2.3 简谐运动的回复力和能量（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐运动的回复力和能量核心知识点，在上一节位移、速度、加速度基础上，系统梳理回复力的定义、方向及F=-kx规律，明确简谐运动的加速度与位移关系，同时整合能量转化与守恒内容，搭建完整知识支架。 资料以弹簧振子情景导入驱动问题探究，通过表格归纳物理量变化培养科学思维，结合木筷振动、蹦极运动等实例强化物理观念，课中助力教师高效授课，课后作业覆盖选择计算，帮助学生查漏补缺。

2.3简谐运动的回复力和能量 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（2个知识归纳+5个题型）+课后作业】 情景导入 如图所示为水平方向的弹簧振子模型。除了上一节提到的位移、速度、加速度，要想准确描述弹簧振子的运动，还需要引入哪些物理量呢？ （1）当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？ 【答案】弹簧的弹力使振子回到平衡位置。 （2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？ 【答案】弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。 知识归纳 【知识点1 简谐运动的回复力】 1．回复力： （1）定义：使振动物体回到平衡位置的力。 （2）方向：总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置。 （3）回复力的性质：回复力是根据力的作用效果命名的，可能由物体所受的几个力的合力或某一个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力。 竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力。 2．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 （1）简谐运动的回复力公式：。其中k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。其值由振动系统决定，与振幅无关。“﹣”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 （2）简谐运动的加速度：由回复力公式及牛顿第二定律可知：，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 （3）物体做简谐运动的判断方法 方法一：简谐运动的回复力满足； 方法二：简谐运动的振动图像是正弦曲线。 【例1】如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，浮在较大的装有水的杯中，沿竖直方向做简谐运动。已知木筷和铁丝的总重力为G，在运动过程中，木筷受浮力的最大值为F0，木筷受浮力的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】木筷静止在平衡位置时，浮力等于总重力，即平衡位置浮力满足 根据简谐运动的对称性，两个最大位移处的加速度大小相等，最低点浸入深度最大，浮力最大为，合力向上满足 最高点浸入深度最小，浮力最小为，合力向下满足 联立解得 故选C。 【变式1-1】如图所示，轻质弹簧下挂重为300N的物体A时伸长了3cm，再挂上重为200N的物体B时又伸长了2cm。现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则（弹簧始终在弹性限度内）（　　） A．最大回复力为500N，振幅为5cm B．最大回复力为200N，振幅为2cm C．只减小A的质量，振动的振幅不变，周期变小 D．只减小B的质量，振动的振幅不变，周期变小 【答案】B 【详解】AB．设烧断前弹簧的伸长为，系统静止时由胡克定律和二力平衡条件有 解得 只挂物体时，设新的平衡位置对应弹簧伸长为，由胡克定律和二力平衡条件有 解得，烧断瞬间物体静止，故其相对新平衡位置的最大位移为 由胡克定律得，故A错误，B正确。 C．在烧断时的初始位置保持不变的情况下，若只减小物体的质量，弹簧的实际伸长未变而新的平衡位置上移，因此振幅增大。对物体，取竖直向下为正方向，设相对平衡位置的位移为，由牛顿第二定律得 简谐运动有 由上述两式得 由角速度与周期的关系得 质量减小后周期变小，但振幅已增大，故C错误； D．烧断后物体不属于振动系统，因此只减小其质量不改变物体的振幅和周期，故D错误。 故选B。 【变式1-2】通过手机上的智能程序，可以测出物体运动的加速度和位移的变化关系。如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧下端连着一质量为m的手机，手机下方用轻质细线连接质量为2m的小球，最初整个系统处于静止状态。取重力加速度大小为g，某时刻剪断细线，在手机向上加速运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．剪断细线瞬间，手机加速度大小为g B．剪断细线瞬间，小球加速度大小为2g C．手机速度最大时，弹簧处于压缩状态 D．手机运动到最高点时，弹簧处于压缩状态 【答案】D 【详解】AB．剪断细线之前，细线的拉力为 弹簧的弹力大小为 剪断细线瞬间，弹簧的弹力不变，则手机加速度大小为 小球加速度大小为，故AB错误； C．手机速度最大时，加速度为零，此时弹簧弹力与重力等大反向，即弹簧处于伸长状态，故C错误； D．根据简谐运动的对称性可知，手机在最低点和最高点的加速度大小相等，方向相反，即手机运动到最高点时加速度大小为2g，方向竖直向下，即 所以弹簧弹力大小为 方向竖直向下，弹簧处于压缩状态，故D正确。 故选D。 【变式1-3】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧上端固定，下端用细线连接质量均为m的物体A和B处于静止状态，重力加速度为g，不计空气阻力。时刻烧断细线，时刻A上升到最高点。取向下为正方向，A的振动表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】烧断细线之前，A和B的受力分析如图所示。 根据受力平衡得， 解得 烧断细线后，消失，A向上做简谐运动，此时位于最低点，弹簧形变量为 平衡位置为A挂在弹簧上静止时的位置，此时 弹簧形变量为 A做简谐运动时，最低点、平衡位置和弹簧原长位置之间的关系如图所示。 可得振幅 时，A位于最低点，时刻A上升到最高点，从最低点到最高点的时间为周期，即 可得 简谐运动的圆频率为 取向下为正方向，初始时A在最大位移处，所以的振动表达式为 故选A。 【例2】如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点（），过周期，小物块具有正方向的最大速度。下列图像不能正确反映小物块振动情况的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题干可知，时，小物块具有正向的最大速度，则时，小物块应处于负向最大位移处，此时，速度为0，回复力和加速度正向最大。 因此内，小物块从负向最大位移处向平衡位置运动，速度从0增至正向最大，回复力和加速度从正向最大减小至0 故图为形式，图为形式，图和图均为形式。 本题选不正确的，故选D。 【变式2-1】一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝做小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化规律（振动图像x-t）如图所示。取竖直向上为正方向，已知小鸟只在重力和树枝对小鸟作用力的作用下运动，则下列说法正确的是（　　） A．在时刻，小鸟速度最大，方向竖直向上 B．在和时刻，树枝对小鸟作用力大小一样 C．在0到时间内，树枝对小鸟作用力一定是越来越小 D．在到时间内，树枝对小鸟作用力一定是越来越大 【答案】D 【详解】A．在时刻，小鸟经过平衡位置向下运动，速度最大，方向竖直向下，故A错误； B．在和时刻，小鸟分别位于正向和负向最大位移处，加速度大小相等，方向指向平衡位置，设此时小鸟的加速度大小为a，树枝对小鸟的作用力大小分别为和，则时刻，若树枝对小鸟的作用力向上，则有 得 若树枝对小鸟的作用力向下，则有 得 在时刻，树枝对小鸟的作用力向上，则有 得 故一定小于，故B错误； C．在0时刻，小鸟位于平衡位置，所受合力为零，故树枝对小鸟的作用力向上，大小等于重力，在0到时间内，小鸟向上运动，若小鸟振幅较小，则树枝对小鸟的作用力一直减小，若小鸟振幅较大，则树枝对小鸟的作用力先减小后增大，故C错误； D．在到时间内，小鸟由平衡位置向下运动，树枝对小鸟作用力一定是越来越大，故D正确。 故选D。 【变式2-2】一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（　　） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 【答案】B 【详解】A．由图读出振幅为 周期为T=4s 则频率，故A错误； B．t=4s时质点在正向最大位移处，由，知质点具有负方向最大加速度，故B正确； C．由 由图可知t=1s时质点处于平衡位置，则从到的时间内质点的路程为，故C错误； D．该质点的振动方程为，故D错误。 故选B。 【变式2-3】如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿水平方向在、间做简谐运动，从平衡位置开始计时。取向方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．时，小球位移为 C．时，小球由向运动 D．小球在、位置，动能为零，加速度也为零 【答案】C 【详解】A．由图乙，小球振动周期为，故A错误； B．由图乙，小球振幅，角频率 从平衡位置开始计时，取向方向为正，振动图像为正弦函数，故可设振动方程为 时，，故B错误； C．由图乙，时，小球从正向最大位移处向平衡位置移动，即由向运动，故C正确； D．在、位置，处于最大位移处，速度为零，动能为零，但回复力最大，加速度最大，不为零，故D错误。 故选C。 【知识点2 简谐运动的能量】 1．弹簧振子做简谐运动时的各物理量的变化情况： 如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。 （1）从A到B的运动过程中，弹簧振子的各个物理量如何变化？ 振子的运动 A点 A→O O点 O→A′ A′点 A′→O O点 O→A A点 位移 方向 向右 向右 —— 向左 向左 向左 —— 向右 向右 大小 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 回复力 方向 向左 向左 —— 向右 向右 向右 —— 向左 向左 大小 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 加速度 方向 向左 向左 —— 向右 向右 向右 —— 向左 向左 大小 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 速度 方向 —— 向左 向左 向左 —— 向右 向右 向右 —— 大小 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 振子的动能 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 弹簧的势能 最大 减小 零 增大 最大 减小 零 增大 最大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 不变 不变 不变 不变 不变 （2）如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？ 振子回到平衡位置的动能增大，振动系统的机械能增大，振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。 （3）实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 实际的振动系统，能量逐渐减小。理想化的弹簧振动系统，能量不变。 2．简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。 位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 3．弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 　　 （1）简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒。而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 在最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0。 在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大。 （2）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （3）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （4）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能；位移增大，动能转化为势能。 【例3】如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上。当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则（　　） A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．弹簧振子速度增大时，物块的加速度也增加 C．弹簧振子远离平衡位置时，振动系统的动能增大 D．弹簧振子远离平衡位置时，振动系统的动能减小 【答案】D 【详解】A．弹簧振子经过平衡位置时速度最大。此时物块的重力势能为零，但弹簧仍有伸长量，弹性势能不为零，因此振动系统的势能不为零，故A错误； B．弹簧振子速度增大时正靠近平衡位置，离平衡位置的距离减小；简谐运动中加速度大小与离平衡位置的距离成正比，因此加速度大小减小，故B错误； CD．弹簧振子远离平衡位置时，回复力方向与速度方向相反，速度减小，振动系统的动能随之减小，故C错误，D正确。 故选D。 【变式3-1】将蹦极运动简化为直线运动。如图所示，轻质弹性绳的一端固定在点，另一端和人（视为质点）相连。人从点静止下落，经点时绳恰好伸直，到达最低点后向上运动。假设整个过程弹性绳的弹力与伸长量成正比，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．人运动到中点处速度最大 B．人在点的加速度大于在点的加速度 C．从点到点的过程中，人一直处于失重状态 D．从点到点的过程中，重力势能与弹性势能之和先减小后增大 【答案】D 【详解】A．人速度最大的位置在合力为零处，即重力与弹力平衡的位置（设为点），此时（为到的距离）。 若人从点静止释放，根据简谐运动对称性，最低点应在点下方处； 现人从点下落，到达点已有速度，故最低点在点下方大于处，即。 中点处的伸长量，此时弹力，合力向上，人处于减速阶段，故速度最大位置在中点上方，故A错误； B．在点，绳刚伸直，弹力为零，人只受重力，加速度 在点，由A项分析可知伸长量，弹力 根据牛顿第二定律 可得 即，所以点加速度大于点加速度，故B错误； C．从点到点，人先做加速度减小的加速运动，加速度向下，人处于失重状态，过平衡位置后做加速度增大的减速运动，加速度向上，人处于超重状态，故人先处于失重状态后处于超重状态，故C错误； D．对于人、地球和弹性绳组成的系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒，从点到点的过程中，人的动能先增大后减小，所以重力势能与弹性势能之和先减小后增大，故D正确。 故选D。 【变式3-2】如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一重物（可视为质点），重物静止时处于B位置。现用手托重物使之缓慢上升至A位置，此时弹簧长度恢复原长。之后放手，使重物从静止开始下落，沿竖直方向在A位置和C位置（图中未画出）之间做往复运动。重物运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。关于上述过程（不计空气阻力），下列说法中正确的是（　　） A．重物在C位置时，其加速度的大小小于当地重力加速度的值 B．在重物从A位置下落到C位置的过程中，重力的冲量大小大于弹簧弹力的冲量大小 C．在手托重物从B位置缓慢上升到A位置的过程中，手对重物所做的功等于重物往复运动过程中的具有的最大动能 D．在重物从A位置到B位置和从B位置到C位置的两个过程中，弹簧弹力对重物所做功相同 【答案】C 【详解】A．因A、C位置关于B点对称，而A点时的加速度为g，则根据简谐振动的规律可知，重物在C位置时，其加速度的数值等于当地重力加速度的值g，故A错误； B．在重物从A位置下落到C位置的过程中，动量的变化为零，可知合外力冲量为零，即重力的冲量等于弹簧弹力的冲量，故B错误； C．在手托重物从B位置缓慢上升到A位置，再到重物返回B位置过程中，重力做功为零，弹力做功为零，故手对重物所做的功等于重物往复运动过程中所具有的最大动能，故C正确； D．根据胡克定律，有，作图如下： 图中图线与x轴包围的面积表示弹力的功，故在重物从A位置到B位置和从B位置到C位置的两个过程中，弹簧弹力对重物所做功之比是1：3，故D错误。 故选C。 【变式3-3】如图所示，弹簧上端固接一个质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则在小球振动过中（重力加速度大小为g）（　　） A．小球最大动能应等于mgA B．小球在最低点时受到的弹力等于 2mg C．弹簧最大弹性势能等于 mgA D．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 【答案】B 【详解】A．小球在平衡位置时，有 则有 在平衡位置时动能最大，有 故A错误； BC．从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能 最低点加速度大小等于最高点加速度大小，据牛顿第二定律可知 得F=2mg 故B正确，C错误； D．因为运动过程中弹簧与小球组成的系统机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，故D错误； 故选B。 【例4】如图所示：轻质弹簧的一端固定，另一端连接一物块，在光滑水平面上做简谐运动，物块在振动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块通过平衡位置时，弹簧的弹性势能最大 B．物块通过平衡位置时，物块的动能最大 C．物块运动到最大位移处时，物块的加速度为零 D．物块运动到最大位移处时，物块的速度最大 【答案】B 【详解】AB．物块在光滑水平面上做简谐运动，通过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹簧的弹性势能为零，物块所受合力为零，速度最大，动能最大，故A错误，B正确； CD．物块运动到最大位移处时，弹簧形变量最大，加速度最大，速度为零，故CD错误。 故选B。 【变式4-1】如图所示，弹簧振子在水平方向上两点间做简谐运动，点为小球静止时球心所在的位置，关于振子小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．从点向点运动，动能逐渐增大 B．从点向点运动，加速度越来越小 C．从点向点运动，位移越来越小 D．从点向点运动，弹性势能逐渐增大 【答案】B 【详解】A．小球从O点向B点运动过程中，做减速运动，速度逐渐减小，动能逐渐减小，故A错误； B．小球从A点向O点运动过程中，位移逐渐减小，根据可知，回复力逐渐减小，根据可知，加速度逐渐减小，故B正确； C．小球从O点向A点运动过程中，位移逐渐增大，故C错误； D．小球从B点向A点运动过程中，弹簧的形变量先减小后增大，则弹性势能先减小后增大，故D错误。 故选B。 【变式4-2】如图所示，光滑斜面上的轻弹簧一端固定，另一端与小球相连。弹簧处于原长时小球位于O点（O在A、B之间）。现用外力将小球沿斜面从O点缓慢推至A点，推力做功W。撤去推力，小球从A点出发经O点到达B点时速度为零，则此过程中，小球（　　） A．在O点时的动能最大 B．在O点时的动能一定大于W C．在A点时，弹簧的弹性势能可能大于W D．在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W 【答案】D 【详解】A．小球位于平衡位置时合外力为零，速度最大，动能最大，依题意如图所示，平衡位置应该在O点下方，故A错误； B．小球从O点出发再次回到O点时，弹力和重力均不做功，由动能定理可知，小球在O点时的动能等于W，故B错误； C．小球从O到A的过程中，推力做的功等于弹簧和小球系统机械能的增加量，故在A点时，弹簧弹性势能小于W，故C错误； D．由O到A再到B的过程中，由动能定理有 以O点所在水平面为参考平面，由功能关系有， 解得 故在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W，故D正确。 故选D。 【变式4-3】如图所示，物块A放置在物块B上，物块B与弹簧相连，它们一起在光滑固定斜面上做简谐运动，振动过程中物块A和物块B之间始终无相对运动，下列说法正确的是（　　） A．振动过程中，物块A、物块B组成的系统机械能守恒 B．振动过程中，物块A的机械能不守恒 C．振动过程中，物块A一直克服摩擦力做功 D．研究物块B的运动，弹簧弹力提供了物块B做简谐运动的回复力 【答案】B 【详解】A．振动过程中，物块A、B组成的系统机械能与弹簧的弹性势能互相转化，物块A、物块B组成的系统机械能不守恒，A错误； B．物块A受到的静摩擦力在做功，物块A的机械能不守恒，B正确； C．物块A从最低点向上运动的过程摩擦力做正功，C错误； D．研究物块B的运动，弹簧弹力、重力沿斜面方向的分力及静摩擦力的合力充当了物块B做简谐运动的回复力，D错误。 故选B。 【例5】某一弹簧振子的振动图象如图所示，则由图像判断下列说法正确的是（　　） A．前2s走过的路程是 B．第2s内振子在向着平衡位置运动，x减小，v增大，a减小，不变 C．振子周期，第2s和第4s时振子的位移相等，运动方向相同 D．在1.5s和2.5s这两个时刻振子系统的动能、势能相同，相位也相同 【答案】B 【详解】A．由图可知振幅，前内振子经过的路程为，故A错误； B．在第内，振子从正向最大位移处向平衡位置运动，位移减小，速度大小增大；由 可知加速度大小减小，不变，故B正确； C．由图可知周期，和时振子的位移均为0，但运动方向相反，故C错误； D．和时振子的位移大小相等、速度大小相等，故动能和势能分别相同；两时刻相差，相位差为 相位不同，故D错误。 故选B。 【变式5-1】如图所示，固定的斜面体表面粗糙，顶端连接一轻质弹簧，弹簧另一端系一物块。开始时物块在外力作用下保持静止，弹簧处于压缩状态，撤去外力后物块恰好运动到点速度为零，此过程物块的速度、动量、加速度、动能大小随时间变化的图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．下滑过程中，由牛顿第二定律得 因为弹簧弹力不断发生变化，则加速度发生变化，结合图像斜率表示加速度，可知图像不为直线，故A错误； B．图像的切线斜率表示合外力，物块受到的合外力先变小后变大，故B正确； CD．在恒力与弹簧弹力作用下的运动方程等价于简谐运动，物块向下运动过程中，重力的沿斜面向下分力、滑动摩擦力均为恒力，所以物块向下的运动可以看成简谐运动的一部分，则、图像都应该是左右对称的，故CD错误。 故选B。 【变式5-2】图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 【答案】C 【详解】A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力与物块A的重力的合力提供，故A错误； B．物块A做简谐运动，在平衡位置运动的速度最大，离平衡位置越远运动速度越小，时物块A的位移比时大；时和时，物块A的位移均为负值，方向相同，故B错误； C．