第18讲第2课时 利用导数研究函数零点课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数零点”核心考点，依据高考评价体系梳理零点存在定理、分类讨论、数形结合等关键方法，明确零点个数判断、参数范围求解、隐零点问题等高频题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+方法建模”，如以2026年广东广州模拟题为例，通过数形结合分析函数图象与零点关系，培养数学思维与几何直观素养。提供隐零点回代、构造函数等突破技巧，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准指导复习。

第18讲 导数的综合问题 第2课时 利用导数研究函数零点 1 1.零点分为两类：变号零点和不变号零点. 2.零点问题的常用处理方法 利用函数零点存在定理的条件为函 数图象在区间上是连续不断的曲线,且 ①直接法：判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明 即可. ②分类讨论法：判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨 论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明 . 2 3.函数零点相关问题包括两个方向： ①与函数零点性质有关的问题（更多涉及构造函数法）. ②可以转化为函数零点的函数问题（更多涉及整体转化、数形 结合等方法技巧）.能够利用等价转化、构造函数法求解的问题常涉 及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等 价转化,将题目转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函 数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达 到解决问题的目的. 3 探究点一 利用数形结合法讨论函数零点 例1 [2026·广东广州模拟] 已知函数 . （1）求 的单调区间； 解：由题知的定义域为 . 由，求导得 ， 则当时，，当或 时， ， 所以的单调递减区间为, ，单调递增区间为 . 课 堂 考 点 探 究 4 （2）判断 的零点个数，并说明理由. 解：由，得 . 根据（1）中求出的单调区间并结合极小值点， 可作出函数 的大致图象，如图所示. 所以当，即时， 的零点个数为2； 当或，即或时， 的零点个数为1； 当，即时， 的零点个数为0. 综上可得，当时，的零点个数为2；当时， 的零点个数为0；当或时， 的零点个数为1. 课 堂 考 点 探 究 5 总结反思 根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即 通过研究函数的性质（单调性、极值、最值、函数值的极限位置 等），作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与 轴交点的 个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”. 课 堂 考 点 探 究 6 【对点演练1】 [2025·甘肃天水期末] 已知函数 . （1）求 的单调递增区间； 解：的定义域为 ， ， 可得当时，， 当 时， ， 故的单调递增区间为, . 课 堂 考 点 探 究 7 （2）方程有三个实根，求实数 的取值范围. 解：由（1）知，函数在区间, 上单调递增， 在区间 上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为 ， 则可作出函数 的大致图象，如图所示. 方程有三个实根等价于直线 与 的图象有三个交点， 由图可知当时满足题意，则 的取值 范围为 . 课 堂 考 点 探 究 8 探究点二 利用函数性质讨论函数零点 例2 [2026·湖北联考] 已知函数 ，直线 . （1）若点是函数图象上的一点，求点到直线 距离的最 小值； 课 堂 考 点 探 究 9 解：点到直线 的距离 . 令，则 . 由,,得,由,,得, 所以 在上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以 ， 则所求距离的最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 10 （2）若，讨论函数 的零点的个数. 解：，定义域为 ， 令可得 ， 则函数的零点的个数与 的零点个数相同. ，再令 ， 则，所以在 上单调递减， 又因为，所以在上单调递增，在 上单调递减， 课 堂 考 点 探 究 11 则，当时， ， 当 时， . 所以当时，恒成立， 无零点； 当时，， 有1个零点； 当时，，在和 上各有1 个零点，即 有2个零点； 课 堂 考 点 探 究 当时，，在 上有1个零点， 在上满足恒成立，即 只有1个零点. 综上所述，当时，无零点；当或时， 有1个 零点；当时， 有2个零点. 课 堂 考 点 探 究 总结反思 求解此类问题的一般步骤： ①求函数 的导数. ②根据导数确定 的单调区间. ③分类讨论参数在不同的取值范围内，函数 的零点个数，即可 得到结论（或得到参数需要满足的条件，进而求得参数的取值范围）. 课 堂 考 点 探 究 14 【对点演练2】 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：函数的定义域为， . 若,则恒成立，当时，，当 时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减. 若，则令,得或 . 当 时， 由，得或；由，得 . 课 堂 考 点 探 究 所以在上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增. 当时， ， 当时，， ， 当时，，， 又 ，所以恒成立，所以在 上单调递增. 当时，由，得或；由 ， 得 . 课 堂 考 点 探 究 所以在上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增，在 上单 调递减；当时，在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增；当时， 在 上单调递增；当时，在 上单调递增， 在上单调递减，在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 （2）若有两个零点，求 的取值范围. 解：若，则当时, 恒成立， 当时，单调递增，所以 不可能有两个零点. 若，因为在 上单调递增， 在上单调递减，在 上单调递增， 所以的极小值为，故 不可能有两个零点. 若,则在上单调递增，在 上单调递减， 因为有两个零点，所以，即 ， 此时，当 时， ，当 时， ， 故 有两个零点，符合题意. 综上可得，的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 18 探究点三 隐零点问题 例3 [2026·重庆七校联盟三模] 已知函数 ， 函数的图象在点处的切线方程为 . （1）求， 的值； 解：由求导得 ， 因为函数的图象在点处的切线方程为 ， 所以， ， 则 ，， 解得， . 课 堂 考 点 探 究 19 （2）求 的零点个数. 解：由（1）知，则 . 令，求导得 . 可得当时，，则在 上单调递减； 当时，，则在 上单调递增. 又当时，恒成立，， ， 所以存在唯一的,使，即 . 可得当时，，则在 上单调递减； 课 堂 考 点 探 究 20 当时，，则在 上单调递增. 所以 . 因为 ， ， ， 所以根据零点存在定理，在和 上各有一个零点， 则 共2个零点. 课 堂 考 点 探 究 总结反思 含参函数的隐零点问题回代方法处理的一般步骤： 第一步，用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性得到零点的范围（有时零点范围需 要适当调整加以缩小）； 第二步，以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到 的最值 的表达式； 第三步，将零点方程适当变形，整体代入最值表达式进行化简证明. 课 堂 考 点 探 究 22 【对点演练3】 [2025·安徽皖江名校联考] 已知函数 ，曲线在点 处的切线斜率为0. （1）证明：函数在 上单调递增； 证明：依题意得 ， 因为曲线在点 处的切线斜率为0， 所以，则 . 所以,所以 ， 故函数在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）设，若，判断函数 的零点个数. 解：由（1）得，所以 ， 故， 设 ，则， 设 ，则 ， 因为，所以，所以在 上单调递减. 因为，所以当时，，从而函数，即 在 上单调递减， 课 堂 考 点 探 究 24 又, ， 所以当时，存在唯一的，使得 ， 且当时，,在 上单调递增， 当时，,在 上单调递减， 因为 , ， 所以当时，存在唯一的，使得 . 因为,所以是奇函数，又 ， 所以函数 有3个零点. 课 堂 考 点 探 究 探究点四 与函数零点有关的证明问题 例4 [2026·山东青岛模拟] 设函数 . （1）若在区间上单调递减，求 的取值范围； 解：因为，所以 ， 由题意可知，对任意的， 恒成 立，即 恒成立. 令，则， 恒成立. 因为函数在上单调递增，所以 ，所以 .因此，实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 26 （2）若，证明：在上有唯一零点，且. 证明：当时，令，可得 ， 即 . 当时，；当时， . 所以函数在上单调递减，在 上单 调递增， 课 堂 考 点 探 究 27 因为，所以当时， ， 即函数在 上无零点. ， 令 ，则 ， 令，其中 ， 则 ， 课 堂 考 点 探 究 故函数在上单调递增，故 ， 则 ， 又,在上单调递增， 所以 在上存在唯一的零点， 且 . 综上可知，在上有唯一零点，且 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 解决与零点有关的证明问题通常需要构造函数，常见的构造方法与 解题思路如下： （1）直接构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值（最值）, 从而得出不等关系; （2）利用可分离变量构造新函数,把问题转化为函数的最值问题,从 而判定不等关系; 课 堂 考 点 探 究 30 （3）适当放缩构造法，根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论, 从而判定不等关系; （4）构造“形似”函数,先变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似 结构构造辅助函数. 课 堂 考 点 探 究 31 【对点演练4】 已知函数，且 有两个不同的零 点, . （1）求实数 的取值范围； 解：函数的定义域为， 由 ，得 ， 令，求导得， 由，得 ，由，得 ， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减， 则 ， 课 堂 考 点 探 究 32 可得，当时， 恒成立. 由函数有两个不同的零点，得直线与函数 的图象有两 个不同的交点，则 ， 所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）求证： . 证明：由（1）的分析，不妨设，且 两式相减得 ， 两式相加得 ， 要证，只需证 ， 即证，即证 . 课 堂 考 点 探 究 34 设，则不等式等价于, . 设, ，求导得 ， 所以函数在上单调递增，则， 即当 时，不等式 成立， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 $