25.2 《降次——解一元二次方程》讲义 2026—2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，以前置的一元一次方程解法、完全平方公式及因式分解为基础，为后续用一元二次方程解决实际问题及函数学习搭建运算支架。 该资料以“降次”为主线，通过正方形花坛面积等情境抽象方程，设计方法选择表格与典型错误辨析，培养学生数学眼光与推理思维。课中助力教师系统授课，课后检测、分层练习及复盘活动帮助学生规范表达解法，查漏补缺。

第二十五章 一元二次方程｜2026—2027学年 第25.2课《降次——解一元二次方程》讲义 2026—2027学年｜人教版数学九年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：3课时 一、学习定位与目标 本节在本章中的作用：本节以“降次”为主线，学习直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解数字系数一元二次方程。 与前置知识的联系：学生已会解一元一次方程、完全平方公式、因式分解，并已认识一元二次方程的一般形式。 对后续学习的作用：为用一元二次方程解决实际问题及后续函数学习中的方程观点奠定运算基础。 本节重点解决的数学问题：怎样把二次方程转化为已会解的一次方程或两个一次方程，并保证解的正确性。 学习目标（可观察、可评价） 1. 能在具体情境和代数式中识别本节对象，并写出或判断其成立条件。 2. 能按“观察结构—选择方法—规范变形—检验结果”的步骤完成典型任务。 3. 能说明关键变形或结论的依据，辨析至少两类常见错误。 4. 能用本节知识解决一个条件完整的简单实际问题，并解释结果是否合乎题意。 二、课时安排 课时 核心任务与重点知识 学习成果与典型活动 第1课时 直接开平方法；平方根意义；根的检验。 能识别 (x+p)²=q 型，依据 q 的正负判断并求解。 第2课时 配方法、公式法；判别式 b²−4ac 的作用。 能配成完全平方式；能正确代入公式并判断实数根情况。 第3课时 因式分解法与方法选择；根的检验。 能将乘积为 0 转化为一次方程，完成方法比较活动。 三、课前激活：回顾已学知识 1. 若 y²=16，求 y。（答案：y=4 或 y=−4） 2. 分解因式：x²−5x。（答案：x(x−5)） 3. 完成平方：x²+6x+____=(x+3)²。（答案：9） 4. 解方程 2x−3=0。（答案：x=二分之三） 四、总思想：什么叫“降次” 解一元二次方程的核心不是“把 x² 直接消掉”，而是把二次关系转化为可以处理的一次关系或平方根关系。每种方法都要先观察结构，再作等价变形，最后检验。 ★规范 使一元二次方程逐步转化为两个一元一次方程，或转化为可直接利用平方根意义求解的方程的过程，体现了降次思想。一个一元二次方程的解，也叫这个方程的根。 五、第1课时：直接开平方法 问题情境：正方形花坛的边长比 2 m 多 x m，面积为 25 m²。由面积得到 (x+2)²=25。 观察：若 z²=q，则 q>0 时 z 有两个互为相反数的实数值；q=0 时 z=0；q<0 时没有实数值。因此“开平方”必须同时考虑正、负两个平方根。 方程结构 实数范围内的结论 成立条件 (x+p)²=q x+p=±√q q≥0；q<0 时无实数根。 x²=q x=±√q q≥0；q=0 时两式给出同一根 0。 经典例题1：解方程 (2x−3)²=49。 思路分析：左边是一个整体的平方。先令 2x−3=±7，再分别解两个一元一次方程。 规范解答：2x−3=7 或 2x−3=−7，所以 x=5 或 x=−2。检验：代入原方程，(10−3)²=49，(−4−3)²=49，均成立。 变式1：解 (x+1)²=0。答案：x=−1。说明：±0 仍是 0，只有一个实数根。 变式2：解 (x−4)²=−1。答案：在实数范围内无解。理由：任何实数的平方不小于 0。 六、第2课时：配方法与公式法 活动问题：对于 x²+6x−7=0，怎样制造一个完全平方式？方案：两边同加 9，因为 x²+6x+9=(x+3)²。 操作与推理：x²+6x−7=0 等价于 x²+6x=7；两边同加 9，得 (x+3)²=16；于是 x+3=±4，x=1 或 x=−7。这里“同加一个数”保证方程等价，补的数来自一次项系数一半的平方。 ★方法 配方法：对于 x²+px+q=0，先移项得 x²+px=−q，再在两边同加“一次项系数一半的平方”，把左边配成完全平方式。系数不是 1 时，可先把二次项系数化为 1；注意每一项都要除以该非零系数。 由一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）通过配方可得到求根公式。 ★重点 使用公式法的条件：方程已整理为 ax²+bx+c=0，a≠0；代入时 b、c 要连同符号代入。令 Δ=b²−4ac：Δ>0 时有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时在实数范围内无解。 经典例题2：解方程 2x²−3x−2=0。 思路分析：它不易直接开平方，且可因式分解；本题用公式法展示通用路径。a=2，b=−3，c=−2。 规范解答：Δ=(−3)²−4×2×(−2)=25。 所以 x=2 或 x=负二分之一。检验：代入 2x²−3x−2，x=2 时值为 0；x=负二分之一时值也为 0。 变式1：解 x²−4x+4=0。答案：Δ=0，x=2。 变式2：解 x²+2x+5=0。答案：Δ=−16<0，在实数范围内无解。 七、第3课时：因式分解法与方法选择 当方程左边能分解为两个一次式的积时，可利用“如果两个因式的积等于 0，那么至少有一个因式等于 0”。 例：x²−5x+6=0 可化为 (x−2)(x−3)=0，所以 x−2=0 或 x−3=0，得 x=2 或 x=3。这里不能只取一个因式等于 0。 结构特征 优先方法 检验重点 (x+p)²=q 直接开平方法 正、负平方根是否都写出；q 的正负。 可迅速配成平方 配方法 两边加的是同一个数；完全平方公式符号。 一般式且不易分解 公式法 a、b、c 符号；Δ；分母 2a。 左边可分解成积 因式分解法 分解彻底；每个因式均要令为 0。 八、★高频考点与典型错误 考点 主要考查/设问 基本路径与检查 根的概念 “某数是否为根” 代入原方程，左边与右边相等即为根。 公式法 “求根/判断根的情况” 整理—写 a,b,c—算 Δ—代公式—化简—代回。 方法选择 “用恰当方法解” 先识别平方结构、积为零结构，再考虑配方或公式。 ★易错 错误：由 y²=16 写 y=4。原因：漏掉负平方根。正确：y=±4；检查时平方回代。 ★易错 错误：在公式中把 b=−3 代成 3。原因：没有连同符号代入。正确：写成 −(−3)，再计算。检查策略：先单列 a、b、c。 ★易错 错误：由 (x−2)(x+1)=0 只令 x−2=0。原因：误解零乘积性质。正确：两个因式分别等于 0。检查策略：写出“或”。 ★易错 错误：Δ<0 仍写两个实数根。正确：在实数范围内无解。检查策略：先判断 Δ 的符号，再决定是否开平方。 九、3—5分钟检测 1. 解：(x−3)²=4。 2. 解：x²−6x+9=0。 3. 对 3x²+x−2=0，写出 a、b、c，并求 Δ。 4. 判断：方程 x²+1=0 在实数范围内有两个根。 5. 解：x²−9x=0。 参考答案：1.x=5 或 x=1；2.x=3；3.a=3，b=1，c=−2，Δ=25；4.错，Δ=−4，无实数根；5.x=0 或 x=9。 十、分层练习 【基础巩固】1. 解 (x+4)²=36。答案：x=2 或 x=−10。 【基础巩固】2. 解 x²−7x+12=0。答案：x=3 或 x=4。 【方法迁移】3. 用公式法解 3x²−5x−2=0。答案：x=2 或 x=负三分之一。 【思维提升】4. 已知 x=1 是 x²+(m−2)x−m=0 的一个根，求 m，并解原方程。答案：恒成立；方程化为 (x−1)(x+m)=0，另一根为 −m（m=−1 时两根相等为 1）。 十一、方法复盘活动 请将“x²−4x=0、(x+1)²=9、x²+2x−5=0”分别归入最优方法。参考：依次优先因式分解、直接开平、配方法或公式法。理由要写出结构，不只写方法名。 反向检验：把求得的根逐一代入原方程；若使用因式分解，展开所得因式积应回到原多项式；若使用公式法，重新核对 Δ 与分母 2a。 比较：配方法揭示求根公式的来由，公式法具有普适性；因式分解计算简洁但依赖结构。选择方法体现“观察结构—合理转化”。 课堂小结与自我检查 核心梳理：解题总线是降次：平方结构用直接开平；可配方时用配方法；一般式可用公式法；可分解时用因式分解法。公式法的 Δ 决定实数根情况。 ★易错提醒：漏写负平方根、漏掉一个因式、b 的符号代错、把 Δ<0 误写为有实根。 自我检查：①对象或方程的条件是否写全？②每一步变形是否等价或已说明限制？③求得的数是否代回原式（或原情境）检验？④单位、正负性和实际意义是否合理？ 人教版数学九年级上册（2025秋版） 学科网（北京）股份有限公司 $