精品解析：四川乐山市五通桥区东辰外国语学校2026-2027学年高三上学期9月质量检测数学试卷

乐山东辰外国语学校高2024级高三上学期9月质量检测 数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题：（本题共8个小题，每个小题5分，共40分.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中的一元二次方程得到集合A的元素，再根据并集的定义计算即可. 【详解】由，因式分解得，解得或，因此. 因为，所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时可推出； 当时，，不一定得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 4. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； 对于B，由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； 对于C，要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； 对于D，由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对数函数的值域求解即可. 【详解】的定义域为. 因为，所以函数关于原点对称，排除选项AC. 当时，，，因此，故排除D，选B. 6. 已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数运算性质结合对数函数单调性可判断大小关系. 【详解】注意到，从而， ，又在上单调递增， ，则. 7. 在中，，，，O是的外心，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用余弦定理求得，进而利用正弦定理求得，利用二倍角的正弦求得，进而求得的面积. 【详解】由余弦定理，得， 所以，又因为，，所以， 所以， ， 所以的面积为． 8. 设，若有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围． 【详解】令得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 作出与的函数图象如图所示： 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得或， 有两个不同的零点， 与的函数图象有两个交点， 或，即． 二、多选题（本题共3个小题，每个小题6分，共18分.） 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A项，由等差数列性质：，得到，故A正确； 对于B项，，解得，故B错误； 对于C项，，故C错误； 对于D项，，故 ，故D正确； 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每个小题5分，共15分.） 12. 已知，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简已知条件得，结合同角三角函数的平方关系，及角的取值范围可得，再由诱导公式求解可得. 【详解】根据诱导公式，结合题设，可得. 由同角三角函数基本关系，且， 所以. 又根据诱导公式， 因此. 13. 已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 14. 已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分.） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 故的最小正周期； 【小问2详解】 由，解得， 故的单调递增区间为. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求导函数，计算切线斜率，再计算切点，利用点斜式写切线方程即可； （2）先利用导数判断函数单调性，再结合单调性求函数最值即可. 【小问1详解】 函数，则， ，， 曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 的定义域为，且， 令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有唯一极大值，也是函数的最大值. 又，， 所以，. 17. 已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． （1）求等差数列的公差和等比数列的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）等差数列公差，等比数列公比； （2），。 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）可先由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减求和即可． 【小问1详解】 由题意，可得， 由，可得：， 联立，解得：或 因为， 所以等差数列公差，等比数列公比； 【小问2详解】 由（1）可得，.，故， ， ， 两式相减得： ， 有， 所以． 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 可得， 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且 解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，. 又由，得， 所以 . 由，得，故， 因此面积的取值范围为. 19. 已知， （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的最小值； （3）已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分、讨论函数单调性即可； （2）根据题意得在上恒成立，令，利用导数求出函数最大值的范围，结合即可求解； （3）根据题意，分析的情况，结合，进而可得，且，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 解：，， 又恒成立，所以在上恒成立， 令，， 令，， 则的解为， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又，所以，且， 存在唯一，使得，即， ， 当时，，，单调递增， 时，，，单调递减， 又， ，且 又在上单调递增，时，， ，又， 的最小值为； 【小问3详解】 解：，，且， 当时，，则， 令，， 令，， 当时，，单调递增， 时，，单调递增，时，，单调递减， 又，，， 时，，，单调递增； 当时，有唯一解，设为， 则当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 又时，，时，， 则的简要图形如下： 则时，最多有两个不同的交点，且恒大于零， 函数有三个零点，且成等差数列， ，且， ， 整理得，解得或（舍去）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山东辰外国语学校高2024级高三上学期9月质量检测 数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题：（本题共8个小题，每个小题5分，共40分.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 4. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，O是的外心，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，若有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每个小题6分，共18分.） 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 若，则 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每个小题5分，共15分.） 12. 已知，，则______________. 13. 已知实数，，且，则的最小值是__________． 14. 已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分.） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在的最值． 17. 已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． （1）求等差数列的公差和等比数列的公比； （2）若，求数列的前项和． 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 19. 已知， （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的最小值； （3）已知当时，存在，使得函数有三个零点，且成等差数列，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $