四川省泸州市部分学校2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

高2024级高三上学期第一次质量检测 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A D C B B ABD BD ACD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12． 13．4 14． 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15．（13分） 解：（1）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． （2）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 由于当时，， 设，则，，解得 ； 所以． 16．（15分） 解：（1）由题可得， 因为在与时都取得极值， 所以，解得； （2）由（1）得 ，所以 ， 所以在，处分别取得极大值与极小值， 因为在区间上不单调，所以两个极值点至少有一个在区间内， 故或，， 解得：． 17．（15分） 解：（1）因为时，，所以当时，， 两式相减得：； 又因为， ，所以， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， 从而． （2）由（1）得：数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 根据等比数列的前项和公式得：， 因为， 将代入上式，可得：； 根据对数的性质得：， 所以……， 即． 18．（17分） 解：（1）由题知，，， ， ， ， 则， 故管理时间与土地使用面程线性相关． （2）依题意，完成表格如下：（单位：人） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关， 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． （3）法一：依题意，的可能取值为， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望． 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 则，故． 19．（17分） 解：（1）当时，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即． （2）① 由题意知：对于，恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，，即的最大值为． ② 由①得：， 要证对于，，恒有， 只需证：当时，，即证： 令， 则只需证：在上单调递增； ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ， ，， ，，即， 在上恒成立，在上单调递增， 对于，，恒有． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高三上学期第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知命题：，；则命题为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ） A． B． C． D． 7．要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A．12 B．14 C．16 D．20 8．定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记，为事件，的对立事件，已知，，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则 10．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A． B．展开式中没有常数项 C．展开式所有二项式系数和为 D．展开式所有项的系数和为 11．已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ） A． B． C．的解集为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________． 13．若直线是曲线的一条切线，则__________． 14．已知函数，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）设，，且，求的最小值． （2）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 16．已知：在与时都取得极值． （1）求，的值： （2）若在区间，上不单调，求的取值范围． 17．已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 19．已知． （1）求证：当时，； （2）若对于，恒成立． ①求的最大值； ②当取最大值时，若函数，求证：对于，，，恒有（为自然对数的底）． 学科网（北京）股份有限公司 $