只有当物块A从平衡位置或最大位移处开始运动时，0.2s内经过的路程才为10cm，从其余位置开始运动时0.2s内路程不一定为10cm，故C正确； D．运动过程中头部与弹簧系统机械能守恒，内，头部向上运动，头部的重力势能增大，头部的动能与弹簧的弹性势能之和减小，故D错误。 故选C。 【变式5-3】如图甲所示，两木块（均可视为质点）间连接一力传感器（厚度不计，质量不计），力传感器可以实时测量两木块间的作用力，下方木块与竖直轻弹簧连接。先用力将木块竖直下压，时刻从最低点释放木块，力传感器记录两木块之间的作用力大小F随时间t变化的情况如图乙所示。已知每块木块的质量均为m，弹簧劲度系数为k。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度大小为g，以木块释放位置所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（　　） A．木块的速度最大时，弹簧处于原长 B．木块做简谐运动的振幅为 C．弹簧的最大形变量为 D．两木块的最大重力势能为 【答案】C 【详解】A．两木块一起做简谐运动，速度最大时，合力为0，此时弹簧处于压缩状态，长度小于原长，故A错误； D．在最低点时，对整体由牛顿第二定律 在最高点时，对整体由牛顿第二定律 则弹簧上升的总高度为 最大重力势能为，故D错误； B．木块做简谐运动的振幅为，故B错误。 C．简谐运动平衡位置处弹簧形变量为 故弹簧的最大形变量为，故C正确。 故选C。 一、单选题（共6道） 1．如图所示，弹簧人公仔固定在车的水平台面上，静止在图示位置A，先用手竖直向下压公仔的头部，使之缓慢下降至某一位置B，之后迅速放手，公仔头部沿竖直方向上升到另一位置C时速度为零。此过程弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力及弹簧质量，则振动过程中（　　） A．公仔头部在C点处的加速度为0 B．公仔头部在B点处的速度为0 C．公仔头部在B、C点处的速度不相同 D．公仔头部在B、C点处的加速度相同 【答案】B 【详解】ABC．公仔头部做简谐运动，在B、C点处，位移最大，加速度最大，速度均为0，故AC错误，B正确； D．加速度指向平衡位置，则公仔头部在B、C点处的加速度方向不同，故D错误； 故选B。 2．如图所示，一轻弹簧上端固定在光滑斜面上，下端栓接一小球，将小球沿斜面拉下一段距离，然后松开．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，沿斜面向上为正方向．则小球所受弹簧弹力F与小球相对于平衡位置的位移x变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球在平衡位置时满足 以平衡位置为坐标原点，沿斜面向上为x轴正向，则当小球从平衡位置向上拉x时，有 图像为B。 故选B。 3．如图为某鱼漂示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按，使水位到达M点。松手后，鱼漂会上下运动，水位在M、N之间来回移动，且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．MN之间的距离即鱼漂的振幅 B．水位到达M点时，鱼漂具有向下的加速度 C．水位到达N点时，鱼漂的位移向下最大 D．水位在O点时，鱼漂的速度最大 【答案】D 【详解】A‌．振子偏离平衡位置的最大位移叫振幅，鱼漂做简谐运动的平衡位置是O点，所以鱼漂的振幅等于OM的长度或者ON的长度，而不是MN之间的距离，故A错误； B．水位到达M点时，鱼漂向下的位移最大。根据简谐运动的回复力特点，此时鱼漂受到向上的回复力，所以具有向上的加速度，故B错误； C．水位到达N点时，鱼漂向上运动到达最大位移处，所以鱼漂的位移方向向上且最大，故C错误； D．O点是鱼漂做简谐振动的平衡位置，根据简谐振动的特点，在平衡位置时速度最大，所以水位在O点时，鱼漂的速度最大，故D正确。 故选D。 4．如图所示，质量为的物块放置在质量为的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为，振动过程中、之间无相对运动，设弹簧的劲度 系数为、物块和木板之间滑动摩擦因数为，（　　） A．若时刻和时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则 一定等于的整数倍 B．若，则在 时刻和时刻弹簧的长度一定相同 C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D．当整体离开平衡位置的位移为时，物块与木板间摩擦力的大小等于 【答案】D 【详解】设位移为，对整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律，则有 对物体受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二定律，则有 解得 A．若时刻和时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于关于平衡位置对称的位置上，但不一定等于的整数倍。故A错误； B．若，则在 时刻和时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于关于平衡位置对称的位置上，弹簧的长度不一定相同。故B错误； C．由开始时的分析可知，研究木板的运动，弹簧弹力与对木板的摩擦力的合力提供回复力。故C错误。 D．由上述结论 可知，当整体离开平衡位置的位移为 时，物块与木板间摩擦力的大小等于 故D正确。 故选D。 5．一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点（　　） A．在0.015s时，速度与加速度都为方向 B．在0.01~0.03s内，速度与加速度先沿负方向后沿正方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小 C．在第8个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大 D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零 【答案】D 【详解】A．在时，图像斜率为负，速度沿负方向；质点位移为负，简谐运动的加速度指向平衡位置，沿正方向，二者方向相反，故A错误； B．在内，质点先沿负方向运动，后沿正方向运动；但在该过程中位移始终为负，加速度始终沿正方向，并非先沿负方向后沿正方向，故B错误； C．由图可知振动周期为，第8个对应，与的运动状态相同。此时位移和速度均沿正方向，但质点向正向最大位移运动，位移增大而速度大小减小，并非二者都不断增大，故C错误； D．由前述计算得频率为 由瞬时功率公式 回复力在平衡位置为零，速度在最大位移处为零，所以每个周期内回复力的瞬时功率有4次为零。每内包含25个周期，零功率次数为，故D正确。 故选D。 6．质量均为的小球和由劲度系数为的轻质弹簧连接，小球由不可伸长的细线悬挂在点，系统处于静止状态，如图所示。将小球竖直下拉长度后由静止释放。重力加速度大小为，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球后（　　） A．若小球做简谐运动，则其振幅为 B．若小球做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动 D．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动 【答案】D 【详解】AB．若小球做简谐运动，则小球初始静止时的位置即为平衡位置，将小球竖直下拉长度后由静止释放，则长度就是小球偏离平衡位置的最大位移，即小球做简谐运动的振幅为，故AB错误； CD．小球初始静止时受力平衡，设此时弹簧的伸长量为，则有 小球要始终做简谐运动，必须保证小球始终静止。假设小球运动到最高点时，细线对小球的拉力恰好为零，即此时弹簧处于压缩状态，且弹簧的弹力大小为 此时对应的小球的下拉长度最大，根据回复力的对称性有 解得 因此当且仅当（即）时，小球才能始终做简谐运动，故C错误，D正确。 故选D。 二、多选题（共4道） 7．某质点做简谐运动的振动图像如图所示，则（　　） A．质点的振动周期为 B．时质点所受的回复力为0 C．时质点向平衡位置运动 D．时质点速度为0 【答案】AC 【详解】A．根据题图可知质点的振动周期为，故A正确； B．根据题图可知时质点处于正向位移最大处，则所受的回复力最大，故B错误； C．根据题图可知时质点向平衡位置运动，故C正确； D．根据题图可知时质点处于平衡位置，速度最大，故D错误。 故选AC。 8．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它经过平衡位置O在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 【答案】AB 【详解】A．小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为0，动能最大，位移为0，加速度为0，故A正确； B．在A、B处，位移最大，动能为0，加速度最大，故B正确； C．回复力始终指向O，故由，回复力做正功，由，回复力做负功，故C错误； D．由，动能增加，弹性势能减少，但振子振动的总能量不变，故D错误。 故选AB。 9．如图所示，一弹簧振子可沿竖直方向做简谐运动，O为平衡位置，现将弹簧振子从平衡位置向下拉一段距离ΔL，释放后振子在M、N间振动，且MN=40 cm，振子第一次由M到N的时间为0.2 s，不计一切阻力，下列说法中正确的是（　　） A．振子在振动过程中，若速度大小相同，则弹簧的长度一定相等 B．振子在振动过程中，系统的机械能守恒 C．从释放振子开始计时，振子在0.1 s内动能逐渐增大 D．从释放振子开始计时，振子在0.6 s末偏离平衡位置的位移大小为10 cm 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，振子做简谐运动，由简谐运动的对称性可知，振子在振动过程中，若速度大小相同，则振子要么位于同一位置，要么位于关于平衡位置对称的位置处，所以弹簧的长度不一定相等，故A错误； B．振子在振动过程中，只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故B正确； C．由简谐运动的对称性可知，振子振动的周期为T=2×0.2 s=0.4 s，可知，故从释放振子开始计时，在0.1 s内振子从最大位移M处运动至平衡位置O处，其速度逐渐增大，动能逐渐增大，故C正确； D．由可知，从释放振子开始计时，振子在0.6 s末位于最大位移处N点，偏离平衡位置的位移大小为，故D错误。 故选BC。 10．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是（　　） A．若t时刻和时刻振动物体运动速度、位移的大小相等、方向相反，则一定等于的奇数倍 B．若t时刻和时刻振动物体运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于T的整数倍 C．若，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等 D．若，则在t时刻和时刻弹簧的长度可能相等 【答案】AD 【详解】AB. 若，则在和两时刻振动物体必在关于平衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻，振动物体的位移、速度均大小相等、方向相反。反过来，若在和两时刻振动物体位移和速度均大小相等、方向相反，则一定等于的奇数倍，即，如果仅仅是振动物体的速度在和两时刻大小相等，方向相反，那么不能得出，更不能得出。若和两时刻，振动物体位移和速度均相同，则，但仅根据两时刻振动物体的位移相同，不能得出，A正确，B错误； CD. 若，则在t时刻和时刻弹簧的位移大小相等方向相反，只有当振子在平衡位置时弹簧刚好处于原长，此时两个时刻弹簧长度才相等，如果是竖直弹簧振子，则弹簧长度不相等，C错误，D正确。 故选AD。 三、计算（共5道） 11．下图为一弹簧振子的振动图像，在A、B、C、D、E、F各时刻中： （1）哪些时刻振动物体有最大动能？ （2）哪些时刻振动物体有相同速度？ （3）哪些时刻振子有最大势能？ （4）哪些时刻振动物体有相同的最大加速度？ 【答案】（1）B、D、F时刻振动物体有最大动能。 （2）A、C、E时刻振动物体速度相同，B、F时刻振动物体速度相同。 （3）A、C、E时刻振子有最大势能。 （4）A、E时刻振动物体有相同的最大加速度。 【详解】（1）由题图知，B、D、F时刻振动物体在平衡位置，振动物体的速率最大，此时具有最大动能。 （2）A、C、E时刻振动物体在最大位移处，振子具有最大势能，此时振动物体的速度为0；B、F时刻振动物体向负方向运动，速度大小相等，方向相同。 （3）A、C、E时刻振动物体在最大位移处，振子具有最大形变量，振子具有最大势能。 （4）A、E两时刻振动物体的位移相同，C时刻振动物体的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反，由回复力知识可知，C时刻与A、E时刻振动物体受力大小相等、方向相反，故A、E两时刻加速度大小相等、方向相同，具有相同的最大加速度。 12．某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求： （1）振子在6s内通过的路程和位移的大小； （2）振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值； （3）写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。 【答案】（1），0 （2） （3），， 【详解】（1）弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，可知振幅为 时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，可知 可知，振子在6s内通过的路程为 6s后回到原来位置，可知位移的大小为零。 （2）振子在B点的位移大小是在距O点10cm处P点的2倍，根据可知振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值为 （3）周期为，可知角速度为，时，振子处于O点向左运动，可知弹簧振子做简谐运动的方程为 振子从释放运动第一次到P点时有 可得 可得 可知振子从释放运动到P的最短时间为 13．如图所示，质量为M的托盘内放有质量为m的物体，开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于原长，现放手让托盘向下运动，求 （1）系统做简谐运动的振幅； （2）当系统运动到最低点时的加速度和物体对托盘的压力。 【答案】（1） （2）（方向竖直向上），（方向竖直向下） 【详解】（1）根据简谐运动的特点有 解得； （2）刚释放托盘时，托盘的加速度为g，方向竖直向下，根据简谐运动对称性可知当托盘运动到最低点时，加速度大小也为g，方向竖直向上，此时对物体受力分析 根据牛顿第三定律，可知物体对托盘的压力，方向竖直向下。 14．如图所示，在倾角为的固定斜面（斜面光滑且足够长）上端用原长、劲度系数为的轻弹簧连接物体B，A放在B上，两物体质量均为1kg，将物体从弹簧长度为25cm处由静止释放，A、B两物体在以后的运动中一直没有发生相对滑动。g取。 （1）求物体处于平衡位置时弹簧的长度； （2）从动力学角度证明物体做简谐运动； （3）求当沿斜面向上运动到弹簧长度为28cm时物体A所受摩擦力的大小和方向； （4）求整个运动过程中物体A所受摩擦力的最大值。 【答案】（1） （2）取沿斜面向下为正方向，设两物体整体相对平衡位置的位移为，平衡时弹簧伸长量为，两物体始终保持相对静止。由平衡条件得 物体偏离平衡位置时，弹簧伸长量为，由整体受力得 由牛顿第二定律得 加速度方向总与位移方向相反，且大小与位移大小成正比，故两物体整体做简谐运动。 （3），沿接触面向上 （4） 【详解】（1）两物体质量均为，取两物体整体为研究对象。由平衡条件得 解得 故平衡位置时弹簧长度为 （2）取沿斜面向下为正方向，设两物体整体相对平衡位置的位移为，平衡时弹簧伸长量为，两物体始终保持相对静止。由平衡条件得 物体偏离平衡位置时，弹簧伸长量为，由整体受力得 由牛顿第二定律得 加速度方向总与位移方向相反，且大小与位移大小成正比，故两物体整体做简谐运动。 （3）弹簧的伸长量为，由胡克定律得弹簧弹力为 取沿斜面向上为正方向，对物体，整体由牛顿第二定律得 对物体由牛顿第二定律得 代入上述加速度得 摩擦力沿接触面向上。 （4）由小问1可知平衡位置时弹簧长度为，从处由静止释放时，振幅为 故整个运动中弹簧伸长量满足， 取沿斜面向上为正方向，对物体，整体由牛顿第二定律得 对物体由牛顿第二定律得 将上述两式联立得 随增大而增大，故在时取得最大值， 15．如图所示，竖直放置的劲度系数为k的轻弹簧下端固定在水平地面上，上端连接质量为m的小物块A，另一质量也为m的小物块B叠放在A上，O点为弹簧原长位置，系统开始处于静止状态。现对B施加一个竖直向上的恒力F，使两小物块由静止开始向上运动。已知重力加速度大小为g，弹簧的弹性势能为（x为弹簧的形变量）。 （1）为使小物块A、B恰能在初始位置脱离，求F的最小值。 （2）为使小物块A、B一起做简谐运动，求F的最大值。 【答案】（1） （2） 【详解】（1）施加恒力F之前，系统处于平衡状态，有 施加恒力F后若A、B刚好在初始位置脱离，对A、B整体根据牛顿第二定律有 对物块B有 解得 （2）为使小物块A、B一起做简谐运动，当F最大时两物块在最高点恰好不分离。设两物块在最低点时加速度大小为，在最高点加速度大小为 在最高点，对物块B由牛顿第二定律有 在最低点，对两物块A、B整体由牛顿第二定律有 根据简谐运动的对称性有 解得 14 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3简谐运动的回复力和能量 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（2个知识归纳+5个题型）+课后作业】 情景导入 如图所示为水平方向的弹簧振子模型。除了上一节提到的位移、速度、加速度，要想准确描述弹簧振子的运动，还需要引入哪些物理量呢？ （1）当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？ （2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？ 知识归纳 【知识点1 简谐运动的回复力】 1．回复力： （1）定义：使振动物体回到__________的力。 （2）方向：总是指向__________，回复力为__________的位置就是平衡位置。 （3）回复力的性质：回复力是根据力的__________命名的，可能由物体所受的__________或__________或__________提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的__________。 水平方向的弹簧振子，__________充当回复力。 竖直方向的弹簧振子，____________________充当回复力。 2．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置__________的大小成__________，并且总是指向__________，质点的运动就是简谐运动。 （1）简谐运动的回复力公式：__________。其中k是比例系数，__________是弹簧的劲度系数。其值由__________决定，与__________无关。“﹣”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向__________。 （2）简谐运动的加速度：由回复力公式__________及牛顿第二定律__________可知：__________，加速度a与位移x的大小成__________比，方向与位移方向__________。 （3）物体做简谐运动的判断方法 方法一：简谐运动的回复力满足__________； 方法二：简谐运动的振动图像是__________。 【例1】如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，浮在较大的装有水的杯中，沿竖直方向做简谐运动。已知木筷和铁丝的总重力为G，在运动过程中，木筷受浮力的最大值为F0，木筷受浮力的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，轻质弹簧下挂重为300N的物体A时伸长了3cm，再挂上重为200N的物体B时又伸长了2cm。现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则（弹簧始终在弹性限度内）（　　） A．最大回复力为500N，振幅为5cm B．最大回复力为200N，振幅为2cm C．只减小A的质量，振动的振幅不变，周期变小 D．只减小B的质量，振动的振幅不变，周期变小 【变式1-2】通过手机上的智能程序，可以测出物体运动的加速度和位移的变化关系。如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧下端连着一质量为m的手机，手机下方用轻质细线连接质量为2m的小球，最初整个系统处于静止状态。取重力加速度大小为g，某时刻剪断细线，在手机向上加速运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．剪断细线瞬间，手机加速度大小为g B．剪断细线瞬间，小球加速度大小为2g C．手机速度最大时，弹簧处于压缩状态 D．手机运动到最高点时，弹簧处于压缩状态 【变式1-3】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧上端固定，下端用细线连接质量均为m的物体A和B处于静止状态，重力加速度为g，不计空气阻力。时刻烧断细线，时刻A上升到最高点。取向下为正方向，A的振动表达式为（　　） A． B． C． D． 【例2】如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点（），过周期，小物块具有正方向的最大速度。下列图像不能正确反映小物块振动情况的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝做小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化规律（振动图像x-t）如图所示。取竖直向上为正方向，已知小鸟只在重力和树枝对小鸟作用力的作用下运动，则下列说法正确的是（　　） A．在时刻，小鸟速度最大，方向竖直向上 B．在和时刻，树枝对小鸟作用力大小一样 C．在0到时间内，树枝对小鸟作用力一定是越来越小 D．在到时间内，树枝对小鸟作用力一定是越来越大 【变式2-2】一质点做简谐运动，其位移与时间的关系曲线如图所示，由图可知（　　） A．振幅为，频率为0.2 Hz B．时质点具有负方向最大加速度 C．从到的时间内质点的路程为 D．该质点的振动方程为 【变式2-3】如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿水平方向在、间做简谐运动，从平衡位置开始计时。取向方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．时，小球位移为 C．时，小球由向运动 D．小球在、位置，动能为零，加速度也为零 【知识点2 简谐运动的能量】 1．弹簧振子做简谐运动时的各物理量的变化情况： 如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。 （1）从A到B的运动过程中，弹簧振子的各个物理量如何变化？ 振子的运动 A点 A→O O点 O→A′ A′点 A′→O O点 O→A A点 位移 方向 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 大小 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 回复力 方向 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 大小 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 加速度 方向 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 大小 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 速度 方向 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 大小 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 振子的动能 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 弹簧的势能 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 系统总能量 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ （2）如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？ （3）实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 2．简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移__________，加速度、回复力__________，但是速度、动能、势能____________________。 位移增大时，回复力、加速度和势能__________，速度和动能__________；位移减小时，回复力、加速度和势能__________，速度和动能__________。 3．弹簧振子运动的过程就是__________和__________互相转化的过程。 　　 （1）简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的__________能和__________能之和。在振动过程中，__________能和__________能相互转化，__________能守恒。而在实际运动中都有一定的__________，因此简谐运动是一种__________的模型。 在最大位移处，F、a、Ep__________，Ek＝__________。 在平衡位置处，F＝__________，a＝__________，Ep＝__________，Ek__________。 （2）简谐运动的能量由__________和__________决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越__________。 （3）在简谐运动中，振动的能量__________，所以振幅__________，只要没有能量损耗，它将__________地振动下去。 （4）在振动的一个周期内，__________能和__________能完成__________次周期性变化。物体的位移减小，__________能转化为__________能；位移增大，__________能转化为__________能。 【例3】如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上。当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则（　　） A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．弹簧振子速度增大时，物块的加速度也增加 C．弹簧振子远离平衡位置时，振动系统的动能增大 D．弹簧振子远离平衡位置时，振动系统的动能减小 【变式3-1】将蹦极运动简化为直线运动。如图所示，轻质弹性绳的一端固定在点，另一端和人（视为质点）相连。人从点静止下落，经点时绳恰好伸直，到达最低点后向上运动。假设整个过程弹性绳的弹力与伸长量成正比，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．人运动到中点处速度最大 B．人在点的加速度大于在点的加速度 C．从点到点的过程中，人一直处于失重状态 D．从点到点的过程中，重力势能与弹性势能之和先减小后增大 【变式3-2】如图所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一重物（可视为质点），重物静止时处于B位置。现用手托重物使之缓慢上升至A位置，此时弹簧长度恢复原长。之后放手，使重物从静止开始下落，沿竖直方向在A位置和C位置（图中未画出）之间做往复运动。重物运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。关于上述过程（不计空气阻力），下列说法中正确的是（　　） A．重物在C位置时，其加速度的大小小于当地重力加速度的值 B．在重物从A位置下落到C位置的过程中，重力的冲量大小大于弹簧弹力的冲量大小 C．在手托重物从B位置缓慢上升到A位置的过程中，手对重物所做的功等于重物往复运动过程中的具有的最大动能 D．在重物从A位置到B位置和从B位置到C位置的两个过程中，弹簧弹力对重物所做功相同 【变式3-3】如图所示，弹簧上端固接一个质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则在小球振动过中（重力加速度大小为g）（　　） A．小球最大动能应等于mgA B．小球在最低点时受到的弹力等于 2mg C．弹簧最大弹性势能等于 mgA D．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 【例4】如图所示：轻质弹簧的一端固定，另一端连接一物块，在光滑水平面上做简谐运动，物块在振动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块通过平衡位置时，弹簧的弹性势能最大 B．物块通过平衡位置时，物块的动能最大 C．物块运动到最大位移处时，物块的加速度为零 D．物块运动到最大位移处时，物块的速度最大 【变式4-1】如图所示，弹簧振子在水平方向上两点间做简谐运动，点为小球静止时球心所在的位置，关于振子小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．从点向点运动，动能逐渐增大 B．从点向点运动，加速度越来越小 C．从点向点运动，位移越来越小 D．从点向点运动，弹性势能逐渐增大 【变式4-2】如图所示，光滑斜面上的轻弹簧一端固定，另一端与小球相连。弹簧处于原长时小球位于O点（O在A、B之间）。现用外力将小球沿斜面从O点缓慢推至A点，推力做功W。撤去推力，小球从A点出发经O点到达B点时速度为零，则此过程中，小球（　　） A．在O点时的动能最大 B．在O点时的动能一定大于W C．在A点时，弹簧的弹性势能可能大于W D．在B点时，弹簧的弹性势能一定大于W 【变式4-3】如图所示，物块A放置在物块B上，物块B与弹簧相连，它们一起在光滑固定斜面上做简谐运动，振动过程中物块A和物块B之间始终无相对运动，下列说法正确的是（　　） A．振动过程中，物块A、物块B组成的系统机械能守恒 B．振动过程中，物块A的机械能不守恒 C．振动过程中，物块A一直克服摩擦力做功 D．研究物块B的运动，弹簧弹力提供了物块B做简谐运动的回复力 【例5】某一弹簧振子的振动图象如图所示，则由图像判断下列说法正确的是（　　） A．前2s走过的路程是 B．第2s内振子在向着平衡位置运动，x减小，v增大，a减小，不变 C．振子周期，第2s和第4s时振子的位移相等，运动方向相同 D．在1.5s和2.5s这两个时刻振子系统的动能、势能相同，相位也相同 【变式5-1】如图所示，固定的斜面体表面粗糙，顶端连接一轻质弹簧，弹簧另一端系一物块。开始时物块在外力作用下保持静止，弹簧处于压缩状态，撤去外力后物块恰好运动到点速度为零，此过程物块的速度、动量、加速度、动能大小随时间变化的图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】图甲所示的“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，可简化为如图乙所示模型。现固定底座B，用力向下按物块A，松手后物块A沿竖直方向做简谐运动。