精品解析：四川达州市开江县永兴中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市开江县永兴中学2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 解一元二次方程最适宜的方法是（ ） A. 直接开平方 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 配方法 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 3. 关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的对角线交于点分别为的中点，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 _____． 10. 已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是_____． 11. 若一元二次方程有一个根为，则___________． 12. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________． 13. 已知m是方程的一个实数根，则的值是_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 16. 如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 17. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 18. 平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． （1）求的长； （2）求点E的坐标及直线的函数关系式； （3）若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 20. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号表示a、b中的较大数，如：．按照这个规定，方程 的解为____________． 21. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，，垂足分别为、，连接，则的长最小为______． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，则m的值为_____ 23. 如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 25. 阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”． 他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解： 将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36． 所以(x＋1)2＝36，则 x＝5. 任务：请回答下列问题 (1)上述求解过程中所用的方法是( ) A.直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 (2)所用的数学思想方法是( ) 的 A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.转化思想 D.公理化思想 (3)运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形 26. 在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． （2）【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； （3）【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市开江县永兴中学2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 解一元二次方程最适宜的方法是（ ） A. 直接开平方 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 配方法 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边都有因式（x-1），因此最适宜采用因式分解法解方程. 【详解】在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1）， ∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）. 故选：C. 【点睛】此题考查解一元二次方程的方法选用，在解一元二次方程时，根据方程的特点选择适合的方法来解方程是解题的关键. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项A不符合题意； B．四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项B不符合题意； C．四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，即选项C不符合题意； D．四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，即选项D符合题意． 3. 关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根 ∴，解得， 由一次函数可得，， ∴一次函数过一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C 【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，据此计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 5. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由原方程的已知根推导出的一个根，结合，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 6. 如图，正方形的对角线交于点分别为的中点，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到；利用三角形中位线，得到，结合已知求解即可． 【详解】解：正方形的对角线交于点， ， 分别为的中点， ， ， ， ． 7. 下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 8. 在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，根据旋转的性质，可以得到点D的对应点第2028秒在第三象限且与点D关于原点对称，即可写出点D对应点的坐标． 【详解】解：如图，连接， 点在线段的垂直平分线上， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 菱形绕点逆时针旋转，旋转速度为每秒， 菱形绕点每秒旋转一周， ，， 第2028秒时点的对应点在第三象限，与点关于原点对称， 此时点的对应点的坐标为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程得到第三边的长，然后根据构成三角形的条件进行判断，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：∵x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝6， 当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去； 当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 10. 已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是_____． 【答案】##13厘米 【解析】 【分析】因为菱形的对角线互相平分且垂直，所以是直角三角形，且易得． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的边长为． 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质与勾股定理．掌握菱形的对角线互相垂直且互相平分是解答本题的关键． 11. 若一元二次方程有一个根为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的根代入原方程，整理即可得到的值． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 整理得， 移项得． 12. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 已知m是方程的一个实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：，整理得：， 将代入得 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）原方程运用配方法求解即可． （2）原方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程移项可得：， ， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：原方程移项可得：， ， 或， 解得：，． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出不等式，即可求解； （2）由， ，结合，列出关于m的方程进而即可求解 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根和， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∴，即， ∴， 解得：， ∵， ∴ 16. 如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为 （2）该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 18. 平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． （1）求的长； （2）求点E的坐标及直线的函数关系式； （3）若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 【小问3详解】 解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【详解】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 20. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号表示a、b中的较大数，如：．按照这个规定，方程 的解为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据新定义表示两数中较大的数，分、两种情况讨论，去掉符号转化为分式方程求解，检验并舍去不符合范围的根． 【详解】解：①当时，， ， ， ， ∴， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ∴； 综上，方程的解为或． 21. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，，垂足分别为、，连接，则的长最小为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质，结合，，可得四边形为矩形，根据矩形的对角线相等，结合垂线段最短，利用面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ∴的最小值就是的最小值， 点从点沿着往点移动， ∴当时，取最小值， ，，， ∴， ， ． 的长度最小为． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，则m的值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20-4m≥0，解之即可得出m的取值范围．由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1•x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=-x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2， ∴△＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． ∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2＝6①，x1•x2＝m+4②． ∵3x1＝|x2|+2， 当x2≥0时，有3x1＝x2+2③， 联立①③解得：x1＝2，x2＝4， ∴8＝m+4，m＝4； 当x2＜0时，有3x1＝﹣x2+2④， 联立①④解得：x1＝﹣2，x2＝8（不合题意，舍去）． ∴符合条件的m的值为4． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系公式：，是解题的关键． 23. 如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点B，E落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点C，G落在直线的两侧，连接．若，则的长为 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】证明得，过点C作并延长交于M，则四边形是矩形，求出，，，然后利用勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，， ，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 过点C作并延长交于M，则四边形是矩形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：13． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC=90°，OC=OA=AC， ∵BE=AC， ∴BE=OC， ∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形， ∵∠BOC=90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）BF的长为． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论； （2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8， ∴BD=2OB=16， 由（1）得：四边形BECO是矩形， ∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE， ∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE， 在△ODF和△CEF中， ， ∴△ODF≌△CEF（ASA）， ∴DF=EF， ∵∠DBE=90°， ∴BF=DE=， 故BF的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键． 25. 阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”． 他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解： 将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36． 所以(x＋1)2＝36，则 x＝5. 任务：请回答下列问题 (1)上述求解过程中所用的方法是( ) A.直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 (2)所用的数学思想方法是( ) 的 A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.转化思想 D.公理化思想 (3)运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形 【答案】（1）C;（2）B;（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法； （2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想； （3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题． 【详解】（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法，故选C. （2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的，故选B. （3）如图所示, 大正方形边长为x+4,四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16， 而x2+8x−9=x2+8x+16−25=0. 所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则画出图形进行解答. 26. 在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． （2）【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； （3）【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 【答案】（1）证明：如图，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， ． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴； ∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得，四边形是矩形，推出对角线相等，即可得到； （2）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出；，根据菱形的判定，即可； （3）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，等边对等角，得到，，，根据三角形的外角，求出，，根据三角形的内角和，得到，求出，最后根据，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $