精品解析：河北省石家庄精英中学（北校区）2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学学情自测试题

数学 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 3. 从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ） A. AB、AC边上的高所在直线的交点 B. AB、AC边的垂直平分线的交点 C. AB、AC边上的中线的交点 D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，圆心角，则弦与弦的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 12. 如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 若双曲线与直线的一个交点的横坐标为，则的值为_____． 14. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 15. 在中，，外接圆的半径为2，则______度． 16. 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 三、解答题（共68分） 17. 已知反比例函数的图象经过． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 19. 某蓄水池的排水管的排水速度（m3/h）与排完水池中的水所用的时间（）成反比例，且当时，． （1）写出关于的函数解析式； （2）若要5h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （3）如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 20. 如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 22. 如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： （1）如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的半径长． 24. 如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． （1）如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． （2）当的长与的长相等时，求的度数． （3）若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 2. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 3. 从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ） A. AB、AC边上的高所在直线的交点 B. AB、AC边的垂直平分线的交点 C. AB、AC边上的中线的交点 D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，据此可得出答案． 【详解】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，而外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆，掌握三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键． 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 5. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 6. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据其比例系数求出的面积即可． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴ 解得， ∴， ∵点P是函数图象上任意一点，且轴， ∴． 7. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 8. 在中，圆心角，则弦与弦的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 9. 如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 10. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 11. 如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得，则可推出的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接，可证明，，则由圆周角定理可证明，得到，则，解直角三角形求出的长即可判断Ⅱ；由圆周角定理可证明，则由三角形内角和定理可得，据此可判断Ⅲ． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ∴的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长， ∴的长与的长之和为定值，故结论Ⅰ正确； 当时，连接，如图所示， 则， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴点到的距离是，故结论Ⅱ正确； 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴使得的值有无数个，故结论Ⅲ错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，求弧长，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 12. 如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，证明，得到，，表示出值，建立等式，得到，据此计算即可解题． 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，，， ，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ， ，即， ． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 若双曲线与直线的一个交点的横坐标为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据交点的横坐标，代入直线解析式得到交点的纵坐标，确定交点坐标后，将交点坐标代入双曲线解析式，即可求出的值． 【详解】解：将代入直线得，， 则交点坐标为， 将代入得，． 14. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 15. 在中，，外接圆的半径为2，则______度． 【答案】60或120 【解析】 【分析】分两种情况：为锐角三角形和为钝角三角形，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当为锐角三角形时， 设外接圆的圆心为点O，连接并延长交于点D，连接， ，， ∴， ， ∴； 如图2所示，当为钝角三角形时， 设外接圆的圆心为点O，连接并延长交于点D，连接， 同理可得， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 16. 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． 三、解答题（共68分） 17. 已知反比例函数的图象经过． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质． （1）将代入利用待定系数法确定函数关系式； （2）当时，，由反比例函数的性质可知当时，，当时，随的增大而减小，且，则当时，，进而可得答案． 熟练掌握待定系数法及反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，，解得， ∵， ∴当时，随的增大而减小，且，则此时， 当时，随的增大而减小，且， 则当时，， 综上，当时，的取值范围为或． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式；一次函数的解析式 （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； 【小问3详解】 解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 19. 某蓄水池的排水管的排水速度（m3/h）与排完水池中的水所用的时间（）成反比例，且当时，． （1）写出关于的函数解析式； （2）若要5h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （3）如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】（1） （2） （3）至少需要小时 【解析】 【分析】（1）因为v与t成反比例，所以可设反比例函数解析式为（），将已知的t和v的对应值代入解析式求出k的值，即可得到v关于t的函数解析式． （2）因为已知排水时间，所以将代入已求得的函数解析式，就能计算出对应的v值． （3）如果每小时排水量，那么将代入函数解析式求出对应的t值，再结合反比例函数的增减性，即可得到最少排水时间． 【小问1详解】 解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：将代入， ， ∴每小时的排水量为． 【小问3详解】 解：， 即：， ∵， ∴， 解得． ∴至少需要小时． 20. 如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，算出圆的直径，得到圆的半径，再算出．过圆心作于点，由，可知是等腰直角三角形，求出圆心到弦的距离，然后在中利用勾股定理求出半弦长，最后由垂径定理，平分弦，求出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． ， ， ， ． ，， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， ， 由勾股定理，在中，， ， ， 由垂径定理，， ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 ∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 22. 如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： （1）如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）如图， （2）的半径长为 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，以点D为圆心，a为半径画弧交于点C，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画弧； （2）如图，连接，设的半径为，则，，由垂径定理得到，然后在直角中利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设的半径为，则，，     由题意可知，垂直平分， ，， 在直角中，， ， 解得． 答：的半径长为． 24. 如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． （1）如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． （2）当的长与的长相等时，求的度数． （3）若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①连接，由旋转的性质可得，，由圆周角定理可得，使用三角函数计算出，进而得到； ②由勾股定理可得，计算得，则．由直角三角形的性质可得，则，用扇形面积减去三角形的面积即可； （2）连接，同理（1）可得，则，利用长度相等构造方程，求解即可； （3）分两类讨论，当半圆弧与相交时，连接，容易证明是等腰直角三角形，则；当半圆弧与相交时，设交点为，连接，同理，则． 【小问1详解】 解：①如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 同理（1）可得，， ∴， ∵的长与的长相等， ∴， 解得； 【小问3详解】 解： ①当半圆弧与相交时，如图，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当半圆弧与相交时，如图，设交点为，连接， 同理①可得，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $