精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期初三年级12月联合学情检测数学试卷 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分，只有一项是符合题目要求的） 1. 若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为10，方差为6 B. 平均数为12，方差为6 C. 平均数为12，方差为8 D. 平均数为13，方差为9 2. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A B. C. D. 3. 如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为30°，若木桩上升了，则楔子沿水平方向前进了（如箭头所示） （ ） A. 6cm B. C. D. 4. 如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线及抛物线上一点．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）      A. B. C. D. 6. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．若点P的读数为135°，则∠CBD的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 7. 已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ） A. （﹣3，0） B. （3，0） C. （﹣5，0） D. （5，0） 8. 如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数、的图象交于、两点，则的大小的变化趋势为（ ） A 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 不变 D. 无法确定 9. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 点D为外心 10. 如图，在平行四边形中，点E在上，与交于点F，若，的面积为3，则的面积是（ ） A. 27 B. 12 C. 9 D. 6 11. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，半圆直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 二、填空题（每空3分，共12分，答案写在答题卡上） 13. 若m，n是方程的两个根，则的值是__________． 14. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 15. 如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是__________． 16. 如图，中，，，，D、E分别是、边上的动点，，以为直径的交于点F、G两点，则线段的最大值为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图像； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 … （2）根据图象回答： ①方程的两个解是________，________； ②当时，函数值的取值范围是________． 18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在本校初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：；；；，下面给出了部分信息：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86， 根据信息，解答下列问题： 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 90 112.2 10% 男生 88 100 200.2 50% （1）上述图表中的______________________，___________ （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在C组共有多少人？ 19. 在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋． （1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，延长至点E． （1）若，求证：平分； （2）若，的半径为2，求． 21. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式和顶点的坐标． （2）连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． 建模计算 （1）求点A的竖直高度； 操作理解 （2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 拓展探索 （3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据：） 23. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知米，排球场的边界点A距O点的水平距离为米，球网高度为米，且． （1）C点的坐标为　 　（用含m的代数式表示） （2）当时，求抛物线的表达式． （3）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （4）若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框（），其中米，米，米，若排球经过向右反弹后沿的轨迹落入回收框内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值． 24. 已知线段，射线垂直于，点在射线上，设，点在经过点且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点，过点作，交线段于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆． （1）判断与的位置关系：______； （2）已知的半径为，当所在直线与相切时，求的长； （3）当时，若与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三年级12月联合学情检测数学试卷 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分，只有一项是符合题目要求的） 1. 若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为10，方差为6 B. 平均数为12，方差为6 C. 平均数为12，方差为8 D. 平均数为13，方差为9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 2. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 3. 如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为30°，若木桩上升了，则楔子沿水平方向前进了（如箭头所示） （ ） A. 6cm B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可． 【详解】解：楔子沿水平方向前进了xcm， 则， 解得：（cm）， 则楔子沿水平方向前进了6cm， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 4. 如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线及抛物线上一点．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为，则此时抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，坐标与图形变化—平移，先根据平移前后点P的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】解：∵在抛物线经过平移后，抛物线上一点P的坐标由变为， ∴抛物线的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为， 故选：B． 5. 如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）      A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， 由题意， 解得； 故选C． 6. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．若点P的读数为135°，则∠CBD的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，根据切线的性质可得，进而即可求得∠CBD的度数． 【详解】解：∵直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P． ∴ 点P读数为135°， ． ． ． 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质，平角的定义，三角尺中角度计算，掌握切线的性质是解题的关键． 7. 已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ） A （﹣3，0） B. （3，0） C. （﹣5，0） D. （5，0） 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论． 【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0）， ∴1-6+c=0． ∴c=5， ∴二次函数y=x2+6x+5． 令y=0，则x2+6x+5=0， 解得：x1=-1，x2=-5． ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y=0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 8. 如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数、的图象交于、两点，则的大小的变化趋势为（ ） A. 先减小后增大 B. 先增大后减小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形相关运算，反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定与性质等知识点来分析、判断、推理或解答是解决本题的关键． 先证明，再设，故把数值代入，得，则，结合，则，由①②知为定值，即的大小不变． 【详解】解：如图，分别过点作轴、轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设， 则，，，， ∴ ∴, 解得或（舍去） ∵， ∴； ∵， ∴②， 由①②知为定值， ∴的大小不变， 故选：C． 9. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 点D为的外心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 10. 如图，在平行四边形中，点E在上，与交于点F，若，的面积为3，则的面积是（ ） A. 27 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形对边平行得到，根据，得到，推出，最后根据等高的两个三角形的面积比等于底的比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴． 故选：C． 11. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负， 再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， ∴， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①符合题意， ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其函数值不大于， 即， ∴，故②符合题意， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，故③符合题意， 由函数图象可知，当时，函数值小于零， ∴， 又∵， ∴， 即，故④符合题意， ∵抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， ∴当时，函数值小于零， 又∵当时，函数值大于零， 则， ∴， ∴，故⑤不符合题意， ∴符合题意的有个， 故选：C． 12. 如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得，则可推出的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接，可证明，，则由圆周角定理可证明，得到，则，解直角三角形求出的长即可判断Ⅱ；由圆周角定理可证明，则由三角形内角和定理可得，据此可判断Ⅲ． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ∴的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长， ∴的长与的长之和为定值，故结论Ⅰ正确； 当时，连接，如图所示， 则， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴点到的距离是，故结论Ⅱ正确； 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴使得的值有无数个，故结论Ⅲ错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，求弧长，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共12分，答案写在答题卡上） 13. 若m，n是方程的两个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，可得的值，根据根与系数的关系可得，再代入代数式求解即可． 【详解】∵m，n是方程的两根， ∴ ，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的定义及特点，根与系数的关系，整体代入法求代数式的值． 14. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：选手的综合成绩为：， 故答案为：． 15. 如图，，点O是的平分线上的一点，半径为4的经过点P，将水平向左平移，当与射线相切时，平移的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示， 则即为平移的距离，，， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即平移的距离为， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，D、E分别是、边上的动点，，以为直径的交于点F、G两点，则线段的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理得，利用勾股定理，作适当的辅助线，运用数形结合的思想，理解当，重合时，最小，有最大值是解题的关键． 【详解】解：过点O作于M，连接、，如图： 根据垂径定理得：， ， ， 在中，为定值， 当最小时，的值最大， 过点作，则， 当，重合时，最小，此时值最大， 在中，，，， ， ，即：， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图像； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 … （2）根据图象回答： ①方程的两个解是________，________； ②当时，函数值的取值范围是________． 【答案】（1）见解析 （2）①1，3；② 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）先利用对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线，则利用对称性得到和对应的函数值，然后通过描点法画出函数图象； （2）①方程的两个解就是使函数为0所对应的自变量的值，即抛物线与轴的交点的横坐标为方程的解； ②先确定和所对应的函数值，时有最小值，然后利用增减性求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，即，； 和对应的函数值相等，即时，； 补全表格，如下； … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 函数图象如图， ； 【小问2详解】 解：①当和时，， 方程的两个解为，； 故答案为：1，3； ②时，， 当时，有最小值， 当时，， 当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 18. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在本校初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：；；；，下面给出了部分信息：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》评分分数在C组的数据是：82，83，86， 根据信息，解答下列问题： 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 90 112.2 10% 男生 88 100 200.2 50% （1）上述图表中的______________________，___________ （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在C组共有多少人？ 【答案】（1），，． （2）男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 （3）280人 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值； （2）根据中位数和众数分析，即可求解； （3）用和分别乘以评分在C组的占比再求和，即可求解． 【小问1详解】 解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为， 则 根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为， ∴评分分数为和的人数都是人 ∴，则 故答案为：，，． 【小问2详解】 男生更喜欢《哪吒2》，理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 【小问3详解】 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在C组约有280人． 19. 在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋． （1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=−10x＋500；（2）w＝-10x2＋700x−10000；（3）销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据利润=每袋口罩的利润×销售量，得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝−10（x−35）2＋2250，根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）根据题意得，y＝250−10（x−25）＝−10x＋500； （2）由题意得，w＝（x−20）（−10x＋500）＝−10x2＋700x−10000； （3）根据题意得，， ∴x的取值范围为：27≤x≤30， ∵函数w＝−10（x−35）2＋2250， ∴当x＝30时，w最大值＝2000． 答：销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，得到二次函数表达式． 20. 如图，四边形是的内接四边形，连接、，延长至点E． （1）若，求证：平分； （2）若，的半径为2，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形是的内接四边形，可得，再根据结合圆周角定理即可得出，从而证得平分； （2）连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角为直角结合勾股定理可求得的长，从而求得，再根据圆周角定理可知，从而可得的值． 【小问1详解】 证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接， 是直径， ， ，的半径为2， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角形函数，角平分线判定，以及勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角形函数的计算即可． 21. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式和顶点的坐标． （2）连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）先求得所在直线的表达式为．得出，根据求得，进而根据，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得解得 ∴该抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 存在． 设所在直线的表达式为， 将点，代入，得 解得 ∴所在直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即或． 解，得，； 解，得，， ∴点的坐标为或或或． 22. 图1是木马玩具底水平放置的示意图，点O是所在圆的圆心．的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． 建模计算 （1）求点A的竖直高度； 操作理解 （2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？ 拓展探索 （3）在上述操作过程中，直接写出圆心O移动的距离．（参考数据：） 【答案】（1）点A的竖直高度为；（2）点A的竖直高度升高了；（3）圆心O运动的路径长为 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作，与交于点C，与交于点D，利用垂径定理和勾股定理解答即可； （2）过点A作于点于点F，利用矩形的判定与性质得到，设，利用勾股定理求得x值，则当与相切于点B时，A的竖直高度为，利用即可求得结论； （3）依题意的长即为点O运动的路径长，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理求得圆心角的度数，再利用弧长公式解答即可． 【详解】解：（1）连接，过点O作，与交于点C，与交于点D，如图， 由题意得：，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即点A的竖直高度为； （2）当与相切于点B时，过点A作于点E，于点F，如图， ∵与相切于点B， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即：， ∴当与相切于点B时，A的竖直高度为， ∵， ∴点A的竖直高度升高了； （3）解：如图， 根据题意可得的长即为点O运动的路径长， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆心O运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，弧长公式，连接经过切点的半径和作出垂线段构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知米，排球场的边界点A距O点的水平距离为米，球网高度为米，且． （1）C点的坐标为　 　（用含m的代数式表示） （2）当时，求抛物线的表达式． （3）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （4）若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框（），其中米，米，米，若排球经过向右反弹后沿的轨迹落入回收框内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值． 【答案】（1） （2）抛物线的表达式为 （3）球能越过球网，球不会出界，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米，据此即可得到点C的坐标； （2）当时，得到，设抛物线的表达式为，将点代入解得，即可得到答案； （3）由（2）知，当时，抛物线的表达式为，由，得到，得到，求出当时，，即可判断球能越过球网，求出，即可判断球会不会出界； （4）求出的表达式为，设点M的横坐标为，则，，当时，，解得：，（舍去），当时，，解得：（舍去），则，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，OB＝m米， ∴C； 故答案为：； 【小问2详解】 当时， ∴， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 球能越过球网，球不会出界，理由如下： 由（2）知，当时，抛物线的表达式为， ∵米，， ∴（米）， ∵球网高度为米， ∴， 当时，， ∵， ∴球能越过球网， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴球不会出界； 【小问4详解】 ∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离， 又∵是与形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米， ∴设的表达式为， 将点代入，得 解得：（舍去），， ∴的表达式为， 设点M的横坐标为，则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键． 24. 已知线段，射线垂直于，点在射线上，设，点在经过点且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点，过点作，交线段于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆． （1）判断与的位置关系：______； （2）已知的半径为，当所在直线与相切时，求的长； （3）当时，若与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是多少？ 【答案】（1）相切 （2） （3）的半径的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）由角平分线和平行可证，从而得出四边形为菱形；则，垂足为，即可证明与相切； （2）由，，，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可； （3）当与相切时，，此时与只有一个公共点，当过点时，连接，作于，设，则，由建立方程，解方程即可，当第二次经过点时，同理可得． 【小问1详解】 解：的角平分线交直线于点， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形； ，垂足为， 与相切， 故答案为：相切； 【小问2详解】 如图，当与相切于点时，，，， 在中， 设，则， 在中， 即 解得： 即； 【小问3详解】 当与相切时，，此时与只有一个公共点， 当过点时，如图，连接，作于， 设，则， 由得， 设， 则方程转化为， 解得：（舍去）， ， 当第二次经过点时，作于，如图3， 设，则， 由得，， 设， 则方程转化为， 解得：（舍去）， ， 与线段只有一个公共点，则的半径的取值范围是或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，菱形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识，求出过点时半径的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $