运用　　 如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB，分别以点A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧相交于点C，连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为4cm. 5题图 　　　 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF，下列说法：①若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形；②若△AEF是等边三角形，则∠B＝ 60°；③若平行四边形ABCD是菱形，则∠AEF＝∠AFE.其中说法正确的是①②③．(请填写序号) 6题图 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，连接BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝CFE； (2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 7题图 (1)证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC. 在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE. (2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.又∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形． (3)解：当EB⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由如下： ∵四边形ABCD为菱形，∴∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF. ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°， ∴∠EFD＝90°－∠EDF＝90°－∠CBF＝∠BCD. 下列说法中，正确的是(C) A．一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 (龙东地区中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件AC⊥BD(答案不唯一)，使平行四边形ABCD为菱形． 2题图 　　　 3题图 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝CD，连接AC，BD，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，若梯形ABCD的周长为24，AD＝4，BC＝8，则四边形EFGH的周长为12． 4题图 (教材母题变式)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，连接AC，EF，AF，CE，若EF⊥AC，垂足为O，OA＝OC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②四边形AECF为菱形；③当F为BC的中点时，△ABF是等边三角形．其中正确的结论有①②．(请填写序号) [核心素养]如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P是底边BC上的一个动点，PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交AC于点E. (1)用a表示四边形ADPE的周长：2a； (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由； (3)如果△ABC不是等腰三角形，如图②，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)? 5题图①　　　5题图②　 解：(2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形．理由如下： 如答图①，连接AP.∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE为平行四边形．∵AB＝AC，P为BC的中点，∴∠PAD＝∠PAE.∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE，∴∠PAE＝∠APE，∴EA＝EP，∴四边形ADPE是菱形． 5题答图①　　　　5题答图② (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形．如答图②，连接AP.∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE是平行四边形．∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵AB∥EP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝EP，∴平行四边形ADPE是菱形． (详细答案见《参考答案及解析》P2) 　对角线互相垂直的四边形的面积 方法指导： 对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半． 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，垂足为O.若BD的长为15，AC的长为20，求四边形ABCD的面积．(请写出求解过程) 1题图 解：S四边形ABCD＝S△ADC＋S△BAC＝AC· OD＋AC·OB＝AC·(OD＋ OB)＝AC·BD＝×20×15 ＝150. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝12，则四边形AECF的面积为72． 2题图 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE.∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，OA＝OC. 在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(ASA)，∴OE＝OF.∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $