第2课时 函数的性质课件——2027届高三数学一轮复习

专题三 函数的概念与性质 第2课时 函数的性质 1 知识梳理 方法技巧 易混易错 真题集训 2 函数的单调性 （1）增函数、减函数 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域 内某个区 间上的______两个自变量, . ①增函数:当 时，都有______________，那么就说函数 在区间 上是增函数. 任意 3 ②减函数:当 时，都有______________，那么就说函数 在区间 上是减函数. （增函数） （减函数） 4 （2）单调性、单调区间的定义 若函数在区间 上是________或________，则称函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间. ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“ ”联结，也不能用 “或”联结，只能用“逗号”或“和”联结. 增函数 减函数 5 ③单调性的两种等价形式 .设任意，且，那么 在上是增函数;在 上是减函数. .在 上是增函数; 在 上是减函数. 6 （3）函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数 满足 条件 .对于任意 ，都有 __________; .存在，使得 .对于任意 ，都 有__________; .存在 ，使得 结论 M为最大值 M为最小值 7 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区 间上单调时最值一定在端点取到. ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值. ③的最大值记为，的最小值记为 . 8 函数的奇偶性 函数 条件 图象特点 偶函数 对于函数的定义域内任意一个 ，都 有_____________ 关于_____ 对称 奇函数 对于函数的定义域内任意一个 ，都 有_______________ 关于 ______对 称 轴 原点 9 （1）函数具有奇偶性的一个必要不充分条件 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称.函数的定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. （2）奇偶性的两个等价定义 若在定义域内恒有或 ,则 为奇函数;若在定义域内恒有 或 ，则 为偶函数. （3）奇偶性的六个重要结论 ①如果一个奇函数在原点处有定义,即 有意义，那么一 定有 . ②如果函数是偶函数，那么 ③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即 ， ,其中定义域 是关于原点对称的非空数集. ④奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函 数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 11 ⑤偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取 最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的 最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. ⑥设,的定义域分别是, ,那么在它们的公共定义域 上:奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶 奇. 12 函数的周期性 （1）周期函数:对于函数，如果存在一个非零常数 ， 使得当 取定义域内的任何值时，都有________________，那么 就称函数为周期函数，称 为这个函数的周期. （2）最小正周期:如果在周期函数 的所有周期中_________ _____的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. 存在一个最小 13 （3）函数周期性常用的结论 对定义域内任一自变量 ， ①若,则 . ②若，则 . ③若，则 . 14 函数的对称性 （1）轴对称 ①若，则的对称轴为 ; ②若，则的对称轴为 . （2）点对称 ①若，则的对称中心为 ; ②若，则的对称中心为 . 15 一、函数单调性的判断、求单调区间 函数单调性的判断方法 方法 解读 适合题型 定义法 具体的方法步骤为取值、作 差、变形、定号、下结论 适用于所有函数，特 别是抽象函数 复合法 复合函数单调性的判断法则: “同增异减” 适用于形如 的复合函 数 16 方法 解读 适合题型 导数法 解不等式，函数 在此不等式对应的区间上为增 函数;函数 在不等式 对应的区间上为减函 数 适用于可求导的函数 续表 17 方法 解读 适合题型 图象法 在定义域内作出相应的图象， 根据图形中的单调性写出相应 的单调区间 适用于初等函数，易 于作出图象的函数 性质法 运用函数单调性的有关结论直 接判断函数的单调性 适用于初等函数简单 运算后得到的函数 续表 18 【典例】 函数 的单调递增区间是( ) D A. B. C. D. 解析：由可得或 ，所以 ，令 ，则其在 上单调递减，在 上单调递增.又因为 在上单调递增，所以 在 上单调递增.故选D. 19 二、函数单调性的应用 1.比较大小 比较与 的大小，其关键点: （1）确定函数 在区间上的单调性; （2）将与 转化到该单调区间; （3）确定与 转化后的值的大小; （4）利用单调性，比较与 的大小. 20 2.利用单调性解不等式 根据单调性求解形如 型的不等式其实质就是 利用单调性脱去“ ”符号，其关键点: （1）判断，判断，是否在 的同一个单调区间内; （2）脱“”，利用单调性脱去“”，若 为增，则得到 ，若为减，则得到 ; （3）解“”，解不等式 ; （4）结论，解得的 与定义域求交集. 21 3.利用单调性求最值或值域 根据函数的单调性求函数的最值或值域，其关键点: （1）对函数式变形或求导，确定函数的单调性; （2）根据单调性变化，确定取最值的条件及最值; （3）求出最值或值域. 22 4.利用单调性求参数 （1）根据函数单调性的定义确定函数的单调性，并结合不等式 性质进行求解是求参数取值范围最基本的方法，破解此类题的 关键点: ①设元，在题设条件所给出的区间内设出两个变量, ; ②作差，对与 作差，并通过通分、因式分解等方法 进行恒等变形; 23 ③确定符号，通过条件中的区间限制和两个变量， 的大小 关系，确定函数值的差 的符号; ④得出结论，根据的符号和 的符号，判断 函数 的单调性，并求参数的取值范围. （2）利用导数法求参数，使恒成立(或 恒成 立)求参数. 24 【典例1】 设, , ,则,, 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 解析：由在上递增,则 ,由 在上递增,则 .所以 .故选D. 25 【典例2】（1）函数在区间 上的最大值 是( ) A A. B. C. D.2 解析：因为函数,在区间 上单调递减，所以 函数在区间上单调递减，故 . 故选A. 26 （2）函数 的最小值为____. 解析：令,,则 , 所以 . 因为的对称轴为 , 所以 , 所以函数的最小值为 . 27 三、函数奇偶性的判断 1.定义法 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对 称.若对称，再化简解析式后验证 或其等价形式 是否成立. 28 2.图象法 3.性质法:利用奇偶性的运算关系. 29 【典例】（多选）已知函数 的定义 域为, ,则( ) ABC A. B. C.是偶函数 D.为 的极小值点 解析：因为,对于A,令 , ,A正确;对于B,令, , 则,B正确;对于C,令 , ,则,令 , ,又函数的定义域为 ,所以 30 为偶函数,C正确;对于D,当 时,对 两边同时除以 ,得到 ,故可以设 ,则 当时, ,则 ,令 ,得 ;令,得;故在 上单调递减, 在 上单调递增, 因为为偶函数,所以在 上单调递增,在 上单调递减,显然,此时是 的极大值点,D错 误.故选 . 四、函数奇偶性的应用 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 （1）求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. （2）求解析式 利用奇偶性将待求区间上的自变量转化到已知区间上再求解， 或充分利用奇偶性构造关于的方程（组），从而得到 的解析式. 33 （3）求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据 得到关于待求参 数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而 得出参数的值. （4）画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的 单调性. 34 【典例】 已知函数 为奇函数，则 _ ____. 解析：因为为奇函数，且 时，函数值 为 ， 故 . 35 五、函数的周期性 求函数周期的方法 方法 解读 适合题型 定义法 具体步骤为对于函数 ,如果能够 找到一个非零常数，使得当 取定义域 内的任何值时，都有 ， 那么就是函数 的周期 非零常数 容易确定的 函数 36 方法 解读 适合题型 换元法 通过换元思路将表达式化简为定义式的 结构，如:若 ，令 ，则 ，则 ，所以 为 的一个周期 型关系式 续表 37 方法 解读 适合题型 递推法 采用递推的思路进行，再结合定义确定 周期.如:若 ，则 ，所以为 的一个周期 含有 与 的关系 式 续表 38 【典例】函数的图象关于直线 对称, 且的一个周期为4,则 的解析式可以是( ) B A. B. C. D. 39 解析：由函数的解析式考查函数的周期性选项中 ,B 选项中,C选项中,D选项中 ,排除 选项;对于A选项,当时,,故 是 函数的一个对称中心,排除选项A;对于B选项,当 时, ,故 是函数的一条对称轴.故选B. 40 六、函数性质的综合应用 解决单调性、奇偶性与周期性的综合问题通常先利用周期性转 化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 41 【典例】若定义在上的奇函数 在上单调递减,则不等式 的解集为 ( ) D A. B. C. D. 解析：因为是奇函数,在上单调递减,所以 在 上单调递减,所以在上是减函数.又由 是奇函数, 则不等式可化为 ,所以 ,解得 .故选D. 42 4.已知，且 是奇函数，则 ___. 0 解析：根据奇函数的性质可求参数 . 因为是奇函数，故 即 ， 故 . 43 5.若 是奇函数，则 _ ___， _____. 解析：若，则的定义域为 ，不关于原点对称， 所以 . 若奇函数有意义，则且 ， 44 所以且 ， 因为函数 为奇函数，定义域关于原点对称， 所以，解得 ， 由得， ， 所以 . 45 $