25.3 实际问题与一元二次方程 专题练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册
九上数学25.3《实际问题与一元二次方程》专题练习卷
列一元二次方程解实际问题是九年级数学核心考点，也是中考必考题型，核心解题思路为“审、设、列、解、验、答”六步解题法，各类题型均围绕该方法展开，同时需结合题型专属等量关系列式，且解出方程后必须检验：一是检验解是否满足方程，二是检验解是否符合实际生活意义（长度、数量、增长率等不能为负数）。
① 审题：读懂题意，找准题目中的已知量、未知量及核心等量关系；
② 设未知数：通常直接设所求量为x，复杂题型可间接设元；
③ 列方程：根据等量关系列出一元二次方程；
④ 解方程：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法求解；
⑤ 检验：舍去不符合实际意义的解；
⑥ 作答：规范写出完整答案。
（1）传染传播类问题：核心为链式传播规律，设每轮平均传染x个个体，初始数量为a，经过n轮传染后总数量为b，通用公式：
。常见场景：病毒传播、细菌繁殖、谣言扩散。
基础题
1. 有一种流感病毒，每轮每人可传染相同数量的人，若1人患病，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均一个人传染几个人？
2. 某种细菌繁殖速度极快，1个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，求每轮一个细菌平均繁殖多少个细菌？
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3. 某校园出现流感疫情，1名学生患病，经过两轮传染后全校共有169名学生患病，求每轮平均每人传染的学生人数。
4. 一条谣言在网络传播，1人首发，经过两轮传播后共有81人知晓，若每轮传播人数相同，求每人每轮传播的人数。
提升培优题
5. 某种病毒传播，初始有2人感染，每轮每人传染相同人数，经过两轮传染后共有288人感染，求每轮每人的传染人数。
6. 某养殖场出现疫病，3只家禽初始感染，经过两轮传染后，全场108只家禽全部感染，求每轮平均一只患病家禽传染的家禽数量。
（2）握手、送礼类问题：分为单循环（无重复）和双循环（有重复）两类。① 握手、单循环比赛（两两之间只发生一次互动）：x人总次数
；② 互赠礼物、互发消息（两两之间双向互动）：x人总数量
。
基础题
1. 班级毕业聚会，到场同学两两握手一次，总共握手45次，求参加聚会的同学人数。
2. 新年期间，若干同学互相赠送新年贺卡，每人都给其他同学各送一张，一共送出90张贺卡，求参与送贺卡的同学人数。
3. 某次篮球单循环比赛，所有参赛队伍一共比赛28场，求参赛的队伍数量。
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4. 同学之间互发微信祝福，所有人共发送110条祝福消息，求参与互发消息的同学人数。
提升培优题
5. 一次学术研讨会，参会人员每两人握一次手，总握手次数为66次，求参会总人数。
6. 毕业季同学互赠纪念品，全体同学共送出156份纪念品，求班级参与赠礼的学生人数。
（3）平均增长（降低）率问题：设初始量为a，平均增长率（降低率）为x，增长（降低）次数为n，最终量为b。增长率公式：
；降低率公式：
，常见场景：产量、销量、利润、人口增长/下降。
基础题
1. 某工厂今年一月份产值为100万元，三月份产值达到121万元，若二、三月份产值月平均增长率相同，求月平均增长率。
2. 某小区2022年绿化面积为2000㎡，2024年绿化面积达到2420㎡，求这两年绿化面积的年平均增长率。
3. 某商品原价每件100元，经过两次相同幅度降价后，售价为81元，求每次的降价率。
4. 某校2022年在校生800人，2024年在校生达到968人，求两年在校生人数的年平均增长率。
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