25.4 一元二次方程的实际应用 分层作业设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.4 一元二次方程的实际应用 分层作业设计（2026—2027学年人教版数学九年级上学期） ——成都生活情境 · 模型观念与应用意识 · 数智赋能（示例数据可按实情替换） 一、作业设计说明 1.1 设计理念 本作业以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，聚焦“模型观念”“应用意识”与“运算能力”核心素养，围绕人教版九年级上册第二十五章 25.4《实际问题与一元二次方程》。以成都本土情境（成都地铁、锦里、宽窄巷子、东郊记忆、四川科技馆、成都马拉松、春熙路、都江堰）为驱动，引导学生在“审—设—列—解—检—答”中建立一元二次方程模型，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效工具。 1.2 课标与教材分析 25.4《实际问题与一元二次方程》核心内容为：增长率（下降率）问题 a(1±x)²=b；面积（边框、小路）问题；销售利润问题；传播问题。重点是“找等量关系、列方程”，难点是“检验根是否符合实际意义”。本作业按“列式—列方程—完整建模”层次组织。 1.3 学情分析 维度 学情特点 作业应对 知识基础 已掌握一元二次方程的解法 基础层重在列式与列方程 能力水平 找等量关系易漏条件、忽略检验实际意义 提升层设置完整建模并检验 兴趣动机 对成都本土生活情境兴趣高 全卷14题均取材成都真实场景 个体差异 建模能力差异明显 基础、提升、拓展三层，必做+选做 1.4 作业目标 目标维度 具体内容 对应核心素养 A 知识理解 理解增长、面积、销售、传播四类问题的基本关系 抽象能力·模型观念 B 能力运用 能设未知数、找等量关系、列一元二次方程并求解 模型观念·运算能力 C 思维发展 会根据实际意义检验并取舍方程的根 理性思维·应用意识 D 应用意识 能用一元二次方程模型解决成都生活实际问题 应用意识·模型观念 1.5 整体设计思路 ① 分层结构：基础层（必做8题，列式与列方程）→ 提升层（必做4题，完整建模求解并检验）→ 拓展层（选做2题，综合应用与开放性设计）。② 题量与时长：共14题，多数学生约25分钟完成。③ 每题标注【原创】并附设计意图、材料出处、难易系数与评价要点。④ 评价前置，素养导向。 1.6 数智赋能与创新特色 ① 动态建模——用 GeoGebra 输入情境数据即时生成面积/增长图像辅助理解；② 程序核验——用 Python 对方程的解做实际意义筛选；③ 真实数据溯源——成都景区、商品价格等数据均可替换为公开数据，可查证。 二、学习任务单（课前自主探究 · 课中合作完成） 本单用于课前自主探究与课中合作完成：先明确“学完我会什么”，再带着四个探究任务去发现，最后用自评检验。建议课前 5 分钟 + 课中 10 分钟。 2.1 学习目标（学完本课我能做到） 学习层次 学完本课我能做到 对应知识点 会设 能根据题意设出未知数 审题·设未知数 会列 能找到等量关系，列出方程 等量关系·列方程 会解 会解方程并检验根是否符合实际 解方程·检验 会用 会用方程模型解决增长率、面积等实际问题 模型观念 2.2 课前学习任务（自学 · 约5分钟） 序号 课前学习任务 完成情况 1 回忆：列一元二次方程解应用题的五个步骤是＿＿。 □ 已完成　□ 有疑问 2 若某商品原价 100 元，降价率为 x，降价两次后售价为＿＿元。 □ 已完成　□ 有疑问 3 想一想：矩形的长为 x、宽为 3，面积 28，列方程为＿＿。 □ 已完成　□ 有疑问 2.3 课上探究任务（同桌合作 · 约10分钟） 任务 探究活动 我的发现 / 填写 任务一 · 识增长 某景区 2025 年游客 a 万人次，年增长率 x，2026 年为＿＿，2027 年为＿＿。 两年后：a(1+x)＿＿=b。 任务二 · 识面积 矩形长为 x、宽比长少 3、面积为 28，列方程为＿＿。 解：x=＿＿或＿＿，取＿＿。 任务三 · 识销售 进价 40、售价 60 可卖 100 件；涨 1 元少卖 2 件。设涨 x 元，利润=＿＿×＿＿。 方程：(20+x)(100−2x)=1200。 任务四 · 识传播 1 人每轮传染给 x 人，第一轮＿＿人、第二轮＿＿人，共＿＿人。 1+x+(1+x)x=242。 任务五 · 验取舍 解出两个根后，如何决定舍去哪个？ 依据＿＿＿（实际意义）取舍。 2.4 学习评价（完成后自评，打√） 评价内容 我能做到（打√） 需要加强 能设未知数并找等量关系列方程 □ □ 会解方程 □ □ 会检验并取舍根 □ □ 会用方程模型解决实际问题 □ □ 我的疑问 / 收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、作业内容（分层实施 · 含设计说明） 知识要点提示：列一元二次方程解实际应用题的步骤——审（找等量关系）、设（设未知数）、列（列方程）、解（解方程）、检（检验根是否符合实际意义）、答。常见类型：增长率 a(1+x)²=b（x>0 为增长、x<0 为下降）；面积问题；销售利润＝单件利润×件数；传播问题（每轮×（1+传播人数））。 基础层（必做） 题1（原创）增长率列式（成都地铁） 某地铁站 2025 年日客流为 a 万人次，若年增长率为 x，则 2027 年日客流为＿＿万人次（用含 a、x 的式子表示）。 【答案】a(1+x)²。 【设计意图】建立“两年后＝a(1+x)²”的基本模型。对应“增长率问题”。 【材料出处】成都地铁情境原创。 【难易系数】0.95 【评价要点】写对 a(1+x)²。 题2（原创）下降率列方程（宽窄巷子） 某商品 2025 年售价 100 元，若每次平均降价率为 x，2027 年售价 64 元，则列出方程为（　　） A．100(1−x)²=64 C．64(1−x)²=100 B．100(1+x)²=64 D．100(1−2x)=64 【答案】A。 【设计意图】区分增长率与下降率，识别 (1−x)²。对应“增长率（下降）问题”。 【材料出处】宽窄巷子情境原创。 【难易系数】0.90 【评价要点】选 A。 题3（原创）面积列方程（锦里） 用总长 20 m 的篱笆靠墙围成一个矩形菜地，设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为＿＿m，若面积为 48 m²，列方程为＿＿。 【答案】20−2x；x(20−2x)=48。 【设计意图】用“一边靠墙”确定各边与方程。对应“面积问题”。 【材料出处】锦里情境原创。 【难易系数】0.88 【评价要点】边 20−2x，方程正确。 题4（原创）传播问题列方程（成都马拉松） 某健身群每轮每人转发给 x 人，第一轮后共（1+x）人收到，第二轮后共 121 人收到，则列方程为（　　） A．1+x+x²=121 C．1+2x=121 B．(1+x)²=121 D．x²=121 【答案】B。 【设计意图】传播两轮后人数为 (1+x)²。对应“传播问题”。 【材料出处】成都马拉松情境原创。 【难易系数】0.85 【评价要点】选 B，(1+x)²=121。 题5（原创）边框面积（东郊记忆） 一张矩形照片长 20 cm、宽 12 cm，四周加等宽边框后总面积为 420 cm²，设边框宽 x cm，则列方程为＿＿。 【答案】(20+2x)(12+2x)=420。 【设计意图】边框使长、宽各加 2x。对应“面积问题”。 【材料出处】东郊记忆情境原创。 【难易系数】0.85 【评价要点】方程正确（各加 2x）。 题6（原创）销售利润列方程（锦里小吃） 某小吃进价每份 8 元，售价每份 12 元每天可卖 60 份；每提价 1 元每天少卖 5 份。设提价 x 元，则单份利润为＿＿元，每天销量为＿＿份，若想每天获利 400 元，列方程为＿＿。 【答案】(4+x)(60−5x)=400。 【设计意图】利润＝单件利润×件数，建立销售利润模型。对应“销售利润问题”。 【材料出处】锦里小吃情境原创。 【难易系数】0.85 【评价要点】方程 (4+x)(60−5x)=400。 题7（原创）增长率填空（四川科技馆） 某科技馆 2025 年参观人数为 a 万，2027 年为 b 万，若年均增长率为 x，则列方程为＿＿。 【答案】a(1+x)²=b。 【设计意图】巩固增长率模型，明确已知、未知。对应“增长率问题”。 【材料出处】四川科技馆情境原创。 【难易系数】0.90 【评价要点】a(1+x)²=b。 题8（原创）直角三角列方程（成都地铁） 直角三角形的两条直角边相差 3 cm，斜边为 15 cm，设较短的直角边为 x cm，则列方程为＿＿。 【答案】x²+(x+3)²=15²。 【设计意图】把勾股定理与一元二次方程结合。对应“勾股应用”。 【材料出处】成都地铁情境原创。 【难易系数】0.88 【评价要点】x²+(x+3)²=15²。 提升层（必做） 题9（原创）面积完整建模（锦里） 一块矩形菜地的长比宽多 3 m，面积为 28 m²，求它的宽。设宽为 x m，列方程并求解。 【答案】x(x+3)=28，即 x²+3x−28=0，(x+7)(x−4)=0，x=−7（舍）或 x=4；宽为 4 m。 【设计意图】完整建模求解，并检验舍去负根。对应“面积问题”。 【材料出处】锦里情境原创。 【难易系数】0.78 【评价要点】方程正确、舍去 −7、宽 4 m。 题10（原创）销售利润完整建模（春熙路） 某店进价每件 40 元，售价 60 元时可卖 100 件；每涨价 1 元少卖 2 件。要获利 1200 元，应涨价多少元？设涨价 x 元，列方程并求解。 【答案】(20+x)(100−2x)=1200，即 −2x²+60x+2000=1200，x²−30x+400=0，(x−20)(x−10)=0，x=20 或 x=10；涨价 10 元或 20 元均可。 【设计意图】综合运用单件利润×件数，检验解的合理性。对应“销售利润问题”。 【材料出处】春熙路情境原创。 【难易系数】0.75 【评价要点】方程正确，x=10 或 20。 题11（原创）传播完整建模（成都马拉松） 某种信息经两轮传播后共有 121 人收到（初始 1 人），求每轮传播给多少人。 【答案】设每轮传给 x 人，(1+x)²=121，1+x=±11，x=10 或 x=−12（舍）；每轮传播给 10 人。 【设计意图】传播问题 (1+x)²=n，检验舍去负根。对应“传播问题”。 【材料出处】成都马拉松情境原创。 【难易系数】0.78 【评价要点】x=10，舍 −12。 题12（原创）面积取舍（都江堰） 一块矩形草坪的宽为 x m，长比宽多 4 m，面积为 32 m²。列方程 x(x+4)=32 后，解出的根为 x=4 和 x=−8，应取＿＿，因为＿＿。 【答案】取 x=4；因为宽 x 表示长度，必须为正，−8 不符合实际意义。 【设计意图】强化“检验根是否符合实际意义”。对应“检验取舍”。 【材料出处】都江堰情境原创。 【难易系数】0.80 【评价要点】取 4，理由正确。 拓展层（选做） 题13（原创）增长率+面积综合（宽窄巷子） 某街区的绿化面积 2025 年为 2000 m²，计划 2027 年达到 2880 m²，求绿化面积的年均增长率。 【答案】设年均增长率为 x，2000(1+x)²=2880，(1+x)²=1.44，1+x=±1.2，x=0.2 或 x=−2.2（舍）；年均增长率为 20%。 【设计意图】综合增长率建模与检验，体会百分数结果。对应“增长率问题”。 【材料出处】宽窄巷子情境原创。 【难易系数】0.72 【评价要点】x=0.2，即 20%。 题14（原创）开放设计（成都景点） 请以成都的一处景点（如锦里、宽窄巷子、成都大熊猫基地）为背景，自编一道能用一元二次方程解决的实际问题，并列出方程、求出解、检验取舍。 【答案】（示例）大熊猫基地某日参观人数为 1 万人，若日均增长率为 x，两日后达 1.21 万人，求 x。(1+x)²=1.21，x=0.1（舍负根），增长率为 10%。合理即可。 【设计意图】开放性建模，考查完整的问题设计与建模能力。对应“模型观念”。 【材料出处】成都大熊猫基地情境原创。 【难易系数】0.65 【评价要点】自编题合理、方程正确、有取舍。 四、作业评价设计 采用“过程+结果”双轨评价，每题从三个维度评定等级，综合折算为 A、B、C 等，体现素养导向。 评价指标 A等（优秀） B等（良好） C等（合格） 建模准确性 等量关系正确、方程无误 方程正确、步骤有缺 等量关系错误 求解与检验 求解正确、检验取舍合理 求解正确、检验不完整 求解错误或未检验 表达与规范 设、列、解、答完整规范 基本规范、偶有疏漏 过程缺失、表述混乱 综合评价：AAA、AAB 为 A 等；ABB、BBB、AAC 为 B 等；其余为 C 等。拓展层（题13—14）鼓励多种解法，只要模型合理、过程充分即予 A 等。 五、参考答案与解析（教师版） 5.1 题目汇编（全 14 题 · 与第三节一致） 基础层（必做） 题1 某地铁站 2025 年日客流 a 万人次，年增长率 x，则 2027 年日客流为＿＿万人次。 题2 某商品 2025 年售价 100 元，每次平均降价率 x，2027 年售价 64 元，列方程为（　　）　A．100(1−x)²=64　B．100(1+x)²=64　C．64(1−x)²=100　D．100(1−2x)=64 题3 用总长 20 m 篱笆靠墙围矩形菜地，垂直于墙边长 x m，平行于墙边长为＿＿m，面积 48 m² 时列方程为＿＿。 题4 某群每轮每人转发 x 人，第二轮后共 121 人收到，列方程为（　　）　A．1+x+x²=121　B．(1+x)²=121　C．1+2x=121　D．x²=121 题5 矩形照片长 20 cm、宽 12 cm，四周加等宽边框后总面积 420 cm²，边框宽 x cm，列方程为＿＿。 题6 小吃进价 8 元、售价 12 元可卖 60 份，每提价 1 元少卖 5 份。提价 x 元，单份利润＿＿元、每天销量＿＿份，日获利 400 元列方程为＿＿。 题7 科技馆 2025 年参观 a 万、2027 年 b 万，年均增长率 x，列方程为＿＿。 题8 直角三角形两直角边相差 3 cm、斜边 15 cm，较短直角边 x cm，列方程为＿＿。 提升层（必做） 题9 矩形菜地长比宽多 3 m、面积 28 m²，设宽 x m，列方程并求解。 题10 进价 40、售价 60 可卖 100 件，每涨价 1 元少卖 2 件，要获利 1200 元，设涨价 x 元，列方程并求解。 题11 某种信息两轮传播后共 121 人收到（初始 1 人），求每轮传播给多少人。 题12 矩形草坪宽 x m、长比宽多 4 m、面积 32 m²，方程 x(x+4)=32 的解为 x=4 和 x=−8，应取＿＿，因为＿＿。 拓展层（选做） 题13 绿化面积 2025 年为 2000 m²、2027 年达 2880 m²，求年均增长率。 题14 以成都一处景点为背景，自编一元二次方程应用题并列出方程、求出解、检验取舍。 5.2 参考答案与解析（按题号集中） 题1：a(1+x)²。 题2：A。 题3：20−2x；x(20−2x)=48。 题4：B，(1+x)²=121。 题5：(20+2x)(12+2x)=420。 题6：(4+x)(60−5x)=400。 题7：a(1+x)²=b。 题8：x²+(x+3)²=15²。 题9：x(x+3)=28，(x+7)(x−4)=0，x=−7（舍）或 x=4，宽 4 m。 题10：(20+x)(100−2x)=1200，x=10 或 x=20。 题11：(1+x)²=121，x=10（舍 −12）。 题12：取 x=4，因宽必须为正。 题13：2000(1+x)²=2880，x=0.2，即 20%。 题14：示例：熊猫基地 1 万人，日增 x，两日后 1.21 万，x=0.1（10%），合理即可。 六、学生版作业（无答案 · 供课堂发放） 本页在“学习任务单”之后给出完整题目，均隐去答案与解析，请学生先完成探究单再独立写作业；答案见第五节。 基础层（必做） 题1 某地铁站 2025 年日客流 a 万人次，年增长率 x，则 2027 年日客流为＿＿万人次。 答：＿＿。 题2 某商品 2025 年售价 100 元，每次平均降价率 x，2027 年售价 64 元，列方程为（　　）　A．100(1−x)²=64　B．100(1+x)²=64　C．64(1−x)²=100　D．100(1−2x)=64 答：（　　） 题3 用总长 20 m 篱笆靠墙围矩形菜地，垂直于墙边长 x m，平行于墙边长为＿＿m，面积 48 m² 时列方程为＿＿。 答：＿＿；＿＿。 题4 某群每轮每人转发 x 人，第二轮后共 121 人收到，列方程为（　　）　A．1+x+x²=121　B．(1+x)²=121　C．1+2x=121　D．x²=121 答：（　　） 题5 矩形照片长 20 cm、宽 12 cm，四周加等宽边框后总面积 420 cm²，边框宽 x cm，列方程为＿＿。 答：＿＿。 题6 小吃进价 8 元、售价 12 元可卖 60 份，每提价 1 元少卖 5 份。提价 x 元，单份利润＿＿元、每天销量＿＿份，日获利 400 元列方程为＿＿。 答：＿＿；＿＿；＿＿。 题7 科技馆 2025 年参观 a 万、2027 年 b 万，年均增长率 x，列方程为＿＿。 答：＿＿。 题8 直角三角形两直角边相差 3 cm、斜边 15 cm，较短直角边 x cm，列方程为＿＿。 答：＿＿。 提升层（必做） 题9 矩形菜地长比宽多 3 m、面积 28 m²，设宽 x m，列方程并求解。 答：＿＿。 题10 进价 40、售价 60 可卖 100 件，每涨价 1 元少卖 2 件，要获利 1200 元，设涨价 x 元，列方程并求解。 答：＿＿。 题11 某种信息两轮传播后共 121 人收到（初始 1 人），求每轮传播给多少人。 答：＿＿。 题12 矩形草坪宽 x m、长比宽多 4 m、面积 32 m²，方程 x(x+4)=32 的解为 x=4 和 x=−8，应取＿＿，因为＿＿。 答：＿＿；＿＿。 拓展层（选做） 题13 绿化面积 2025 年为 2000 m²、2027 年达 2880 m²，求年均增长率。 答：＿＿。 题14 以成都一处景点为背景，自编一元二次方程应用题并列出方程、求出解、检验取舍。 答：＿＿。 七、附：图像与素材说明 本课时以“建模—求解—检验”为主线，以文本、表格与符号为主，不需几何配图；如需动态演示，可参照 1.6 用 GeoGebra 呈现增长率曲线与面积变化辅助建模。 学科网（北京）股份有限公司 $