第6讲 一元二次方程的应用 课后练习 （学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

【课后练】-基础-一元二次方程的应用-教师版 一、单选题 1．2020年国庆节即将来临，荣县一中准备在初三年级选取部分班级组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应选取（    ）支球队参加比赛 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设选取x支球队参加比赛，由于每一个球队和其他球队打场球，又赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），即甲与乙的比赛同乙与甲的比赛算作同一场，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设选取x支球队参加比赛， 依题意得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴应选取7支球队参加比赛． 2．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程． 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场次为(场)， 设邀请个队参赛，每个队要与其余个队各赛1场， 又∵每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为， ∴可列方程为． 二、填空题 3．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 4．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 三、解答题 5．如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 【答案】(1)每个鸡舍的长为，宽为 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程即可求解； （2）设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为，根据题意列出方程，判断方程根的情况即可求解． 【详解】（1）解：设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，， 解得， 当时，，符合题意， ∴每个鸡舍的长． 答：每个鸡舍的长为，宽为． （2）解：不能，理由如下： 设鸡舍垂直于墙的边长为，则与墙平行的篱笆的长为， 由题意得，，整理得， ∵，，， ∴， ∴无实数根， ∴三个鸡舍的总面积不能为． 6．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】-基础-一元二次方程的应用-学生版 一、单选题 1．2020年国庆节即将来临，荣县一中准备在初三年级选取部分班级组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应选取（    ）支球队参加比赛 A．6 B．7 C．8 D．9 2．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 4．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 三、解答题 5．如图，一个农户用长的篱笆围成一排一面靠墙（墙长15米）、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍． (1)要使三个鸡舍的总面积为，求每个鸡舍的长和宽． (2)能使三个鸡舍的总面积为吗？，如果能，求每个鸡舍的长和宽．如果不能请说明理由． 6．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】-拔高-一元二次方程的应用-学生版 一、填空题 1．有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____人 2．设一个四位自然数M的千位、百位、十位、个位数字依次为a、b、c、d．若，则称M为“双九数”．如果“双九数”M满足为抛物线的顶点坐标，那么______；如果将“双九数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到新数，那么使得能被3整除且为偶数的最小的______． 3．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 二、解答题 4．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 5．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，准备降价销售． (1)假如经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，每件衬衫售价每降低3元，每星期可多卖出6件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？ 6．利川市地处湖北省西南边陲，西靠川渝，东接恩施，南邻潇湘，北依三峡，拥有丰富的旅游资源．某景区夏季投放一款纪念品进行销售，每件成本为20元，规定销售单价不低于成本且不高于50元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） … 25 30 35 … 每天销售数量（件） … 150 140 130 … (1)求出与的函数关系式并写出自变量的取值范围． (2)若每天销售所得利润为2400元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 7．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】-拔高-一元二次方程的应用-教师版 一、填空题 1．有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____人 【答案】5 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，先得到第一轮传染后患流感的总人数，再推导得到第二轮传染后总的患流感人数，根据两轮后共人患流感列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人． 根据题意列方程得， 解得：，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去， 因此每轮传染中平均一个人传染了人． 2．设一个四位自然数M的千位、百位、十位、个位数字依次为a、b、c、d．若，则称M为“双九数”．如果“双九数”M满足为抛物线的顶点坐标，那么______；如果将“双九数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到新数，那么使得能被3整除且为偶数的最小的______． 【答案】 1863 1827 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的性质求出顶点坐标为，即，再结合题意求出，，即可得出；根据题意表示出，表示出，，得出是3的倍数， 是偶数，为了使数最小，取，则，则d可为1或7，再分别求出结果即可． 【详解】解：抛物线， 顶点横坐标，纵坐标， 故顶点为，即． 由，得；由，得． ． ， ，， ， , ， ，， ， ， 能被3整除且为偶数， 是3的倍数，是偶数，即是偶数， 为了使数最小，取，则，则d可为1或7． 当时； 当时， ，． 故最小． 故答案为：． 3．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解:设矩形的长为，宽为， 由题意可得： 得：③， 将③代入②，得：， 整理，得， 解得：，（舍去）， 所以， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：． 二、解答题 4．如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 【答案】(1)米或米 (2)米，米 【分析】（1）根据面积列方程进行解答即可； （2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 依题意得， 解得，， 答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米； （2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米， ， 墙的最大可用长度为米， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米． 5．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，准备降价销售． (1)假如经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，每件衬衫售价每降低3元，每星期可多卖出6件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)175元或185元 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设售价定为元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期销售该种衬衫获得的总利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ∵经两次降价后的每件售价162元， ∴， 解得，，(舍去)， 答：每次降价的百分率是； （2）解：设售价定为元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：应把售价定为元或元． 6．利川市地处湖北省西南边陲，西靠川渝，东接恩施，南邻潇湘，北依三峡，拥有丰富的旅游资源．某景区夏季投放一款纪念品进行销售，每件成本为20元，规定销售单价不低于成本且不高于50元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） … 25 30 35 … 每天销售数量（件） … 150 140 130 … (1)求出与的函数关系式并写出自变量的取值范围． (2)若每天销售所得利润为2400元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为40元 (3)当销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润为3000元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可，根据题意可知自变量的取值范围； （2）根据每件的利润乘以每天的销量等于每天的利润，列出一元二次方程求解即可； （3）设每天获利w元，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系， ∴不妨设y与x之间的关系式为：， ∵时，；时，， ∴， 解得，， ∴， ∵销售单价不低于成本且不高于50元，成本为20元， ∴自变量的取值范围是， ∴； （2）解：根据题意得：， 解得， ∵， ∴， 答：销售单价应定为40元； （3）解：设每天获利w元， ，， ∴其图象开口向下，对称轴是直线， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值是（元）， 答：当销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润为3000元． 7．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $