3.5 图形的位似 小节训练2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.5 图形的位似 小节训练2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 2．下列图形中位似中心在图形上的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，与位似，点O为位似中心，其中，若 ，则DF长为（    ）    A．18 B．3 C．2 D．1.5 4．如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 6．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 7．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 8．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点在同一直线上 C． D． 9．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 12．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心．相似比为，把线段缩短为，则的坐标为_____． 13．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比为_______． 15．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为___________；连接，若的周长为，则的面积为___________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似 ，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 17．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 18．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 19．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 20．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D C B A D A 1．【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行， ∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可． 【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意； B、 ，位似中点在图形上，符合题意； C、 ，位似中点在图形外部，不合题意； D、 ，位似中点在图形外部，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 3．【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据位似图形的性质得出位似比，进而得出的长．本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，其中， ， ， 的长为2． 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似的性质，位似变换∶如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似图形；通过相似的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比为． 故选：C 5．【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义． 6．【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 7．【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用相似三角形的性质求解 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 8．【答案】A 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'，，，点C，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项A错误． 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 9．【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 10．【答案】A 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 11．【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 12．【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或解答． 【详解】解：∵点A的坐标为，以原点为位似中心将缩短，位似比为， ∴点的对应点的坐标为：或，即或， 故答案为：或． 13．【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 14．【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】由已知可得，利用勾股定理解得的长即可解题． 【详解】解：∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， 相似比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． 15．【答案】 / 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键， ①依据题意，根据对角线最长，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可； ②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可． 【详解】解：如图，当位似中心P与点D重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的． ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形∽正方形，相似比为， ∴正方形的边长为2． ∴． 故答案为：； ∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为， ∴正方形的边长为2， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 16．【答案】(1) 解：如图为所求： (2) 解：如图为所求： (3) 解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 【知识点】在坐标系中画位似图形、平移(作图) 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 18．【答案】(1) ； (2) 证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. 【详解】（1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 19．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用、判断位似中心、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】（1）略． （2）解：与的相似比为， ． ， ． （3）解：与位似，， ． ， ． 20．【答案】(1) 解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)， (3) 解：如图， 【知识点】根据正方形的性质证明、求两个位似图形的相似比、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $