广东华南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期数学周练（1）

华南师大附中高二上数学周练（1) 一，单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,都有P0=-2PA+5PB+ mcP,则实数m的值为（) A.0 B.2 C.-1 D.-2 2.已知空间向量ā+万+c=0,1a=1,1石=4，cos(a,)=2,则1c=（) A.3 B.V13 C.v21 D.21 3.如图，已知四棱锥P-ABCD,PA1平面ABCD, 且PE=PC,若AB=a,AD=i,AP=G,则BE=（) A.-a-拓+c B.id+iB-ic C.ia-iB-3 D.-a+iB+3d 4.设a=(3,-2,-1)是直线的方向向量，元=(-1，-2,1)是平面的法向量，则直线与平面（) A.垂直 B.平行或在平面x内 C.平行 D.在平面a内 5.设x,y∈R,向量a=x,1,1),万=(1，y,1),c=(2,-4,2),且a1万，lc,则ld+五=（) A.2V2 B.√10 C.3 D.4 6.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,1),C(1,-1,3),四边形ABCD是平行四边形，！ 则IBD=（)》 A.V14 B.√22 C.V42 D.8 7.已知0A=(1,2,3),0B=(2,1,2),0C=(1,1,2),点M在直线0C上运动，当MA·MB取最小值 时，点M的坐标为（) A.(2,2,4) B.匠) c.(, D.() 8.如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，G,E分别是CC1,AB的中点， P是四边形CCD1D内一动点，BF=BC,若直线AP与平面EFG没有公共点， A B 则线段AP的最小值为（) A.V35 B.4V7 C.5v5 D.435 D 5 E B 二，多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分。 9.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是（) A.(2a+B)la B.51al=v316 c.a1(5a+4b) D.在b上的投影数量为- 2 10.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1(含边界)内有一动点P,则（) A.若B1P=mB1B+nB1A1,m+n=1,则B1P.B1D=0 B.若A1P=λAB(0<λ<1)，则C1P.B1D=0 C.若B1P=PA,A1E=41G+A1D),则BE.A1E=- D.若A1正=(A1C+A41D),则存在非零向量B1F使B1P.A1正=-1 11.若点N为点M在平面a上的正投影，则记N=fa(M).如图，在棱长为1 D 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为B,平面ABCD为y,点P是 B 线段CC1上一动点，Q1=,[f(P)],Q2=f[f,(P)]则下列说法正确的是（) A.线段PQ2长度的取值范围是，罗 B.存在点P使得PQ1平面B C.不存在点P使得PQ11PQ2 D.存在点P使得Q1Q2⊥Y 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分。 12.在空间直角坐标系0-xyz中给定点P(7,6,4),则该点关于 坐标平面xOy的对称点P'的坐标为 13.如图，已知平行四边形ABCD,AB=√3，AD=√7且AB1BD, 沿对角线BD将△ABD折起，当二面角A一BD一C为120时，则A与C之间距离为 14.已知正四面体ABCD的棱长为2V3,E为△BCD的中心，0为AE上一点 且满足0B、OC、OD两两垂直.过点O作平面，其中B、C、D位于平面a 的同一侧，n是平面a的单位法向量且指向另外一侧，B、C两点到平面a 的距离分别为1和V2.以0为坐标原点，OB、OC、OD为x、y、z轴建立 空间直角坐标系（如图所示），则o的坐标为 四，解答题：本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°， ∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a,AD=b,AA=C. D C B A (1)用a,b,c表示AE;(2)求AE的长. E D B 16.已知向量a=(1,1,0),=(-1,0,2). (1)若(a+kb)I(2a+),求实数k;(2)若向量a+kb与2a+所成角为锐角，求实数k的范围 17.已知0A,0B,0C两两垂直，0A=0C=3,0B=2.M为0B的中点， 点N在AC上，AN=2NC.(1)求MN的长； (2)若点P在线段BC上，设=当AP1MW时，求实数的值. 、M 18.如图，已知四棱柱ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形， D ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1. (1)试用CD,CB,CC表示CA,并求ICA; (2)求证：CC11BD; (3)试判断直线A1C与平面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由. D 19.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足AP=AC+uAA1, 其中λ∈[0,1]，u∈[0,1].(1)当)=1时，求三棱锥B-DD1P的体积； A B (2)当2λ2+u2=1时，直线BP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围； D (3)当λ+L=1时，是否存在唯一一个点P,使得BP1平面ADP,若存在， 求出P点的位置；若不存在，请说明理由.华南师大附中高二上数学周练（1) 参考答策 1 2 3 5 8 9 10 11 B D B D BD BCD BCD 1.B点Q在△ABC所在平面内运动，对空间中任意一点P,有PQ=-2PA+5PB+mCP=-2PA+ 5PB-mPC。由空间向量共面定理，若Q在平面ABC内，则PQ=xPA+yPB+zPC,且x+y+z= 1。所以系数和：-2+5-m=1→3-m=1→m=2。 2.Ca+万+=0→=-(a+。1P=(a+2=aP+1i+2a.6=1+16+2.142 17+4=21.1c1=V21。 3.DP元=PA+AC=-AP+AB+AD。代入得：BE=-AB+AP+(-AP+A丽+AD)= -AB+AP+AD。已知AB=a,Ad=五，Ad=G,所以BE=-a+拓+。 4.B直线的方向向量d=(3,-2,-1),平面的法向量元=(-1，-2,1)。计算a·元=3×(-1)+ (-2)×(-2)+(-1)×1=-3+4-1=0。因为a·元=0，说明直线的方向向量与平面的法向量垂 直，因此直线l平行于平面a或在平面a内。 5.C由b1得：(1，y,1)=k(2,-4,2),解得k=y=-2。由1得：a.=0,解得x=1。所 以=(1,1,1)，万=(1，-2,1)，d+6=(2,-1,2)。1a+=√22+(-1)2+22=V9=3。 6.C四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC。AB=B-A=(-2,-1,-2)。设D(x,y,z),则DC= C-D=(1-x,-1-y,3-z）=(-2,-1,-2)。解得x=3,y=0,z=5,即D(3,0,5)。 BD=(5,-1,4)。1BD=V52+(-1)2+4=V25+1+16=V42。 7.D点M在直线0C上，设M(t,t,2t)。MA=(1-t,2-t,3-2t),MB=(2-t,1-t,2-2t)o MMMB=(1-02-)+2-01-0+3-202-2)=62-16t+10。当t=9=时，取 得最小值。所以M的坐标为(，)。 8.D建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),E(4,2,0), F(1,4,0),G(0,4,2),EF=(-3,2,0),EG=(-4,2,2). 设平面8FG的法向量为=(x,y,2),则厥.立=0， D EG.=0, 即{3x,2y20。令x=2,可得i=2,31).设P(0,m,00,≤ms40≤n≤4，则m= -4x+2y+2z=0, (-4,m,n).因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以API平面EFG,则AP1i,所以-8+3m+n= 0,即n=8-3m.AP=V16+m2+元=√16+m2+8-3m=V10m2-48m+80当m=号 时，AP取得最小值，最小值为、10×（侣）-48×号+80=4压 5 9.BDA:2a+b=(-1,2,7),与不成比例，不平行，错。B:5IaIl=5v6,V31b=v3.5v2= 5V6,正确。C:5a+46=(2,1,25),d:(5d+46)=10≠0，错。D:投影数量需-号 乌，正确。 10.BCD对于A,B1P=mB1B+nB1A1,m+n=1,则B1P=(1-n)B1B+nB1A=B1B+ n(B1A1-B1B)→B1P-B1B=n(B1A1-B1B)→BP=nBA,从而可知点P在线段BA1上，由于 B1D1不垂直侧面ABB1A1,故B1P·B1D1=0不成立，所以A错误； 对于B,易证A1C11B1D,BC11B1D,从而可知B1D1平面A1BC1,由A1P=A1B(0<1<1),可 知点P在线段BA1上，因此B1D1C1P,所以C1P·B1D=0,B正确； 对于C,BP.A1E=PA:(A1C+41D)=PA(a1G+A1D)=×B1A(A1G+4D)= 名(B1B+B1A)·(A1G+A1D)=(B1B+B1A)·(A1B+2A1D)=(B1B.A1E+2B1B.AD+ B1A·A18+2B1A·A1D1)=(0+0-4+0)=-3,故C正确； 对于D,设BP=1B1B+B1A,所以B1P.A1E-(B1B+B1A1)·2(A1C+A1D)= (ABB+uBAi)(ABi+2A1Di)=(ABB.ABi+24BiB.ADi+uBiAi ABi+2uBiAi. A1D)=(0+0-4+0)=-2=-1,得=，从而可知B1P不会是零向量，故D正确. 11.BCD如图：取C1D的中点为Q2,过点P在平面CC1D1D内作PE1C1D, D 再过点E在平面CC1D1D内作EQ11CD,垂足为点Q1, B 在正方体中AD1平面CC1D1D,PEC平面CC1D1D,所以PE1AD, 又因为PE1C1D,ADnC1D=D,AD,C1DC平面AB1C1D, 所以PE1平面AB1C1D,即PE1B,所以fB(P)=E,同理可证EQ11Y,CQ21B,则f[fB(P)]= f(E)=Q1,fB[f,(P)】=f(C)=Q2,以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为坐标轴建立 如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设CP=a(0≤a≤1)，则P(0,1,a),C(0,1,0), E(0,,),Q(0,g,,Qz(0,)对于A,P02=+(a-),由0≤a≤1，则0≤ (a-)'≤京则PQ2=+(a-)eB,,所以线段PQ长度的取值范围是B,月，故A错误； 对于B,因为cQ21B,则平面B的-个法向量为cQ2=(0,-),又有PQ=(0,,-),令 PQ·CQ2=0,即-=0，解得a=即存在点P,使得PQ怦面B,故B正确； 对于C,PQ=(0,-,2）,令Pg·P02=+2a=0,整理得：4a2-3a+1=0,该方 2 程无实数解，所以不存在点P使得PQ11PQ2,故C正确； 对于D,当P为点C时，ff(P)]=f(E)=Q为CD的中点，又f[,(P)】=f(C)=Q2为CD的中 点，所以Q1Q2ICC1,又CC11Y,所以Q1Q21Y,所以存在点P使得Q1Q21Y,故D正确. 12.(7,6,-4)关于x0y平面对称，x,y坐标不变，z坐标变为相反数。所以P'(7,6,-4)。 13.V13在平行四边形ABCD中，AB1BD,AB=V3,AD=V7在Rt△ABD中，由勾股定理： BD=VAD2-AB2=V7-3=2。同时，CD=AB=V3,在△BCD中，BD2+CD2=4+3=7= BC2,所以CD1BD。沿BD折起后，二面角A-BD-C为120°。因为AB1BD,CD⊥BD,所以向 量BA与DC的夹角为120°。AC=AB+BD+DC.IAC2=IAB2+IBD2+IDC2+2AB.DC+ 2AB.BD+2BD.DC.1ACP=3+4+3+2V3V3.cos60°=10+6·号=13所以1ACI=V3。 14.(G号，-)0B,0C,0D两两垂直，棱长为2V3,10B10c1曰0DV6, 而B,C两点到平面a的距离分别为1和V2,所以点M(V6,0,1),N(0,V6,V2)在平面ax上， n.0M=0 V6x0+20=0 设0=(x0yo,zo),则 n0·0N=0, 即 6yo+V2z=0,解得 或 了y0= 3 1I=1 x6+y6+z6=1 (20=- 6 20= 6 由题意知m指向轴负方向，则而=（怎，导，-9)故答案为：（信号，-9） 15.(1)是cG中点，A正=AE+BC+CE=a+方+。—5分 2)1a正P=(a+i+d}=1aP+1BP+1P+2a万+a+万：一8分 =25+9+4+0+10+6=54。—11分 所以AE=V54=3V6。—13分 16.(1)a+k6=(1-k,1,2k),2a+万=(1,2,2)。—3分 平行条件：学=货5分 →1-k=支3k=8—7分 (2)夹角为锐角，(a+k)·(2a+)=3+3k>0—9分 →k>-1。—12分 需排除共线情况，由(1)知k=2时共线。一14分kE(-1,)U(分，+o)一15分 17.因为0A,0B,0C两两垂直，以0为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建系。 A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)0 (1)M为0B中点，M0,1,0。N在AC上，AN=2NC,N=A+号C=(1,0,2)。—4分 1MW=V(1-0)2+(0-1)2+(2-0)2=V1+1+4=V6。—7分 2)P在线段Bc上，股=，则P=B+C=(0,品) —10分 =(-3,)MN=1,-1,2—13分 AP1MN→丽.丽=-3-品+0=0。—16分 -3(1+)-2+61=0→-3-31-2+6M=0→31=5→1-0—17分 18.(1)CA=cD+cB+CC。—2分 1cAP=1+1+1+2(++)=6,所以1CA=V6。—5分 (2) CC·BD=CC·(CD-CB)=-=0,所以CG1BD。—8分 (3)垂直。—9分 证明如下：A1C=-(CD+CB+CC)。A1C.BD=-(CD+CB+CC)·(CD-CB)= -(1-1+3-1+3-月)=0，所以A1C1BD。—12分 A1C.BC=-(CD+CB+CC)·(-CB+CC)=0,所以A1C1BC。—15分 因为BD和BC1是平面C1BD内的两条相交直线，所以A1C1平面C1BD。一17分 19.(1)当=1时，AP=AC+uAA1,CP=AA,此时Pe线段CC1, 由于CC1IDD1,DD1C平面DD1B,CC1C/平面DD1B,所以CC1平面DD1B,一2分 故Vg-Dp=p-0,B=Ve-D0,B=n,8Dc=x Sonmc·CG=x×CD.CB.CG=手 所以其体积为定值.—4分 (2)当22+μ2=1时，1APP-(AC+uAA)=82+4μ2=4，即点P的轨迹为以A为圆心，2为 半径的圆弧上，—5分 设AC,BD相交于点E因为BE1AC,BE1AA1,AC∩AA1=A,AC,AA1C平面ACC1A1,所以BE1 平面ACC1A1,直线BP与平面ACC1A1所成角为LBPE,—6分 如图，点P的轨迹为半圆，其中Q为P点轨迹与边AC的交点， 当P运动到点Q时，此时(PE)min=EQ=2-V2,当P运动到A1时， 此时(PE)max=A1E=、2+V22=V6,—8分 tan∠BPE-距，BE=VZ,2-V2≤PE≤V6, 号≤tam∠BPE≤V2+1.—10分 E O (3)如图建立空间直角坐标系如图，A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2), 当λ+μ=1时，C,A1,P三点共线，即点PE线段A1C,—11分 设P(2-a,a,2-a),由BPI平面ADP得，BP1DP,BP1AP, BP=(-a,a-2,2-a,Dp=(2-a,a,2-a),Ap=(-a,a,2-a),—13分 BP.D=-a(2-a)+(a-2)a+(2-a)2=0,得3a2-8a+4=0,解得a=2或2.—15分 Bp.AP=a2+a(a-2)+(2-a)2=3a2-6a+4=8a-4-6a+4=2a≠0，-16分 故不存在P点满足题意.一17分 C B D(O) B