3.5 点与圆、直线与圆的位置关系题型专练2026-2027学年苏科版九年级上册

苏科版（2024）九年级上册 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 题型专练 【题型1】判断点与圆的位置关系 【典例】如图，已知☉O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是 （      ）  A．点P B．点Q C．点M D．点N 【举一反三1】若⊙O的直径为5 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O__________．（填“上”、“内”、“外”） 【举一反三2】如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10km，如果渔船始终保持10km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【举一反三3】阅读下列材料： 平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离表示为|P1P2|＝，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为＝r，变形可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，我们称其是圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程. 例如：由圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝25可得它的圆心为(1，2)，半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题. (1)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：　　　　　　； (2)若已知☉C的标准方程为(x－2)2＋y2＝22，圆心为C，请判断点A(3，－1)与☉C的位置关系. 【题型2】利用点与圆的位置关系求长度 【典例】如图，☉O半径为5，那么图中到圆心O距离为5的点是 A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【举一反三1】已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三2】一点P到圆上各点的最大距离为8 cm，最小距离为2 cm，则圆的半径是__________ . 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点． (1) 若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值； (2) 若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围． 【题型3】点与圆的位置关系与最值问题 【典例】如图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了如图的机械设备，磨盘半径OM＝20cm，把手MQ＝15cm，点O，M，Q成一直线，用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠PQM大小可变），点P在轨道AB上滑动并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝80cm．磨盘转动过程中，AP的最大值为（　　） A．180cm B．150cm C．200cm D．（10﹣50）cm 【举一反三1】如图，AB为☉O的直径，AB＝10，C，D为☉O上两动点(C，D不与A，B重合)，且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为 （      ）  A．4 B．4.5 C．5 D．6 【举一反三2】如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【举一反三3】如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，8)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__________ . 【举一反三4】(课本P4练习第2题)如图，某海域以点A为圆心、3 km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富.渔船要从点B处前往点A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10 km.如果渔船始终保持10 km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【题型4】判断直线与圆的位置关系 【典例】如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 【举一反三1】（2022秋•河北省石家庄市高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切 【举一反三3】在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 __________． 【举一反三4】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 __________． 【题型5】已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例】⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 【举一反三1】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 __________． 【举一反三2】已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 __________． 【题型6】直线与圆的位置关系与平移 【典例】的圆心到直线的距离为3cm，的半径为，将直线向垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ） A． B． C． D．或 【举一反三1】如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是__________． 【举一反三2】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【题型7】与切线长定理有关的线段的计算 【典例】如图，为的直径，是的切线，切点分别为点，点为线段上的一个动点，连接，已知，，当的值最小时，则的值为（  ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【举一反三2】如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【举一反三3】如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为 __________． 【举一反三4】如图，P是☉O外一点，PA是☉O的切线，A是切点，B是☉O上一点，且PB＝PA，射线PO交☉O于C，D两点. (1)求证：AC平分∠PAB； (2)若☉O的直径是6，AB＝2，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值是多少？ 【题型8】与切线长有关的角的计算 【典例】如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA，CD是☉O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是 （      ）  A．32° B．48° C．60° D．66° 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC=70°，点I是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID=BD.则∠DBC的度数是 A．30° B．35° C．40° D．45° 【举一反三2】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A．5，（90°+∠P） B．7，90°+∠P C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P 【举一反三3】如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B，点C在☉O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是__________ °. 【举一反三4】已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝15 cm，那么△PEF周长是__________ cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝__________． 【举一反三5】如图，PA，PB，CD是☉O的切线，点A，B，E为切点. (1)如果△PCD的周长为10，求PA的长； (2)如果∠P＝40°， ①求∠COD的度数； ②连接AE，BE，求∠AEB. 【举一反三6】如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： (1) PA的长； (2) ∠COD的度数． 【题型9】三角形内切圆和内心 【典例】如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为__________ . 【举一反三2】如图，⊙O为Rt△ABC（∠ACB＝90°）的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝4 cm． （1）∠A的度数； （2）△ABC的面积． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E． （1）求证：⊙P与直线AC相切． （2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径． 【题型10】用切线性质求角度或证角相等 【典例】如图，BC是☉O的切线，点C为切点，连接BO并延长交☉O于点A，连接AC，OC.若∠A=32°，则∠B的度数为 （      ）  A．22° B．26° C．32° D．64° 【举一反三1】如图，MN是☉O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝38°，则∠MON度数为 （      ）  A．38° B．42° C．52° D．62° 【举一反三2】如图，、分别为、的切线，切点为、，连接交、于、．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，⊙O与AB相切于点B，连接AO交⊙O于点E，过点B作BF∥OA交⊙O于点F，连接EF．若∠A＝40°，则∠OEF的度数为 __________． 【举一反三4】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 __________（将正确序号填入） ①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE． 【举一反三5】如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，点C，D均在半圆上，连接AC，BD.过点C作半圆的切线交AB的延长线于点E. (1)证明：∠BAC＝∠BCE； (2)若BC＝CD，BE＝2，CE＝4，求BD的长. 【举一反三6】如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连接AD． （1）求证：AD∥OC． （2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究： 小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值； 小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化． 若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系． 【题型11】用切线性质求边长或证边相等 【典例】工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知☉O的直径就是铁球的直径，AB是☉O的弦，CD切☉O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为 （      ）  A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．24 cm 【举一反三1】如图，DE与⊙O相切于点D，交直径AB的延长线于点E，C为圆上一点，∠ACD＝60°．若DE的长度为3，则BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，BC与☉O相切于点C，线段BO交☉O于点A，过点A作☉O的切线交BC于点D.若CD=3，AB=4，则☉O的半径等于__________ . 【举一反三4】如图，Rt△ABC的斜边AB与☉O相切于点D，☉O与BC交于点E，连接DE，DE∥AC.已知BE＝EC＝，AC＝4，求☉O的直径长. 【题型12】切线的性质与坐标系或函数的综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图象上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（  ）． A．6 B．12 C．24 D．36 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点I（﹣10，10）在第二象限，⊙I与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，⊙I与BC边交于点D，已知点A的坐标是（0，16），则点D的坐标是 __________． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝__________秒时，⊙P与坐标轴相切． 【题型13】用切线的性质求最值 【典例】如图，半径为2的，圆心A在直线上运动，过点O作的一条切线，P为切点，则切线长的最小值为__________． 【举一反三1】如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为__________． 【举一反三2】如图，在中，，，，的半径为，点是斜边上的点，过点作的一条切线（点是切点），则线段的最小值为__________． 【举一反三3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）阅读材料： 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点到直线的距离为__________； 问题2： 已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值； 问题3：如图，设点为问题2中上的任意一点，点、为直线上的两点，且，请求出的最大值和最小值． 【题型14】切线的判定 【典例】如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（　　） A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（　　） A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝AT C．∠B＝55°，∠TAC＝55° D．∠ATC＝∠B 【举一反三2】如图，△ABC中，BC＝5，AC＝4，S△ABC＝，点D从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B运动，过点E作直线EF∥AC交AB于点F，当运动__________ 秒时，直线EF与以点D为圆心，BD为半径的圆相切. 【举一反三3】如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线． 【举一反三4】如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线． 【题型15】切线的性质与判定的综合 【典例】如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（　　）秒时相切． A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5 【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．不确定 【举一反三2】如图，∠AOB＝30°，⊙M的圆心在OA上，半径为4cm，若圆心在射线OA上移动，则当OM＝__________cm时，⊙M与OB相切． 【举一反三3】已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， (1) 求证：DE是⊙O的切线． (2) 当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径． 【举一反三4】如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． (1) 求证：MN是半圆的切线． (2) 求证：FD＝FG． 苏科版（2024）九年级上册 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 题型专练（参考答案） 【题型1】判断点与圆的位置关系 【典例】如图，已知☉O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是 （      ）  A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】D 【解析】∵平面内有一点到圆心O的距离为4，4>3. ∴该点在圆外， ∴点N符合要求. 【举一反三1】若⊙O的直径为5 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O__________．（填“上”、“内”、“外”） 【答案】外 【解析】解：∵⊙O的直径为5 cm， ∴⊙O的半径为2.5 cm， ∵点A到圆心O的距离为3 cm（2.5＜3）， ∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O外． 故答案为：外． 【举一反三2】如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10km，如果渔船始终保持10km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【答案】解：如图， ∵AB＝10km，AC＝3km，∴BC＝7km， 由7÷10＝0.7，知0h到0.7h之间，渔船是安全的；0.7h渔船进入危险区域． 【举一反三3】阅读下列材料： 平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离表示为|P1P2|＝，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为＝r，变形可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，我们称其是圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程. 例如：由圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝25可得它的圆心为(1，2)，半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题. (1)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：　　　　　　； (2)若已知☉C的标准方程为(x－2)2＋y2＝22，圆心为C，请判断点A(3，－1)与☉C的位置关系. 【答案】解　(1)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4. (2)由题意，得圆心为C(2，0)，半径为2， ∵A(3，－1)， ∴AC＝<2，∴点A在☉C内部. 【题型2】利用点与圆的位置关系求长度 【典例】如图，☉O半径为5，那么图中到圆心O距离为5的点是 A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】A 【解析】A项，由图可知点P到圆心O距离为5，故该选项符合题意； B项，由图可知点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项不符合题意； C项，由图可知点M到圆心O距离小于半径5，故该选项不符合题意； D项，由图可知点N到圆心O距离大于半径5，故该选项不符合题意. 【举一反三1】已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】解：∵点P在圆内，且d＝5，∴r＞5， 故选：D． 【举一反三2】一点P到圆上各点的最大距离为8 cm，最小距离为2 cm，则圆的半径是__________ . 【答案】 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点． (1) 若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值； (2) 若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围． 【答案】解：连接OC． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8， ∴AB＝＝＝10， (1) ∵点A，B，C都在⊙O上， ∴R＝OC＝5． (2) ∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外， ∴8＜r＜10． 【题型3】点与圆的位置关系与最值问题 【典例】如图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了如图的机械设备，磨盘半径OM＝20cm，把手MQ＝15cm，点O，M，Q成一直线，用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠PQM大小可变），点P在轨道AB上滑动并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝80cm．磨盘转动过程中，AP的最大值为（　　） A．180cm B．150cm C．200cm D．（10﹣50）cm 【答案】B 【解析】连接OP， 由题意OQ＝35cm，PQ＝135cm，∴100cm≤OP≤170cm，∴OP的最大值为170cm， ∵OA⊥AP，OA＝80cm，∴AP＝＝＝150 cm. 故选：B． 【举一反三1】如图，AB为☉O的直径，AB＝10，C，D为☉O上两动点(C，D不与A，B重合)，且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为 （      ）  A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】C 【解析】如图，延长CE交☉O于点J，连接DJ， ∵CE⊥AB， ∴CE＝EJ， ∵M是CD的中点， ∴CM＝DM， ∴EM＝DJ， ∴当DJ是直径时，EM的值最大， ∵☉O的直径AB＝10， ∴EM的最大值为5. 【举一反三2】如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【答案】B 【举一反三3】如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，8)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__________ . 【答案】 【解析】如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴点C在☉B上，且半径为1， 取OD＝OA＝6，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而当D，B，C三点共线，即点C在DB的延长线与☉B的交点上时，OM最大， ∵OB＝8，OD＝6，∠BOD＝90°， ∴BD＝10， ∴CD＝11， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为. 【举一反三4】(课本P4练习第2题)如图，某海域以点A为圆心、3 km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富.渔船要从点B处前往点A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10 km.如果渔船始终保持10 km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？ 【答案】解　如图， ∵AB=10 km，AC=3 km， ∴BC=7 km， 由7÷10=0.7知0 h到0.7 h之间，渔船是安全的；0.7 h渔船进入危险区域. 【题型4】判断直线与圆的位置关系 【典例】如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 【答案】B 【解析】解：∵PB⊥l于B， ∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切． 故选：B． 【举一反三1】（2022秋•河北省石家庄市高邑县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【解析】解：作CD⊥AB于点D． ∵∠B＝30°，BC＝4 cm， ∴CD＝BC＝2 cm， 即CD等于圆的半径． ∵CD⊥AB， ∴AB与⊙C相切． 故答案为：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　） A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切 【答案】D 【解析】解：过A点作AH⊥BC于H，如图， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH＝BC＝4， 在Rt△ABH中，AH＝＝＝3， ∵AB＝5＞3， ∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意； ∵AC＝5＞3， ∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意； ∴AH＝3，AH⊥BC， ∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为 __________． 【答案】相切 【解析】解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3， ∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径， ∴该圆与y轴的位置关系是相切， 故答案为：相切． 【举一反三4】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是 __________． 【答案】相离 【解析】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∴⊙O的半径为r＝3， ∵圆心O到直线l的距离d＝4， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离； 故答案为：相离． 【题型5】已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例】⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【解析】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【举一反三1】直线l与⊙O相离，且⊙O的半径r等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 __________． 【答案】d＞3 【解析】解：∵直线l与⊙O相离，⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d， ∴d＞3． 【举一反三2】已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 __________． 【答案】0≤d≤6 【解析】解：∵⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点， ∴直线l与⊙O相切或相交， ∴0≤d≤6． 【题型6】直线与圆的位置关系与平移 【典例】的圆心到直线的距离为3cm，的半径为，将直线向垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】解:如图, 当直线向上平移至位置时,平移距离为3-1=2厘米; 当直线向上平移至位置时,平移距离为3+1=4厘米. 故答案选:D. 【举一反三1】如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是__________． 【答案】4≤d≤ 【解析】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【举一反三2】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】解：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 【题型7】与切线长定理有关的线段的计算 【典例】如图，为的直径，是的切线，切点分别为点，点为线段上的一个动点，连接，已知，，当的值最小时，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】延长到使得，则与关于对称，连接与相交于点，此时值最小，连接，两线相交于点，过作于， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故选A． 【举一反三1】如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F， ∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF， ∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25， ∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50. 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点， ∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF， ∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6， ∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝DF， ∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10， ∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4， ∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2. 故选：A． 【举一反三3】如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为 __________． 【答案】18 【解析】解：∵PA、PB、MN分别与⊙O切于A、B、C， ∴PA＝PB，MA＝MC，NB＝NC， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝PM+MC+CN+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝9+9＝18． 【举一反三4】如图，P是☉O外一点，PA是☉O的切线，A是切点，B是☉O上一点，且PB＝PA，射线PO交☉O于C，D两点. (1)求证：AC平分∠PAB； (2)若☉O的直径是6，AB＝2，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值是多少？ 【答案】(1)证明　连接OA，OB，如图1，设∠PAC＝α. ∵∠PAO＝90°， ∴∠OAC＝90°－α， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝90°－α， ∵PA＝PB，OA＝OB， ∴PO垂直平分AB， ∴∠CAB＝90°－∠OCA＝90°－(90°－α)＝α， ∴∠PAC＝∠CAB， ∴AC平分∠PAB. (2)解　如图2， ∵PA是切线， ∴PA⊥OA， ∴∠PAO＝90°， 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO△PBO(SSS)， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB⊥OB， ∴PB是☉O的切线， 设AB交OP于点M， ∵PA，PB是☉O的切线， ∴OP平分∠APB， ∵AC平分∠PAB， ∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆☉C交PC于点H， ∵☉O的直径为6， ∴OA＝3， ∵OP垂直平分AB，AB＝2， ∴AM＝BM＝， ∴OM＝＝2， ∵OC＝3， ∴CH＝CM＝3－2＝1， ∵点D到☉C上各点的最大距离为DH的长度， ∴最大距离DH＝CD＋CH＝6＋1＝7. 【题型8】与切线长有关的角的计算 【典例】如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA，CD是☉O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是 （      ）  A．32° B．48° C．60° D．66° 【答案】D 【解析】∵CA，CD是☉O的切线， ∴CA＝CD， ∵∠ACD＝48°， ∴∠CAD＝∠CDA＝66°， ∵CA⊥AB，AB是直径， ∴∠ADB＝∠CAB＝90°， ∴∠DBA＋∠DAB＝90°，∠CAD＋∠DAB＝90°， ∴∠DBA＝∠CAD＝66°. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC=70°，点I是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID=BD.则∠DBC的度数是 A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解析】连接BI，如图， ∵I是△ABC的内心，∠BAC=70°， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°，∠CBI=∠ABI， ∵ID=BD， ∴∠DBI=∠DIB， ∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠BAD+∠ABI=∠DAC+∠ABI， ∴∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠ABI， ∴∠DBC=∠DAC=35°. 【举一反三2】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A．5，（90°+∠P） B．7，90°+∠P C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P 【答案】C 【解析】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC， ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10； 如图，连接OA、OE、OB． 由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE， ∵AO＝OE＝OB， 易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS）， ∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB＝180°﹣∠P， ∴∠COD＝90°﹣∠P． 故选：C． 【举一反三3】如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B，点C在☉O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是__________ °. 【答案】20 【解析】如图所示，连接OA，OB. ∵PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°. 又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∴∠APB＝360°－∠OAP－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAORt△PBO(HL)， ∴∠OPA＝∠APB＝20°. 【举一反三4】已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝15 cm，那么△PEF周长是__________ cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝__________． 【答案】65°； 暂无 【解析】解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D， ∴PA＝PB＝15 cm，ED＝EA，FD＝DB， ∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝30（cm），即△PEF周长是30 cm； ∵PA、PB为⊙O的切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， 而∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°； 连OD，如图， ∴∠ODE＝∠ODF＝90°， 易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝∠AOB＝65°，则∠EOF＝65°． 【举一反三5】如图，PA，PB，CD是☉O的切线，点A，B，E为切点. (1)如果△PCD的周长为10，求PA的长； (2)如果∠P＝40°， ①求∠COD的度数； ②连接AE，BE，求∠AEB. 【答案】解　(1)∵PA，PB，CD是☉O的切线，点A，B，E为切点， ∴PA＝PB，AC＝EC，ED＝BD. ∵△PCD的周长为10， ∴PC＋CD＋PD＝10， ∴PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋PD＋BD＝PA＋PB＝2PA＝10， ∴PA＝5. (2)①∵∠P＝40°， ∴∠PCD＋∠PDC＝180°－40°＝140°， ∴∠ACD＋∠BDE＝360°－140°＝220°. ∵PA，PB，CD是☉O的切线，点A，B，E为切点， ∴∠ACO＝∠DCO＝∠ACD，∠BDO＝∠EDO＝∠BDE， ∴∠OCD＋∠ODC＝×220°＝110°， ∴∠COD＝180°－110°＝70°. ②∠AEB＝180°－∠AEC－∠BED＝180°－ ＝180°－90°＋∠ACD－90°＋∠BDE＝×220°＝110°. 【举一反三6】如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： (1) PA的长； (2) ∠COD的度数． 【答案】解： (1) ∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA＝CE， 同理DE＝DB，PA＝PB， ∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12， 即PA的长为6； (2) ∵∠P＝60°， ∴∠PCE+∠PDE＝120°， ∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°， ∵CA，CE是圆O的切线， ∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD； 同理：∠ODE＝∠CDB， ∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°， ∴∠COD＝180﹣120°＝60°． 【题型9】三角形内切圆和内心 【典例】如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点， ∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF， ∵BC＝BE+CE＝6， ∴BD+CF＝6， ∵AD＝AF，∠A＝60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF＝DF， ∵AB+AC+BC＝16，BC＝6， ∴AB+AC＝10， ∵BD+CF＝6， ∴AD+AF＝4， ∵AD＝AF＝DF， ∴DF＝AF＝AD＝×4＝2， 故选：A． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为__________ . 【答案】2 【解析】如图，在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H， ∵I是△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD.又BP＝BP， ∴△BFP△BEP(SAS)， ∴PF＝PE， ∴PE＋PC＝PF＋PC≥CF.当C，P，F三点共线时，PE＋PC最小，最小值为CF的长， ∵FH⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°， ∴BH＝BF＝1， ∴FH＝，CH＝BC－BH＝7， ∴CF＝＝2， ∴PE＋PC的最小值为2. 【举一反三2】如图，⊙O为Rt△ABC（∠ACB＝90°）的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝4 cm． （1）∠A的度数； （2）△ABC的面积． 【答案】解：（1）∵⊙O为Rt△ABC（∠ACB＝90°）的内切圆， ∴OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，∴∠OCB＝×90°＝45°， ∴∠OBC＝180°﹣∠OCB﹣∠BOC＝180°﹣45°﹣105°＝30°， ∴∠ABC＝2∠OBC＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°. （2）在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝×4＝2， ∴AC＝BC＝2， ∴△ABC的面积＝•2•2＝2（cm2）． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E． （1）求证：⊙P与直线AC相切． （2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径． 【答案】解：（1）证明：连接PE，过点P作PF⊥AC，垂足为F． ∵⊙P与直线AB相切，切点为E，∴PE⊥AB． 在△ABC中，AB＝AC， ∵D为AC的中点，∴AD平分∠BAC． ∵PF⊥CA，PE⊥AB，∴PE＝PF． ∴⊙P与直线AC相切. （2）连接BP，CP， 设⊙P半径为r，则根据++＝， 其中，根据勾股定理得AD＝4． ∴++＝． ∴r＝1.5． 【题型10】用切线性质求角度或证角相等 【典例】如图，BC是☉O的切线，点C为切点，连接BO并延长交☉O于点A，连接AC，OC.若∠A=32°，则∠B的度数为 （      ）  A．22° B．26° C．32° D．64° 【答案】B 【解析】∵∠A=32°， ∴由圆周角定理得∠BOC=2∠A=2×32°=64°， ∵BC是☉O的切线，点C为切点， ∴∠BCO=90°， ∴∠B=90°-64°=26°. 【举一反三1】如图，MN是☉O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝38°，则∠MON度数为 （      ）  A．38° B．42° C．52° D．62° 【答案】C 【解析】∵MN是☉O的切线，M是切点， ∴半径OM⊥MN， ∴∠OMN＝90°. ∵∠N＝38°， ∴∠MON＝90°－∠N＝52°. 【举一反三2】如图，、分别为、的切线，切点为、，连接交、于、．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵、分别为、的切线，切点为、， ∴半径，半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三3】如图，⊙O与AB相切于点B，连接AO交⊙O于点E，过点B作BF∥OA交⊙O于点F，连接EF．若∠A＝40°，则∠OEF的度数为 __________． 【答案】25° 【解析】连接OB， ∵⊙O与AB相切于点B，∴∠OBA＝90°， ∵∠A＝40°，∴∠BOA＝90°﹣∠A＝50°，∴∠F＝∠BOA＝25°， ∵BF∥OA，∴∠F＝∠OEF＝25°. 【举一反三4】如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论成立的是 __________（将正确序号填入） ①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE． 【解析】①②③ 【举一反三5】如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，点C，D均在半圆上，连接AC，BD.过点C作半圆的切线交AB的延长线于点E. (1)证明：∠BAC＝∠BCE； (2)若BC＝CD，BE＝2，CE＝4，求BD的长. 【答案】(1)证明　如图，连接OC，则OC＝OA， ∴∠BAC＝∠OCA. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CE与☉O相切于点C，交AB的延长线于点E， ∴CE⊥OC于点C， ∴∠OCE＝90°. ∵∠BCE＋∠OCB＝90°，∠OCA＋∠OCB＝90°， ∴∠BCE＝∠OCA， ∴∠BAC＝∠BCE. (2)解　设OC交BD于点F， ∵BC＝CD， ∴\overset{̑}{BC} \mathrm{＝} \overset{̑}{CD}， ∴OC垂直平分BD， ∴FB＝FD，∠OFB＝∠OCE＝90°， ∴FB∥CE. ∵OC2＋CE2＝OE2，且BE＝2，CE＝4，OB＝OC， ∴OC2＋42＝(2＋OC)2， ∴OB＝OC＝3， ∴OE＝3＋2＝5. ∵FB∥CE， ∴△OFB∽△OCE， ∴， ∴FB＝CE＝×4＝， ∴BD＝2FB＝2×， ∴BD的长为. 【举一反三6】如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连接AD． （1）求证：AD∥OC． （2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究： 小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值； 小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化． 若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系． 【答案】解：（1）证明：连接OD，如图所示， ∵BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝∠OBC＝90°， 在Rt△ODC和Rt△OBC中， ∵OD＝OB，OC＝OC，∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）． ∴∠DOC＝∠BOC． ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD． ∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠ODA+∠OAD＝∠DOC+∠BOC，∴∠ODA＝∠DOC， ∴AD∥CO． （2）小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值， ∵∠CDA+∠AOC＝y，∠A＝x，∴∠ODA＝∠OAD＝x，∠ODC+∠ODA+∠AOC＝y， ∵∠ODC＝90°，∴90°+x+∠AOC＝y， ∵AD∥CO，∴∠OAD+∠AOC＝180°，即x+∠AOC＝180°，∴90°+180°＝y， 即y＝270°． ∴小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定值． 【题型11】用切线性质求边长或证边相等 【典例】工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A，B，E三点的截面示意图，已知☉O的直径就是铁球的直径，AB是☉O的弦，CD切☉O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为 （      ）  A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．24 cm 【答案】C 【解析】如图，连接OE，交AB于点F，连接OA， ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD. ∵AC＝BD＝4 cm， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16 cm. ∵CD切☉O于点E， ∴OE⊥CD， ∴OE⊥AB， ∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8(cm)， ∴EF＝BD＝4 cm. 设☉O的半径为r cm，则OA＝r cm，OF＝OE－EF＝(r－4)cm， 在Rt△AOF中，OA2＝AF2＋OF2， ∴r2＝82＋(r－4)2，解得r＝10， ∴这种铁球的直径为20 cm. 【举一反三1】如图，DE与⊙O相切于点D，交直径AB的延长线于点E，C为圆上一点，∠ACD＝60°．若DE的长度为3，则BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】连接OD、BD，如图， ∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°， ∵∠DBA＝∠ACD＝60°，OD＝OB，∴△ODB为等边三角形，∴∠DOB＝60°， 在Rt△ODE中，∵∠DOE＝60°，∴OD＝DE＝×3＝， ∴OE＝2OD＝2，∴BE＝OE﹣OB＝2﹣＝． 故选：B． 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接OC，则OC＝OA＝OB， ∵CD与⊙O相切于点C，∠ACD＝60°，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝∠OCE＝90°， ∴∠A＝∠OCA＝90°﹣∠ACD＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∴∠E＝90°﹣∠BOC＝30°＝∠A，△BOC是等边三角形， ∴EC＝AC＝3，BC＝OB，∠OBC＝60°， ∴∠BCE＝∠OBC﹣∠E＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴BE＝BC＝OB＝OC，∴OE＝2BE， ∴EC＝＝＝BE＝3，∴BE＝. 故选：A． 【举一反三3】如图，BC与☉O相切于点C，线段BO交☉O于点A，过点A作☉O的切线交BC于点D.若CD=3，AB=4，则☉O的半径等于__________ . 【答案】6 【解析】∵DA，CD是☉O的切线， ∴AD=CD=3，∠BCO=∠BAD=90°， ∵AB=4， ∴BD==5， ∴BC=8， ∵OC2+BC2=OB2， ∴OA2+82=(OA+4)2， 解得OA=6， ∴☉O的半径等于6. 【举一反三4】如图，Rt△ABC的斜边AB与☉O相切于点D，☉O与BC交于点E，连接DE，DE∥AC.已知BE＝EC＝，AC＝4，求☉O的直径长. 【答案】解　如图，连接OD，作OF⊥DE于点F，则∠OFD＝90°. ∵DE∥AC，BE＝EC＝，AC＝4， ∴＝1， ∴BD＝DA， ∴DE＝AC＝2， ∴DF＝EF＝DE＝1. ∵Rt△ABC的斜边AB与☉O相切于点D， ∴AB⊥OD于点D，∠DEB＝∠C＝90°， ∴∠ODB＝90°，BD＝， ∴∠DOF＝∠BDE＝90°－∠ODE. ∵＝sin∠DOF＝sin∠BDE＝， ∴， ∴OD＝， ∴2OD＝2， ∴☉O的直径为2. 【题型12】切线的性质与坐标系或函数的综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图象上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（  ）． A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【解析】解：如图，连接，，设的高为h ∵与x轴相切于点B，为的直径， ∴，, ∴、的高为， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵，且反比例函数图象在一象限， ∴． 故选：C． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点I（﹣10，10）在第二象限，⊙I与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，⊙I与BC边交于点D，已知点A的坐标是（0，16），则点D的坐标是 __________． 【答案】（﹣18，4） 【解析】解：如图所示：连接CI，过I作EI⊥AC，过I作FI⊥DC，延长FI交y轴于G， ∵四边形AOBC是矩形，FI⊥DC，延长FI交y轴于G， ∴四边形CFGA是矩形，CF＝GA， ∵I（﹣10，10），A（0，16）， ∴CF＝GA＝16﹣10＝6，F的纵坐标为10， ∵⊙I与x轴、y轴都相切， 所以半径为10，即CI＝10， 在△CFI中，FI＝=，F的横坐标为﹣10﹣8＝﹣18， 则F（﹣18，10）， 因为FI⊥DC， 根据垂径定理，CF＝DF＝6，则D（﹣18，4）． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝__________秒时，⊙P与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【解析】解：设⊙P与坐标轴的切点为D， ∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m）， ∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2， ∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2）， ∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2， ∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°， ①当⊙P与x轴相切时， ∵点D是切点，⊙P的半径是1， ∴PD⊥x轴，PD＝1， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴BD＝PD＝1，PB＝， ∴AP＝AB﹣PB＝， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ∴t＝1； ②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时， ∵PB＝， ∴AP＝AB+PB＝3， ∵⊙P的速度为每秒个单位长度， ∴t＝3； ③当⊙P只与y轴相切时， ∵PC＝， ∴AP＝AC+PC＝5， ∵⊙P的速度为每秒个单位长度， ∴t＝5． 综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 【题型13】用切线的性质求最值 【典例】如图，半径为2的，圆心A在直线上运动，过点O作的一条切线，P为切点，则切线长的最小值为__________． 【答案】 【解析】解：如图，连接OA， 圆心A在直线上运动， 设， 是切线，是半径， ， ，即， 整理，得， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【举一反三1】如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】解：∵直线与坐标轴分别交于点，点， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵与轴相切．点的坐标为， ∴， ∴， ∴要使最小，则要使最小， ∴当最小时，，即此时是等腰直角三角形， 过点P作于E， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三2】如图，在中，，，，的半径为，点是斜边上的点，过点作的一条切线（点是切点），则线段的最小值为__________． 【答案】3 【解析】连接，如图所示 ∵是⊙C的切线， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴当时，线段最短， 在中，，， ∴， ∴， ∵⊙C的半径为 ∴ ∴ ∴的最小值是3； 故答案为：3 【举一反三3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）阅读材料： 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点到直线的距离为__________； 问题2： 已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值； 问题3：如图，设点为问题2中上的任意一点，点、为直线上的两点，且，请求出的最大值和最小值． 【答案】解：问题1：∵， ∴， ∵， ， ； 问题2：直线整理，得， 故， ∵，且与直线相切， ∴点到直线的距离等于半径1， 即， 解得或； 问题3：如图，过点作于点． ∵在中，，，， ∴圆心到直线的距离， ∴上的点到直线的最大距离为， 最小距离为， ∵， ∴的最大值为， 最小值为． 【题型14】切线的判定 【典例】如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（　　） A．∠O+∠P＝90° B．∠O+∠P＝∠OMP C．OM2+PM2＝OP2 D．点N是OP的中点 【答案】D 【解析】解：A．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝90°， ∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线， 故选项A不符合题意； B．∵∠O+∠P+∠OMP＝180°，且∠O+∠P＝∠OMP， ∴∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线， 故选项B不符合题意； C．∵OM2+PM2＝OP2， ∴△OMP是直角三角形，且∠OMP＝90°，可知PM是⊙O的切线， 故选项C不符合题意； D．点N是OP的中点不能得出∠OMP＝90°，即不能判断出PM是⊙O的切线， 故选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（　　） A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝AT C．∠B＝55°，∠TAC＝55° D．∠ATC＝∠B 【答案】D 【解析】A、∵AB＝4，AT＝3，BT＝5，∴AB2+AT2＝BT2，∴△BAT是直角三角形， ∴∠BAT＝90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误； B、∵∠B＝45°，AB＝AT，∴∠T＝45°，∴∠BAT＝90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误； C、∵AB为直径，∴∠BAC＝90°， ∵∠B＝55°，∴∠BAC＝35°， ∵∠TAC＝55°，∴∠BAT＝90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误； D、∠ATC＝∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确． 故选：D． 【举一反三2】如图，△ABC中，BC＝5，AC＝4，S△ABC＝，点D从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B运动，过点E作直线EF∥AC交AB于点F，当运动__________ 秒时，直线EF与以点D为圆心，BD为半径的圆相切. 【答案】 【解析】如图，设运动x秒时，EF与☉D相切，作BM⊥AC于M，设直线EF与☉D相切于点N，连接DN. ∵S△ABC＝AC·BM＝， ∴BM＝. ∵FE∥AC， ∴∠DEN＝∠C， ∵∠DNE＝∠BMC， ∴△DNE∽△BMC， ∴， ∴， ∴DE＝x. ∵BC＝BD＋DE＋EC， ∴5＝x＋x＋2x， ∴x＝. 【举一反三3】如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线． 【答案】证明：∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∵∠A＝∠DBC， ∴∠DBC+∠ABD＝90°， ∴AB⊥BC， ∵BC为⊙O的直径， ∴AB是⊙O的切线． 【举一反三4】如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线． 【答案】证明：连接OC、DC， ∵CA＝CB，∴∠A＝∠B， ∵若D是OA的中点，∴DA＝OD＝OB， ∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°， 在△ADC和△BOC中，，∴△ADC≌△BOC（SAS）， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴∠OCA＝∠OCD+∠ACD＝∠OCD+∠BCO＝∠BCD＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线． 【题型15】切线的性质与判定的综合 【典例】如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（　　）秒时相切． A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5 【答案】C 【解析】当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切， ∵开始时O点到AB的距离为5， ∴当圆向右移动5﹣1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切， ∴t＝（5﹣1）÷2＝2（s）或t＝（5+1）÷2＝3（s）， 即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切． 故选：C． 【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．不确定 【答案】C 【解析】如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x． 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5， ∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3． 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． ∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝4，PM＝8， 在Rt△PBM中，PB＝＝4． 综上所述，BP的长为3或4． 故选：C． 【举一反三2】如图，∠AOB＝30°，⊙M的圆心在OA上，半径为4cm，若圆心在射线OA上移动，则当OM＝__________cm时，⊙M与OB相切． 【答案】8 【解析】设OB与⊙M相切于点C，连接MC， 则MC⊥OB，且MC＝4cm， ∵∠AOB＝30°，∴OM＝2MC＝8cm. 【举一反三3】已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， (1) 求证：DE是⊙O的切线． (2) 当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径． 【答案】(1) 证明：连接OE、OD， 在△AOD和△EOD中， ∴△AOD≌△EOD（SSS）， ∴∠OED＝∠BAC＝90°， ∴DE是⊙O的切线； (2) 解：∵△AOD≌△EOD， ∴∠AOD＝∠EOD， ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， ∵∠AOE＝∠B+∠OEB， ∴∠BEO＝∠EOD， ∴OD∥BC，又AO＝BO， ∴OD＝BC＝5， 由勾股定理得，AO＝＝3， 则⊙O的半径为3． 【举一反三4】如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． (1) 求证：MN是半圆的切线． (2) 求证：FD＝FG． 【答案】证明： (1) 如图，∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°． 又∵∠MAC＝∠ABC， ∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°， ∴MA⊥AB． ∴MN是半圆的切线． (2) ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 而DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°， ∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA， ∴∠3＝∠5， ∴∠1＝∠4， 而∠2＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴FD＝FG． 学科网（北京）股份有限公司 $