广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学开学周测试题（9.7）

**基本信息** 广东广州八十六中高二开学周测数学卷，聚焦向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过复数虚部、向量投影等基础题巩固概念，以四棱锥空间几何、解三角形动态问题提升能力，体现数学思维的推理能力与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量投影、圆台表面积|基础概念辨析，落实抽象能力| |多选题|3/18|向量垂直判断、解三角形多解|选项分层设计，考查推理意识| |填空题|3/15|向量数量积、异面直线夹角、正八边形动态问题|结合窗花文化情境，体现几何直观| |解答题|3/57|向量证明与计算、解三角形动态最值、四棱锥线面关系|多问递进，如四棱锥问题综合空间观念与运算能力，解三角形动态问题培养模型意识|

广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学开学周测试题（9.7）（满分：120分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，，则向量（     ） A． B． C． D． 3．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 7．已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是（     ） A．若向量，满足，，则与的夹角为 B．已知非零向量和互相垂直，则的值是 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知向量，，则与能作为平面的一组基底 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 11．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如果单位向量满足6，则__________． 13如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是___________________. 14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为__________      四：解答题 15．（15分）已知向量，且与的夹角为， (1)求证： (2)若，求的值； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围. 16．（15分）如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点.    (1)求； (2)当点为中点时，求：的余弦值； (3)当取得最小值时，设，求的值. 17．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东广州市第八十六中学2026-2027学年高二上学期数学开学周测试题答案（2026.9.7） 1.【答案】C 【详解】依题意，，所以，复数的虚部为，故选：C. 2【答案】A 【详解】因为且，设，则， 又因为，所以，解得，所以，故A正确. 3【答案】D 【详解】由向量，，得，所以向量在向量上的投影向量为. 4.【答案】B 【详解】如图，作出符合题意的图形，作， 由题意得， 则在直角三角形中，有，，解得，即圆台的母线长. 可得圆台的表面积. 5【答案】C 【详解】，， . 设向量与向量的夹角为，则.又，所以. 6【答案】B 【详解】因为，，，所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得，即， 即，解得：.故选：B. 7【答案】A 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 8【答案】C 【详解】在中，，所以. 又， 所以，又由，所以， 因为中，，所以，即， 再由正弦定理得.又因为，所以，所以，. 代入上式得，因为，所以，即，解得. 又因为，因此 9【答案】ABD 【详解】对于A，对两边平方得，∵，∴. 设夹角为，则，又，故，故A正确； 对于B，非零向量，∴，解得，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，故C错误； 对于D，向量，满足，∴与不共线，所以与能作为平面的一组基底，故D正确. 10【答案】AB 【详解】因为，，则，于是， 即，故A正确. 由正弦定理，得，所以或， 且两者均满足，故三角形有两解，B正确. 三角形至多有一个钝角，若三角形为钝角三角形，则三个内角的余弦值中恰有一个为负， 则，与矛盾，所以三角形为锐角三角形，C错误. 由余弦定理，，代入得， 整理得，即或，后者表示，如为边长的直角三角形并非等腰三角形，D错误. 11【答案】BC【详解】如图所示，因为，则，即，所以，故A错误； 又因为，所以，故C正确； 因为三点共线，则，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误； 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确.故选：BC. 12.因为，所以 ，求得， 所以 13. 14. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界），所以的范围为，所以， 15【详解】（1）因为与的夹角为，所以， 所以，所以........5分 （2） 由（1）知，，因为， 所以，即， 于是有，即，解得或, 所以的值为或.........10分 （3)夹角为钝角需满足，且不共线，解得， 可知，当共线时，，此时共线反向，所以的取值范围为..........15分 16【详解】（1），由余弦定理知： ，..........5分 （2）设，分别为的中点，， ， ，又. ..........10分 （3）设， 当即时，取最小值，， ，， 三点共线，，..........15分 17【详解】（1）如图，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角. 因为平面，所以.在中，由已知，得， 故.所以，异面直线与所成角的余弦值为..........5分 （2）证明：因为平面，直线平面，所以. 又因为，所以，又，所以平面..........10分 （3）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角. 因为平面，故为在平面上的射影， 所以为直线和平面所成的角.由于，，故， 由已知，得. 又，故，在中，可得,在中，可得. 所以，直线与平面所成角的正弦值为..........17分 学科网（北京）股份有限公司 $