取向上为正方向，物块A的位移随时间的变化规律如图丙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块A做简谐运动的回复力由弹簧弹力提供 B．时和时，物块A的位移大小相等、方向相反 C．物块A在任意内经过的路程不一定为 D．内，头部的动能与弹簧的弹性势能之和增加 【变式5-3】如图甲所示，两木块（均可视为质点）间连接一力传感器（厚度不计，质量不计），力传感器可以实时测量两木块间的作用力，下方木块与竖直轻弹簧连接。先用力将木块竖直下压，时刻从最低点释放木块，力传感器记录两木块之间的作用力大小F随时间t变化的情况如图乙所示。已知每块木块的质量均为m，弹簧劲度系数为k。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度大小为g，以木块释放位置所在的水平面为重力势能的参考平面，下列说法正确的是（　　） A．木块的速度最大时，弹簧处于原长 B．木块做简谐运动的振幅为 C．弹簧的最大形变量为 D．两木块的最大重力势能为 一、单选题（共6道） 1．如图所示，弹簧人公仔固定在车的水平台面上，静止在图示位置A，先用手竖直向下压公仔的头部，使之缓慢下降至某一位置B，之后迅速放手，公仔头部沿竖直方向上升到另一位置C时速度为零。此过程弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力及弹簧质量，则振动过程中（　　） A．公仔头部在C点处的加速度为0 B．公仔头部在B点处的速度为0 C．公仔头部在B、C点处的速度不相同 D．公仔头部在B、C点处的加速度相同 2．如图所示，一轻弹簧上端固定在光滑斜面上，下端栓接一小球，将小球沿斜面拉下一段距离，然后松开．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，沿斜面向上为正方向．则小球所受弹簧弹力F与小球相对于平衡位置的位移x变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图为某鱼漂示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按，使水位到达M点。松手后，鱼漂会上下运动，水位在M、N之间来回移动，且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．MN之间的距离即鱼漂的振幅 B．水位到达M点时，鱼漂具有向下的加速度 C．水位到达N点时，鱼漂的位移向下最大 D．水位在O点时，鱼漂的速度最大 4．如图所示，质量为的物块放置在质量为的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为，振动过程中、之间无相对运动，设弹簧的劲度 系数为、物块和木板之间滑动摩擦因数为，（　　） A．若时刻和时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则 一定等于的整数倍 B．若，则在 时刻和时刻弹簧的长度一定相同 C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D．当整体离开平衡位置的位移为时，物块与木板间摩擦力的大小等于 5．一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点（　　） A．在0.015s时，速度与加速度都为方向 B．在0.01~0.03s内，速度与加速度先沿负方向后沿正方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小 C．在第8个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大 D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零 6．质量均为的小球和由劲度系数为的轻质弹簧连接，小球由不可伸长的细线悬挂在点，系统处于静止状态，如图所示。将小球竖直下拉长度后由静止释放。重力加速度大小为，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球后（　　） A．若小球做简谐运动，则其振幅为 B．若小球做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动 D．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动 二、多选题（共4道） 7．某质点做简谐运动的振动图像如图所示，则（　　） A．质点的振动周期为 B．时质点所受的回复力为0 C．时质点向平衡位置运动 D．时质点速度为0 8．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它经过平衡位置O在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 9．如图所示，一弹簧振子可沿竖直方向做简谐运动，O为平衡位置，现将弹簧振子从平衡位置向下拉一段距离ΔL，释放后振子在M、N间振动，且MN=40 cm，振子第一次由M到N的时间为0.2 s，不计一切阻力，下列说法中正确的是（　　） A．振子在振动过程中，若速度大小相同，则弹簧的长度一定相等 B．振子在振动过程中，系统的机械能守恒 C．从释放振子开始计时，振子在0.1 s内动能逐渐增大 D．从释放振子开始计时，振子在0.6 s末偏离平衡位置的位移大小为10 cm 10．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是（　　） A．若t时刻和时刻振动物体运动速度、位移的大小相等、方向相反，则一定等于的奇数倍 B．若t时刻和时刻振动物体运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于T的整数倍 C．若，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等 D．若，则在t时刻和时刻弹簧的长度可能相等 三、计算（共5道） 11．下图为一弹簧振子的振动图像，在A、B、C、D、E、F各时刻中： （1）哪些时刻振动物体有最大动能？ （2）哪些时刻振动物体有相同速度？ （3）哪些时刻振子有最大势能？ （4）哪些时刻振动物体有相同的最大加速度？ 12．某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求： （1）振子在6s内通过的路程和位移的大小； （2）振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值； （3）写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。 13．如图所示，质量为M的托盘内放有质量为m的物体，开始时手托住托盘，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于原长，现放手让托盘向下运动，求 （1）系统做简谐运动的振幅； （2）当系统运动到最低点时的加速度和物体对托盘的压力。 14．如图所示，在倾角为的固定斜面（斜面光滑且足够长）上端用原长、劲度系数为的轻弹簧连接物体B，A放在B上，两物体质量均为1kg，将物体从弹簧长度为25cm处由静止释放，A、B两物体在以后的运动中一直没有发生相对滑动。g取。 （1）求物体处于平衡位置时弹簧的长度； （2）从动力学角度证明物体做简谐运动； （3）求当沿斜面向上运动到弹簧长度为28cm时物体A所受摩擦力的大小和方向； （4）求整个运动过程中物体A所受摩擦力的最大值。 15．如图所示，竖直放置的劲度系数为k的轻弹簧下端固定在水平地面上，上端连接质量为m的小物块A，另一质量也为m的小物块B叠放在A上，O点为弹簧原长位置，系统开始处于静止状态。现对B施加一个竖直向上的恒力F，使两小物块由静止开始向上运动。已知重力加速度大小为g，弹簧的弹性势能为（x为弹簧的形变量）。 （1）为使小物块A、B恰能在初始位置脱离，求F的最小值。 （2）为使小物块A、B一起做简谐运动，求F的最大值。 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $