第二章 机械振动 简谐运动的概念以及描述简谐运动 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

第二章 机械振动 简谐运动的概念以及描述简谐运动 知识点1 弹簧振子模型 1.如图所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2.弹簧振子的位移—时间图像 以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线． 1、(多选)下列运动属于机械振动的是(　　) A． 说话时声带的运动 B． 弹簧振子在竖直方向的上下运动 C． 体育课上同学进行25米折返跑 D． 竖直向上抛出的物体的运动 【答案】AB 【解析】机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动． 2、如图所示是一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置，则（　　） A．A→O时，位移为负，速度为正 B．O→B时，位移为正，加速度为负 C．B→O时，位移为负，速度为正 D．O→A时，位移为负，加速度为正 【答案】C 【详解】 位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，加速度方向总是指向平衡位置，而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定，规定向右为正方向，A→O位移为正，速度为负；O→B位移为负，加速度为正；O→A位移为正，加速度为负；B→O位移为负，速度为正。 故选C。 知识点2 简谐运动 1.定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律，这样的振动叫做简谐运动． 2.特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动． 1、关于简谐运动，下列说法正确的是(　　) A． 简谐运动一定是水平方向的运动 B． 所有的振动都可以看作是简谐运动 C． 物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线 D． 只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动 【答案】D 【解析】物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不一定是正弦曲线，C错；若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定做简谐运动，D对． 2、如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x与时间t的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是 A．从t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大 B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处 C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度相同 D．t=0.8s时，振子的速度方向向右 【答案】A 【详解】 在t=0.4s到 t=0.8s 的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，故A正确；在0-0.4s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，所以t=0.2s时，振子不在O点右侧6cm处，故B错误；t=0.4s和 t=1.2s 时，振子的位移完全相反，由a=-kx/m，知加速度完全相反，故C错误；由图象乙知，t=0.8s时，图象的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故D错误．所以A正确，BCD错误． 考法1简谐运动的图像 1．弹簧振子 (1)组成：如图所示，它是由弹簧和小球(振子)组成的，是一个理想模型． (2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略． (3)平衡位置：小球原来静止时的位置． (4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动． (5)全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：A→O→B→O→A，即为一次全振动． (6)位移—时间图像 ①坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像． ②物理意义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律． ③振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线(或余弦曲线)． 2．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动． 【典例1】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是(　　) A．t2时刻振子在A点 B．t2时刻振子在B点 C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小 【答案】AC 【解析】振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误． 【典例2】(多选)如图所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是(　　) A． t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 B． t2时刻振子的位移最大 C． t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 D． 该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的 【答案】BC 【解析】从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C选项正确． 题组A 基础过关练 一、单选题 1．下列运动属于机械振动的是（　 　） ①乒乓球在地面上的自由来回上下运动 ②弹簧振子在竖直方向的上下运动 ③秋千在空中的来回运动 ④竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动 A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】 机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动，ABC错误，D正确。 故选D。 2．下列振动中可以看作一个简谐运动的是（ ）. A．讲话时声带的振动 B．音叉的振动 C．心脏的跳动 D．秋风中树叶的振动 【答案】B 【解析】当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置，它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。 A．讲话时声带的振动没有规律，不是简谐运动。故A不符合题意。 B．音叉的振动，在平衡位置附近做周期性运动。故B符合题意。 C．心脏的跳动没有规律（指振动与受力的规律）。故C不符合题意。 D．秋风中树叶的振动没有规律（指振动与受力的规律）。故D不符合题意。 故选B。 3．水平方向的弹簧振子做简谐运动，某段时间内加速度增大，则该段时间内（　　） A．速度增大，位移增大 B．速度减小，位移增大 C．速度增大，位移减小 D．速度减小，位移减小 【答案】B 【解析】水平方向的弹簧振子做简谐运动，在振动过程中，加速度数值越来越大，说明振子离开平衡位置，位移数值越来越大，速度越来越小，故B正确，ACD错误。 故选B。 4．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向．若振子向右通过O点时开始计时，则其振动图像为（ ） A． B．C．D． 【答案】C 【详解】 由题意可知，以向右为x正方向，振子运动到O点时，位移为零，速度沿正方向最大，所以振子从运动到O点时开始计时振动图像应是正弦曲线。 故选C。 5．物体做下列运动时，加速度和速度方向的关系表述正确的是（　　） A．简谐运动中加速度与速度始终同向 B．竖直上抛运动中加速度与速度始终同向 C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直 D．自由落体运动中加速度与速度方向可以相同、也可以相反 【答案】C 【解析】A．简谐运动中，当振子做加速运动时，加速度和速度方向相同，当做减速运动时，加速度个速度方向相反。故A错误； B．竖直上抛运动中，上升阶段，加速度与速度方向相反。故B错误； C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直，只改变物体的速度方向。故C正确； D．自由落体运动中加速度与速度方向相同，均为竖直向下。故D错误。 故选C。 6．简谐运动是下列哪一种运动（　　） A．匀变速运动 B．匀速直线运动 C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动 【答案】C 【解析】简谐运动的x-t图像是一条正弦曲线，其图像的斜率既不是定值，且随t也并非均匀变化，所以简谐运动是非匀变速运动，故C正确，ABD错误。 故选C。 7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】B 【详解】 在0-0.4s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，所以t=0.2s时，振子不在O点右侧6cm处，故A错误；由图象乙知，t=0.8s时，图象的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故B正确；t=0.4s和 t=1.2s 时，振子的位移完全相反，由知加速度完全相反，故C错误；t=0.4s到 t=0.8s 的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，故D错误． 8．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是 A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 【答案】C 【解析】B．因M、N两点的速度大小相同，则M、N两点关于O点对称，故振子在M、N两点对平衡位置的位移大小相同，方向相反，选项B错误； A．根据F=-kx可知，振子在M、N两点所受弹簧弹力大小相同，方向相反，选项A错误； C．由牛顿第二定律可知振子在M、N两点加速度大小相等，选项C正确； D．从M点到N点，由于弹力的大小不断变化，故振子先做变加速运动，后做变减速运动，选项D错误； 故选C。 9．如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ） A．t=0.8s，振子的速度方向向左 B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处 C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同 D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】A 【解析】A．由图可知时，振子在平衡位置由正位移向负位移方向运动，即向左运动，速度方向向左，A正确； B．振动周期，振幅，由图像函数 可知，当时， 振子在O点右侧处，B错误； C．由图像可知和，振子分别在B、A两点，加速度大小相同，方向相反，C错误； D．到的时间内，振子由最大位移处相平衡位置运动，振子速度越来越大，D错误； 故选A。 10．如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点（t＝0），经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么如图所示的四个振动图像中能正确反映振动情况的图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为经过周期时，振子具有正方向的最大加速度，由简谐运动的特征：可知，时振子位于负向最大位移处，说明t=0时刻振子的位移为0，且向负方向运动，故D正确，ABC错误。 故选D 题组B 能力提升练 一、单选题 1． 如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是 A. 振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B. 振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C. 振子在M、N两点加速度大小相等 D. 从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 【答案】C 【解析】 【详解】B．因M、N两点的速度大小相同，则M、N两点关于O点对称，故振子在M、N两点对平衡位置的位移大小相同，方向相反，选项B错误； A．根据F=-kx可知，振子在M、N两点所受弹簧弹力大小相同，方向相反，选项A错误； C．由牛顿第二定律可知振子在M、N两点加速度大小相等，选项C正确； D．从M点到N点，由于弹力的大小不断变化，故振子先做变加速运动，后做变减速运动，选项D错误； 故选C。 2．如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为l，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．图中的大小等于l B．时间内振子由M向O运动 C．时间内振子由M向O运动 D．时间内与时间内振子运动方向相反 【答案】A【解析】A．结合甲、乙两图可以知道时刻振子的位移为正值且最大，振子位于N，的大小等于l，A正确；B．时间内振子的位移为正值，且逐渐增大，振子由O向N运动，B错误； C．时间内振子的位移为正值，且逐渐减小，振子由N向O运动，C错误； D．时间内振子先从位移为零处沿正方向运动到正的最大位移处，再从正的最大位移处沿负方向运动到位移为零处；时间内振子先从位移为零处沿负方向运动到负的最大位移处，再从负的最大位移处沿正方向运动到位移为零处，D错误。 故选A。 3．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是（ ） A．t =1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 B．t =2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 C．t =3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 D．t =4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 【答案】A 【分析】 根据振动图象判断质点振动方向的方法：沿着时间轴看去，“上坡”段质点向上振动，“下坡”段质点向下振动． 【详解】 AC．在t=1 s和t=3 s时，振子偏离平衡位置最远，速度为零，回复力最大，加速度最大，方向指向平衡位置，A正确，C错误； BD．在t=2 s和t=4 s时，振子位于平衡位置，速度最大，回复力和加速度均为零，BD错误． 4．一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s-t图像如图。以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v-t关系图像为（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】 由s-t图像可知，t=0时刻，质位于正的最大位移处，速度为零，而在时刻，恰好位于平衡位置，速度为负的最大值，在时刻，恰好位于负的最大位移处，速度刚好减为零；在时刻，又恰好回到平衡位置，速度为正的最大值。 故选A。 5．如图所示，下列振动系统不可看成弹簧振子的是（ ） A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统 B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统 C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小球组成的系统 D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统 【答案】D【解析】ABC．根据弹簧振子的理想化条件：弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型， ABC正确； D．人受空气的阻力不可忽略，且人不能看成质点，故该系统不可看成弹簧振子，D错误。 故选D。 6．如图所示，一带正电小球以O点为平衡位置在B、C间做简谐运动，取水平向右为振子相对平衡位置的位移的正方向，当小球运动到B点时突然施加一水平向右的匀强电场，则下列说法正确的是（　　） A．带电小球接下来仍做简谐运动，此时的平衡位置位于O点 B．带电小球接下来仍做简谐运动，此时的平衡位置位于O点左侧 C．带电小球接下来仍做简谐运动，此时的平衡位置位于O点右侧 D．带电小球接下来将不再做简谐运动 【答案】C 【解析】由受力分析可知，加上匀强电场以后小球受力为恒定的电场力与弹簧弹力，此时小球的合力为二者的矢量和，仍然满足 故小球仍做简谐运动，且此模型与竖直状态的弹簧振子类似。同时由于受到向右的电场力，所以振幅将增大，故平衡位置位于O点右侧，ABD错误，C正确。故选C。 7．如图所示，竖直轻质弹性绳上端固定，原长状态时下端在P点。现取来一块带有小孔的薄板，使小孔处在P点，并将绳下端穿过小孔悬挂一个质量为m的小球，小球静止时位于O点。现将小球拉至与O点等高的A点静止释放，B为A点的对称点，不计一切阻力且弹性绳始终遵循胡克定律。则关于小球释放之后的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球将沿直线在A、B之间来回运动 B．小球将沿曲线在A、B之间来回运动 C．小球经过P点正下方时绳子拉力大于mg D．小球的运动不是简谐运动 【答案】A 【解析】设PO=h，则 设某时刻弹性绳与竖直方向的夹角为θ，此时球离开O点的距离为x,则弹力的竖直分量 可知合力方向水平，小球将沿直线在A、B之间来回运动；小球受大小为 满足简谐振动的F=-kx的特征，则球的运动是简谐振动；小球经过P点正下方时绳子拉力等于mg。 故选A。 8、如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，振动过程中，AB未分离，则（　　） A. 平衡位置一定在AB振动过程中速度最大的位置 B. 当B振动到最高点时的加速度一定小于振动到最低点时的加速度 C. 当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力为零 D. 弹簧被压缩了时，系统速度最大 【答案】A 【解析】 【详解】A．根据简谐运动特点，物体经过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故A正确。 B．根据简谐运动特点，经过最高点及最低点位置的加速度大小相等，故B错误。 C．经过平衡位置时，加速度为零，合外力为零，A对B的支持力跟B自身的重力平衡，故此时B对A的压力为Mg，故C错误。 D．系统速度最大值是平衡位置，此时弹簧被压缩了 ，故D错误。 故选A。 知识点3 描述简谐运动的物理量 1．振幅A (1)振幅是标量，在数值上等于振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值． (2)物理意义：表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大． 2．周期和频率 内容 周期 频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间叫做振动的周期 单位时间内物体完成全振动的次数叫做振动的频率 单位 单位为秒(s) 单位为赫兹(Hz) 物理含义 振动周期是表示物体振动快慢的物理量 频率是表示物体振动快慢的物理量 决定因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关 关系式 T＝或f＝ 【即学即练1】关于振幅的各种说法中，正确的是(　　) A． 振幅是振子离开平衡位置的最大距离 B． 在机械振动的过程中，振幅是不断变化的 C． 振幅越大，振动周期越长 D． 在弹簧振子振动一个周期的过程中，振子经过的路程等于振幅的2倍 【答案】A 【解析】振动物体离开平衡位置的最大距离叫振动的振幅，故A正确；在机械振动的过程中，振子离开平衡位置的最大距离叫做振幅，可以不变，故B错误；周期由系统内部因素决定，与振幅无关，故C错误；在弹簧振子振动一个周期的过程中，振子经过的路程等于振幅的4倍，即4A，故D错误，故选A. 2、如图所示，将弹簧振子从平衡位置O向右拉开后4cm放手，让它做简谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为0.1s，求： （1）弹簧振子的振幅、周期、频率. （2）2s内完成全振动的次数. （3）振子从开始运动经过2.5s的位移的大小.此刻正要向哪个方向做怎样的运动？ （4）振子经5s通过的路程. （5）若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6cm后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？ 【答案】（1）4cm，0.4s，2.5Hz （2）5 （3）位移为零，向左做加速度增大的减速运动 （4）2m （5）振幅变为6cm，而周期与频率均不变 【详解】 （1）根据振幅的定义，可知振幅；由于一周期内有4个等时的运动阶段，从最大位移处向平衡位置运动的时间为，所以周期： 频率： （2）因为： 所以内完成了5次全振动 （3）经过： 振子经整数周期恰好回到原来位置（即右侧最大位移处），再经振子正向左经过平衡位置，所以末振子的位移为零，向左做加速度增大的减速运动； （4）由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅： 所以振子经过通过的路程为： （5）由于振子振动的周期与振幅无关，所以振子的振幅变为，而周期与频率均不变。 知识点4 简谐运动的位移公式 x＝Asin_ωt或x＝Acos ωt. 1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移，t表示振动时间． 2.A表示振动质点偏离平衡位置的最大位移，即振幅． 3.ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf. 所以表达式也可写成：x＝Asin t或x＝Asin_2πft. 1、某弹簧振子的振动图象如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开后放开，同时开始计时，则在时（ ） A. 振子正在做加速度减小的加速运动 B. 振子正在做加速度增大减速运动 C. 振子速度方向沿轴正方向 D. 振子的位移一定等于 【答案】B 【解析】 【详解】AB.振子正向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，故A项不合题意，B项符合题意. C.振子正在负的最大位移处运动，则振子的速度方向沿x轴负方向，C项不合题意. D.在0.1～0.2s内振子做变速运动，故振子的位移不等于2cm，D项不合题意. 2、如图所示为一个质点的振动图象，下列说法正确的是（　　） A．质点振动的振幅为10cm B．质点振动的周期为4s C．2s时质点的位移为5cm D．4s时质点的速度方向为方向 【答案】C 【详解】 AB．由振动图像可知，质点振动的振幅为5cm，质点振动的周期为8s，AB错误； C．由振动图像可知，质点的初始位置为，2s时质点的位置为，则质点的位移为C正确； D．由振动图像可知，4s时质点的速度方向为方向，D错误。 故选C。 考法1简谐运动的表达式 1．表达式：简谐运动的表达式可以写成 x＝Asin或x＝Asin 2．表达式中各量的意义 (1)“A”表示简谐运动的“振幅”． (2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率． (3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝. (4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位． (5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相． 说明： 1．相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量． 2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． 【典例1】如图所示为某弹簧振子振动的图像，已知该图像为正弦函数图像，下列描述正确的是（　　） A．该振子的周期为2s B．在1.5~2s时间内，振子的加速度不断增大 C．在3.5s时，振子的速度沿x轴负方向，加速度也沿x轴负方向 D．在3.5~5.5s时间内，振子通过的路程为cm 【答案】C 【解析】A．该振子的周期为4s，A错误； B．在1.5~2s时间内，振子的位移不断减小，则加速度不断减小，B错误； C．在3.5s时，振子的速度和加速度都沿x轴负方向，C正确； D．在3.5~5.5s时间，刚好是半个周期，振子通过的路程为 s=cm D错误。 故选C。 2、已知：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块恰好始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　） A．两物块之间的动摩擦因数为 B．物块振动周期变为原来的2倍 C．物块经过平衡位置时速度为 D．系统的振幅减小 【答案】A 【解析】A．对整体受力分析可知，当位移最大时弹簧弹力提供回复力，根据牛顿第二定律得 kA=2ma 对上面物块的回复力由静摩擦力提供，当位移最大时，最大静摩擦力满足 联立解得动摩擦因数为 故A正确； B．根据周期公式可知，周期与振子质量的平方根成正比，当质量加倍时，周期为原来的倍，故B错误； C．由已知得总机械能为 根据机械能守恒定律得平衡位置时的最大动能为 解得 故C错误； D．由于上方物块处于最大位移时放上去的，而此时速度为零，总机械能为弹簧的弹性势能，在弹性势能和动能的转化过程中，只有弹簧弹力做功，所以系统的总机械能守恒，则振幅不变，故D错误。 故选A。 3、如图，质量分别为M、m的物块水平叠放在光滑水平地面上，一劲度系数为k的轻弹簧与M相连，它们以O为平衡位置在B、C间作简谐振动，m与M间动摩擦因数为，m与M始终相对静止。 （1）在从O向B运动过程中，摩擦力对m做正功还是负功？ （2）若它们的振幅为A，求m在振动过程中受到的最大静摩擦力多大？ （3）要想两物块不发生相对滑动，振幅A最大为多少？ 【答案】（1）从O向B运动过程中，静摩擦力对m做负功；（2）；（3） 【解析】 【分析】 【详解】（1）在从O到B的过程中，物体m受重力、支持力和摩擦力，动能减小，合力做负功；由于重力和支持力不做功，故静摩擦力做负功； （2）设位移为x，整体由牛顿第二定律有 物体m受重力、支持力和静摩擦力，由牛顿第二定律有 联立解得 当x取最大A时，静摩擦力达到最大值，最大值为 （3）当物体达到振幅位置时，静摩擦力最大，要使两物块不发生相对滑动，到达最大位移处时静摩擦力达到最大值，有 解得 4、如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在相距25 cm的B、C两点间做简谐运动．规定从O点向B点运动为正方向．t = 0时，振子从P点以速度v向B点运动；t = 0.2 s时，振子速度第一次变为- v；t = 0.5 s时，振子速度第二次变为- v． (1)求振子振动周期T; (2)求振子在4.0 s内通过的路程; (3)从振子向正方向运动经过O点开始计时，写出振子位移随时间变化关系式. 【答案】(1)T＝1.0s (2)s＝200cm (3)x＝12.5sin 2πt(cm) 【解析】 【分析】在t=0时刻，振子从OB间的P点以速度v向B点运动，经过0.2s它的速度大小第一次与v相同，方向相反，再经过0.5s它的速度大小第二次与v相同，方向与原来相反，质点P运动到关于平衡位置对称的位置，求出周期；由B、C之间的距离得出振幅，从而求出振子在4.0s内通过的路程；结合振子开始计时的位置，写出振子位移表达式． 【详解】（1）根据已知条件分析得：弹簧振子振动周期：． （2）振幅 振子4.0 s内通过的路程 （iii）设简谐振动方程 联立可得x＝12.5sin 2πt(cm) 振动图像为： 【点睛】本题在于关键分析质点P的振动情况，确定P点的运动方向和周期．写振动方程时要抓住三要素：振幅、角频率和初相位． 知识点5 简谐运动的周期性与对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图5所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD. (1)时间的对称 (2)速度的对称 (3)位移的对称 例题1、弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 【答案】D 【详解】 由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。 故选D。 例题2、弹簧振子以点为平衡位置在、两点间做简谐运动，、之间的距离为。某时刻，振子从、间的点以速度向点运动，经振子速度第一次变为，再经过振子速度第二次变为，求： （1）弹簧振子振动的振幅和周期； （2）振子在点时相对平衡位置的位移大小。 【答案】（1），；（2） 【详解】 （1）由题意可知，振幅为A=15cm 根据弹簧振子简谐运动的对称性可得 解得 （2）从平衡位置开始计时，则 角速度为 则 根据题意，可知从O到P运动的时间t=0.3s，则振子在点时相对平衡位置的位移大小 题组A 基础过关练 1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（t＋）cm，则（　　） A．质点的振幅为3m B．质点的振动周期为s C．t＝0.75s时，质点到达距平衡位置最远处 D．质点前2s内的位移为－4.5cm 【答案】D 【解析】AB．从关系式可知A＝3cm，ω＝rad/s，故周期为T＝＝3s 故A、B错误； C．t＝0.75s时，质点的位移为x＝3sin（×＋）cm＝0 质点在平衡位置处。故C错误； D．在t＝0时刻质点的位移x＝3cm，2s时质点的位移x′＝3sin（×2＋）cm＝－1.5cm 故前2s内质点的位移为－4.5cm。故D正确。 故选D。 2．弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 【答案】D 【解析】由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。 故选D。 3．如图所示，一个在光滑水平面内的弹簧振子的平衡位置为，第一次用力把弹簧拉伸到后释放让它振动，第二次把弹簧拉伸到后释放让它振动，，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ） A．1:1 1:1 B．1:1 1:2 C．1:4 1:4 D．1:2 1:2 【答案】B 【解析】弹簧两次到和的伸长量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1:2，而同一振动系统的周期由自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1:1. 故选B。 【易错分析】 学生易误认为简谐运动的周期和振幅有关，振幅越大，周期越长，产生误区的原因是不理解周期的决定因素，周期的大小与振幅无关. 4．如图，O为平衡位置，小球在A、B间做无摩擦往复运动。若OB＝5cm，则小球一次全振动的路程s和振幅A分别为（　　） A．s＝10cm，A＝5cm B．s＝10cm，A＝10cm C．s＝20cm，A＝5cm D．s＝20cm，A＝10cm 【答案】C 【详解】 由题意可知，小球的振幅A=5cm；小球一次全振动的路程s=4A=20cm。 故选C。 5．如图所示，一弹簧振子在B、C两点间做简谐运动，B、C间距为12cm，O是平衡位置，振子从C点第一次运动到B点的时间为0.5s，则下列说法中正确的是（ ） A．该弹簧振子的周期为1s B．该弹簧振子的频率为2Hz C．该弹簧振子的振幅为12cm D．振子从O点出发第一次回到O点的过程就是一次全振动 【答案】A 【详解】 A．振子每次从C运动到B的时间均为0.5s，则可知半个周期为0.5s，所以周期为1s，A正确； B．该弹簧振子的频率为 Hz B错误； C．该弹簧振子的振幅为6cm，C错误； D．振子从O点出发到再次回到O点的过程半个周期，不是一次全振动，D错误。 故选A。 6．一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．在10 s内质点经过的路程是20 cm B．在5 s末，质点的速度为零 C．t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反 D．t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm 【答案】C【解析】A．由题图可知1s的路程为2cm，则10s内质点经过的路程为20cm，A正确，不符合题意； B．5s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确，不符合题意； C．t=1.5s和t=2.5s两个时刻的位移方向相反，但速度方向相同，C错误，符合题意； D．题图对应的函数关系为 代入数据t=1.5s和t=4.5s可知，两个时刻的位移大小相等，都为cm，D正确，不符合题意。 故选C。 7．如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则（　　） A. 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B. 弹簧振子的振动方程为 C. 图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向 D. 弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m 【答案】D 【解析】 【详解】A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误； B．根据题图乙可知，弹簧振子的振幅是A=0. 1m，周期为T=1s，则角速度为 规定向右为正方向，t=0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为，则振子的振动方程为 B错误； C．题图乙中P点时刻振子的速度方向为负，此时刻振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，C错误； D．因周期T=1 s，则 则振子在前2.5s内的路程为 D正确。 故选D。 8．一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示．a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，且b、d关于平衡位置对称，则下列说法正确的是（　　） A．质点做简谐运动的方程为 B．质点在位置b与位置d时相对平衡位置的位移大小相等，方向相同 C．质点在位置b与位置d时速度大小相等，方向相同 D．质点从位置a运动到b和从位置b运动到c的过程中平均速度相同 【答案】C 【解析】A．因为 则质点做简谐运动的方程为 选项A错误； B．质点在位置b与位置d时相对平衡位置的位移大小相等，方向相反，选项B错误； C．根据振动图像可知，质点在位置b与位置d时速度大小相等，方向相同，均沿x轴负向，选项C正确； D．质点从位置a运动到b和从位置b运动到c的位移不变，虽然时间相等，但是平均速度不相同，选项D错误。 故选C。 9．如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（　　） A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置 C．钢球速度为零处为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置 【答案】D 【解析】钢球在竖直方向做简谐运动，平衡位置为重力和弹簧弹力相等的位置，即钢球原来静止的位置为平衡位置，在平衡位置处速度最大，故ABC错误，D正确。 故选D。 10．如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（　　） A．振子的振动周期等于 B．从到，振子正从点向点运动 C．在时刻，振子的位置在点 D．在时刻，振子的加速度为最大 【答案】B 【解析】A．根据振子的振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，可知振子的振动周期等于，故A错误； B．在时刻，正通过平衡位置，从到，振子的速度为正，说明振子正从点向点运动，故B正确； C．从时刻，振子的位移为0，说明位于平衡位置点，故C错误； D．在时刻，振子的位移为0，正通过平衡位置，振子的加速度为零，故D错误。 故选B。 11．物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过2s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2s后物体紧接着又通过B点，已知物体在4s内经过的路程为6cm。则物体运动的周期和振幅分别为（　　） A. 4s，6cm B. 8s，12cm C. 2s，3cm D. 8s，3cm 【答案】D 【解析】 【详解】由简谐振动的规律可知，因为过A、B点速度相等，AB两点一定关于平衡位置O对称，即从O到B的时间为1s，从B到速度为零的位置为1s，故 则 T=8s 因为从A点开始到再次回到B点为半个周期，其路程为6cm，则 2A=6cm 得 A=3cm 故选D。 12．如图所示为一弹簧振子的振动图象，求： （1）该振子简谐运动的表达式； （2）该振子在前的位移是多少；路程是多少。 【答案】（1）；（2）-5cm，方向为负， 【详解】 （1）由图象可知 则 根据振子简谐运动的表达式 代入数据得 x=5sintcm （2）该振子在前99s内，有 所以在前99s内的位移与前内的位移相同，则有 方向为负 一个周期内路程为 故该振子在前99s内的路程是 13．如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为0.5 N/cm。则（　　） A. 在t＝2.75 s时，振子的位移和速度方向相同 B. 在t0时，振子所受的回复力大小为0.5 N C. 在t＝1.5 s时，弹簧振子的弹性势能最大 D. 振子的振动方程为x＝5sin（2πt）cm 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】A．从图乙可知，在t＝2.75 s时，振子正从正的最大位移处向平衡位置运动，位移和速度方向反，A错误； B．在t0时，x=4cm，振子所受的回复力大小为 B错误； C．在t＝1.5 s时，弹簧振子位于最大位移处，弹簧的压缩量最大，弹性势能最大，C正确； D．由图乙可知，振动能周期T=2s， 振子的振动方程为x＝5sin(πt)cm，D错误。 故选C。 题组B 能力提升练 1．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.53 s B．1.4 s C．3 s D．2 s 【答案】A 【解析】如图甲所示： 设O为平衡位置，OB（OC）代表振幅，振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故=0.3s+s=0.4s 解得T=1.6s 如图乙所示： 若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M'与点M关于点O对称，则振子从点M'经过点B到点M'所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2s。振子从点O到点M'、从点M'到点O及从点O到点M所需时间相等，为s 故周期为T=0.5s+s≈0.53s 故选A。 2．质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为，则下列关于质点运动的说法正确的是（　　） A．质点做简谐运动的振幅为 B．质点做简谐运动的周期为 C．在时质点的速度最大 D．在时质点的加速度最大 【答案】C 【详解】 AB．由位移随时间变化的关系式可知质点做简谐运动的振幅为，圆频率，则周期为故AB错误；CD．在时质点的位移为零，说明质点正通过平衡位置，速度最大，加速度最小，故C正确，D错误。 故选C。 3．如图所示，弹簧振子在dc间振动，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动周期为( ) A．0.6s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 【答案】B 【详解】 由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1s，而从b再回到a的最短时间为0.4s，则从b再回到b的最短时间为0.2s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1s，因此振子的振动周期为 T=0.8s，故选B. 4．一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是（　　） A. 若位移为负值，则速度一定为正值 B. 若加速度在增大，则速度一定在减小 C. 若振幅越大，则振子从最大位移处第一次运动到平衡位置所需的时间越长 D. 振子每次通过同一位置时，其速度一定相同 【答案】B 【解析】 【详解】A．简谐运动中的位移指的是振子偏离平衡位置的位移，若位移为负值，则当振子远离平衡位置时速度也为负值，当振子靠近平衡位置时速度为正值，故A错误； B．若加速度在增大，说明振子远离平衡位置，向最大位移处移动，此时振动系统弹性势能逐渐增大，动能逐渐减小，故振子速度一定在减小，故B正确； C．由振子周期表达式可知，振子振动周期与振幅无关，故即使振幅变大，振子从最大位移处第一次运动到平衡位置所需的时间仍然为，保持不变，故C错误 D．振子每次通过同一位置时，其速度大小相等，但是速度方向有两个，故速度不同，故D错误。 故选B。 5．一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则（　　） A．弹簧振子的振幅为0.2m B．弹簧振子的周期为1.25s C．在t=0.2s时，振子的运动速度最大 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin5πt，则B振动的频率比A高 【答案】D 【解析】A．质点做简谐运动，振动方程为x=0.1sin2.5πt 可读出振幅A=0.1m 故A错误； B．由振动方程x=0.1sin2.5πt 可知为，可求出周期 故B错误； C．在t=0.2s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C错误； D．由振动方程x=0.2sin5πt 可知为,可求出周期 又 可求 故B振动的频率比A高，故D正确。 故选D 6．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则（　　） A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm B．甲、乙两个振子的相位差总为π C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值 D．第2秒内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置 【答案】A 【解析】A．根据振动图像，甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm，A正确； B．由于两个振子的周期和频率不同，其相位差亦会变化，B错误； C．前2秒内，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向为负方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向为正方向，C错误； D．第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动，速度方向为负方向，指向平衡位置；乙向负向位移最大处运动，速度方向为负方向，但指向负向最大位移处，D错误。 故选A。 7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度完全相同 C．t=0.8 s时，振子的速度方向向左 D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移和速度都逐渐减小 【答案】C【解析】A．在0~0.4 s内，振子做变减速运动，不是匀速运动，所以t=0.2 s时，振子不在O点右侧6 cm处，故A错误； B．由图像乙知t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度大小相等，方向相反，故B错误； C．t=0.8 s时，图像的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故C正确； D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，故D错误。故选C。 8．一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过4s质点第一次经过M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是（　　） A． B．4s C． D．8s 【答案】C 【解析】若从O点向右运动，可推得从O点运动到最大位移处所用时间为5s，因此振动周期 第三次通过M还需要的时间 若从O点向左运动，可推得从O点运动到右侧最大位移处所用时间为5s，可知 可得振动周期 第三次通过M还需要的时间 故选C。 9．如图所示，弹簧振子以点为平衡位置在、两点之间做简谐运动，、相距。小球运动到点时开始计时，时振子第一次到达点。若弹簧振子偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足，则下列说法正确的是（　　） A．周期 B．振幅 C． D．时，小球的位移为 【答案】C 【详解】 A．小球运动到点时开始计时，时振子第一次到达点历时半个周期，故周期为A错误； B．振幅为偏离平衡位置的最大距离，故振幅为B错误； C．t=0时刻，x=A，代入题中位移表达式可得C正确； D．位移表达式为时，代入数据可得，小球的位移为，D错误。 故选C。 10．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距某时刻振子处于O点正向右运动。经过，振子首次到达B点，取向右为正方向，求： （1）振动的频率f和振幅A； （2）振子在内通过的路程及位移？ 【答案】（1），10cm；（2）110cm， 【详解】 (1)设振幅为A，由题意 cm 所以 cm 振子从O到B所用时间s，为周期T的，所以 s 振子从平衡位置开始运动，在1个周期内通过的路程为4A，故在 内通过的路程 cm s内振子振动了个周期，所以s末振子到达C点，位移大小为cm。 11．如图所示，弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距20cm，弹簧劲度系数，小球质量，取重力加速度。 （1）请写出小球位移x随时间t变化的关系式。 （2）求5s内小球通过的路程及5s末小球位移的大小。 （3）求小球运动至B点时，其所受回复力和弹簧弹力的大小。 【答案】（1）或； （2），；（3）2N， 【解析】（1）根据已知条件，可知小球做简谐运动的振幅为 振动周期 根据，可得 小求经过B点始计时，故当时，，当时，，故 或 （2）从小球经过B处开始计时，则 一个周期内小球通过的路程为 所以5s内通过的路程 小球在5s内运动5个周期，故5s末仍位于B点，所以 （3）小球在竖直面内做简谐运动，其在平衡位置的受力分析如答图所示 设此时弹簧的形变量为，则有 当小球位于B点时，小球的受力如答图所示 此时小球的位移为 弹簧的形变量 根据，可得 回复力的大小为2N；根据，可得 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 简谐运动的概念以及描述简谐运动 知识点1 弹簧振子模型 1.如图所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2.弹簧振子的位移—时间图像 以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线． 1、(多选)下列运动属于机械振动的是(　　) A． 说话时声带的运动 B． 弹簧振子在竖直方向的上下运动 C． 体育课上同学进行25米折返跑 D． 竖直向上抛出的物体的运动 2、如图所示是一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置，则（　　） A．A→O时，位移为负，速度为正 B．O→B时，位移为正，加速度为负 C．B→O时，位移为负，速度为正 D．O→A时，位移为负，加速度为正 知识点2 简谐运动 1.定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律，这样的振动叫做简谐运动． 2.特点：简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动． 1、关于简谐运动，下列说法正确的是(　　) A． 简谐运动一定是水平方向的运动 B． 所有的振动都可以看作是简谐运动 C． 物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线 D． 只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动 2、如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x与时间t的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是 A．从t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大 B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处 C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度相同 D．t=0.8s时，振子的速度方向向右 考法1简谐运动的图像 1．弹簧振子 (1)组成：如图所示，它是由弹簧和小球(振子)组成的，是一个理想模型． (2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略． (3)平衡位置：小球原来静止时的位置． (4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动． (5)全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：A→O→B→O→A，即为一次全振动． (6)位移—时间图像 ①坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像． ②物理意义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律． ③振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线(或余弦曲线)． 2．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动． 【典例1】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是(　　) A． t2时刻振子在A点 B． t2时刻振子在B点 C． 在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D． 在t3～t4时间内，振子的位移在减小 【典例2】(多选)如图所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是(　　) A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 B．t2时刻振子的位移最大 C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动 D．该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的 题组A 基础过关练 1．下列运动属于机械振动的是（　 　） ①乒乓球在地面上的自由来回上下运动 ②弹簧振子在竖直方向的上下运动 ③秋千在空中的来回运动 ④竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动 A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】 机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动，ABC错误，D正确。 故选D。 2．下列振动中可以看作一个简谐运动的是（ ）. A．讲话时声带的振动 B．音叉的振动 C．心脏的跳动 D．秋风中树叶的振动 3．水平方向的弹簧振子做简谐运动，某段时间内加速度增大，则该段时间内（　　） A．速度增大，位移增大 B．速度减小，位移增大 C．速度增大，位移减小 D．速度减小，位移减小 4．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向．若振子向右通过O点时开始计时，则其振动图像为（ ） A． B．C．D． 5．物体做下列运动时，加速度和速度方向的关系表述正确的是（　　） A．简谐运动中加速度与速度始终同向 B．竖直上抛运动中加速度与速度始终同向 C．匀速圆周运动中加速度方向与速度方向始终垂直 D．自由落体运动中加速度与速度方向可以相同、也可以相反 6．简谐运动是下列哪一种运动（　　） A．匀变速运动 B．匀速直线运动 C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动 7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 8．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是 A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 9．如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ） A．t=0.8s，振子的速度方向向左 B．t=0.2s时，振子在O点右侧6cm处 C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度完全相同 D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小 10．如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，把向右的方向选为正方向，以某时刻作为计时零点（t＝0），经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么如图所示的四个振动图像中能正确反映振动情况的图像是（　　） A. B. C. D. 题组B 能力提升练 一、单选题 1． 如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是 A. 振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B. 振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C. 振子在M、N两点加速度大小相等 D. 从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 2．如图甲所示，弹簧振子运动的最左端M和最右端N距离平衡位置的距离均为l，规定水平向右为正方向，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．图中的大小等于l B．时间内振子由M向O运动 C．时间内振子由M向O运动 D．时间内与时间内振子运动方向相反 3．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图所示，下列描述正确的是（ ） A．t =1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 B．t =2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 C．t =3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 D．t =4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 4．一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s-t图像如图。以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v-t关系图像为（　　） A．B．C． D． 5．如图所示，下列振动系统不可看成弹簧振子的是（ ） A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统 B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统 C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小球组成的系统 D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统 6．如图所示，一带正电小球以O点为平衡位置在B、C间做简谐运动，取水平向右为振子相对平衡位置的位移的正方向，当小球运动到B点时突然施加一水平向右的匀强电场，则下列说法正确的是（　　） A．带电小球接下来仍做简谐运动，此时的平衡位置位于O点 B．带电小球接下来仍做简谐运动，此时的平衡位置位于O点左侧 C．带电小球接下来仍做简谐运动，此时的平衡位置位于O点右侧 D．带电小球接下来将不再做简谐运动 7．如图所示，竖直轻质弹性绳上端固定，原长状态时下端在P点。现取来一块带有小孔的薄板，使小孔处在P点，并将绳下端穿过小孔悬挂一个质量为m的小球，小球静止时位于O点。现将小球拉至与O点等高的A点静止释放，B为A点的对称点，不计一切阻力且弹性绳始终遵循胡克定律。则关于小球释放之后的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球将沿直线在A、B之间来回运动 B．小球将沿曲线在A、B之间来回运动 C．小球经过P点正下方时绳子拉力大于mg D．小球的运动不是简谐运动 8、如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，振动过程中，AB未分离，则（　　） A. 平衡位置一定在AB振动过程中速度最大的位置 B. 当B振动到最高点时的加速度一定小于振动到最低点时的加速度 C. 当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力为零 D. 弹簧被压缩了时，系统速度最大 知识点3 描述简谐运动的物理量 1．振幅A (1)振幅是标量，在数值上等于振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值． (2)物理意义：表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大． 2．周期和频率 内容 周期 频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间叫做振动的周期 单位时间内物体完成全振动的次数叫做振动的频率 单位 单位为秒(s) 单位为赫兹(Hz) 物理含义 振动周期是表示物体振动快慢的物理量 频率是表示物体振动快慢的物理量 决定因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关 关系式 T＝或f＝ 【即学即练1】关于振幅的各种说法中，正确的是(　　) A． 振幅是振子离开平衡位置的最大距离 B． 在机械振动的过程中，振幅是不断变化的 C． 振幅越大，振动周期越长 D． 在弹簧振子振动一个周期的过程中，振子经过的路程等于振幅的2倍 2、如图所示，将弹簧振子从平衡位置O向右拉开后4cm放手，让它做简谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为0.1s，求： （1）弹簧振子的振幅、周期、频率. （2）2s内完成全振动的次数. （3）振子从开始运动经过2.5s的位移的大小.此刻正要向哪个方向做怎样的运动？ （4）振子经5s通过的路程. （5）若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6cm后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？ 知识点4 简谐运动的位移公式 x＝Asin_ωt或x＝Acos ωt. 1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移，t表示振动时间． 2.A表示振动质点偏离平衡位置的最大位移，即振幅． 3.ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf. 所以表达式也可写成：x＝Asin t或x＝Asin_2πft. 1、某弹簧振子的振动图象如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开后放开，同时开始计时，则在时（ ） A. 振子正在做加速度减小的加速运动 B. 振子正在做加速度增大减速运动 C. 振子速度方向沿轴正方向 D. 振子的位移一定等于 2、如图所示为一个质点的振动图象，下列说法正确的是（　　） A．质点振动的振幅为10cm B．质点振动的周期为4s C．2s时质点的位移为5cm D．4s时质点的速度方向为方向 考法1简谐运动的表达式 1．表达式：简谐运动的表达式可以写成 x＝Asin或x＝Asin 2．表达式中各量的意义 (1)“A”表示简谐运动的“振幅”． (2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率． (3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝. (4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位． (5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相． 说明： 1．相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量． 2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． 【典例1】如图所示为某弹簧振子振动的图像，已知该图像为正弦函数图像，下列描述正确的是（　　） A．该振子的周期为2s B．在1.5~2s时间内，振子的加速度不断增大 C．在3.5s时，振子的速度沿x轴负方向，加速度也沿x轴负方向 D．在3.5~5.5s时间内，振子通过的路程为cm 2、已知：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块恰好始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　） A．两物块之间的动摩擦因数为 B．物块振动周期变为原来的2倍 C．物块经过平衡位置时速度为 D．系统的振幅减小 3、如图，质量分别为M、m的物块水平叠放在光滑水平地面上，一劲度系数为k的轻弹簧与M相连，它们以O为平衡位置在B、C间作简谐振动，m与M间动摩擦因数为，m与M始终相对静止。 （1）在从O向B运动过程中，摩擦力对m做正功还是负功？ （2）若它们的振幅为A，求m在振动过程中受到的最大静摩擦力多大？ （3）要想两物块不发生相对滑动，振幅A最大为多少？ 4、如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在相距25 cm的B、C两点间做简谐运动．规定从O点向B点运动为正方向．t = 0时，振子从P点以速度v向B点运动；t = 0.2 s时，振子速度第一次变为- v；t = 0.5 s时，振子速度第二次变为- v． (1)求振子振动周期T; (2)求振子在4.0 s内通过的路程; (3)从振子向正方向运动经过O点开始计时，写出振子位移随时间变化关系式. 知识点5 简谐运动的周期性与对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图5所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD. (1)时间的对称 (2)速度的对称 (3)位移的对称 例题1、弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 例题2、弹簧振子以点为平衡位置在、两点间做简谐运动，、之间的距离为。某时刻，振子从、间的点以速度向点运动，经振子速度第一次变为，再经过振子速度第二次变为，求： （1）弹簧振子振动的振幅和周期； （2）振子在点时相对平衡位置的位移大小。 题组A 基础过关练 1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（t＋）cm，则（　　） A．质点的振幅为3m B．质点的振动周期为s C．t＝0.75s时，质点到达距平衡位置最远处 D．质点前2s内的位移为－4.5cm 2．弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（　　） A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 3．如图所示，一个在光滑水平面内的弹簧振子的平衡位置为，第一次用力把弹簧拉伸到后释放让它振动，第二次把弹簧拉伸到后释放让它振动，，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ） A．1:1 1:1 B．1:1 1:2 C．1:4 1:4 D．1:2 1:2 4．如图，O为平衡位置，小球在A、B间做无摩擦往复运动。若OB＝5cm，则小球一次全振动的路程s和振幅A分别为（　　） A．s＝10cm，A＝5cm B．s＝10cm，A＝10cm C．s＝20cm，A＝5cm D．s＝20cm，A＝10cm 5．如图所示，一弹簧振子在B、C两点间做简谐运动，B、C间距为12cm，O是平衡位置，振子从C点第一次运动到B点的时间为0.5s，则下列说法中正确的是（ ） A．该弹簧振子的周期为1s B．该弹簧振子的频率为2Hz C．该弹簧振子的振幅为12cm D．振子从O点出发第一次回到O点的过程就是一次全振动 6．一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．在10 s内质点经过的路程是20 cm B．在5 s末，质点的速度为零 C．t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反 D．t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm 7．如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则（　　） A. 弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B. 弹簧振子的振动方程为 C. 图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向 D. 弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m 8．一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示．a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，且b、d关于平衡位置对称，则下列说法正确的是（　　） A．质点做简谐运动的方程为 B．质点在位置b与位置d时相对平衡位置的位移大小相等，方向相同 C．质点在位置b与位置d时速度大小相等，方向相同 D．质点从位置a运动到b和从位置b运动到c的过程中平均速度相同 9．如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（　　） A．钢球运动的最高处为平衡位置 B．钢球运动的最低处为平衡位置 C．钢球速度为零处为平衡位置 D．钢球原来静止时的位置为平衡位置 10．如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（　　） A．振子的振动周期等于 B．从到，振子正从点向点运动 C．在时刻，振子的位置在点 D．在时刻，振子的加速度为最大 11．物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过2s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2s后物体紧接着又通过B点，已知物体在4s内经过的路程为6cm。则物体运动的周期和振幅分别为（　　） A. 4s，6cm B. 8s，12cm C. 2s，3cm D. 8s，3cm 12．如图所示为一弹簧振子的振动图象，求： （1）该振子简谐运动的表达式； （2）该振子在前的位移是多少；路程是多少。 13．如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为0.5 N/cm。则（　　） A. 在t＝2.75 s时，振子的位移和速度方向相同 B. 在t0时，振子所受的回复力大小为0.5 N C. 在t＝1.5 s时，弹簧振子的弹性势能最大 D. 振子的振动方程为x＝5sin（2πt）cm 题组B 能力提升练 1．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.53 s B．1.4 s C．3 s D．2 s 2．质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为，则下列关于质点运动的说法正确的是（　　） A．质点做简谐运动的振幅为 B．质点做简谐运动的周期为 C．在时质点的速度最大 D．在时质点的加速度最大 3．如图所示，弹簧振子在dc间振动，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动周期为( ) A．0.6s B．0.8s C．1.0s D．1.2s 4．一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是（　　） A. 若位移为负值，则速度一定为正值 B. 若加速度在增大，则速度一定在减小 C. 若振幅越大，则振子从最大位移处第一次运动到平衡位置所需的时间越长 D. 振子每次通过同一位置时，其速度一定相同 5．一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则（　　） A．弹簧振子的振幅为0.2m B．弹簧振子的周期为1.25s C．在t=0.2s时，振子的运动速度最大 D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin5πt，则B振动的频率比A高 6．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则（　　） A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm B．甲、乙两个振子的相位差总为π C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值 D．第2秒内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置 7．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．t=0.6 s和t=1.4 s时，振子的速度完全相同 C．t=0.8 s时，振子的速度方向向左 D．t=0.4 s到t=0.8 s的时间内，振子的位移和速度都逐渐减小 8．一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时，经过4s质点第一次经过M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间可能是（　　） A． B．4s C． D．8s 9．如图所示，弹簧振子以点为平衡位置在、两点之间做简谐运动，、相距。小球运动到点时开始计时，时振子第一次到达点。若弹簧振子偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足，则下列说法正确的是（　　） A．周期 B．振幅 C． D．时，小球的位移为 10．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距某时刻振子处于O点正向右运动。经过，振子首次到达B点，取向右为正方向，求： （1）振动的频率f和振幅A； （2）振子在内通过的路程及位移？ 11．如图所示，弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距20cm，弹簧劲度系数，小球质量，取重力加速度。 （1）请写出小球位移x随时间t变化的关系式。 （2）求5s内小球通过的路程及5s末小球位移的大小。 （3）求小球运动至B点时，其所受回复力和弹簧弹力的大小。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $