四川达州市通川区碑庙镇初级中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

通川区碑庙镇初级中学2026年秋季学期九年级（上）9月学情自测数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）下列说法错误的是（　　） A．平行四边形是中心对称图形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．四边形具有不稳定性 2．（4分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2＝12 B． C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+y＝1 3．（4分）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（　　） A．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 C． D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10 4．（4分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC 5．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（　　） A．12 B．16 C． D． 6．（4分）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 7．（4分）如图，在▱ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF＝2，则FD等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，DE，AF交于点G，连接CG，EF，DF，则下列说法正确的个数为（　　） ①△ADE≌△BAF；②DG：DE＝4：5；③依次连接AE，EF，DF，AD的中点P，Q，M，N，则四边形MNPQ为等腰梯形；④2∠ADE+∠BCG＝90°． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9．（4分）已知是关于x的一元二次方程，则k的值为 　　 ． 10．（4分）已知abc≠0，且，则k的值为　　 ． 11．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AD＝10，DE⊥AB交AB于点E，且DE＝6，则对角线BD的长为　　 ． 12．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是________． 13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在第一象限，点B（2，0），△AOB是等腰直角三角形，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，那么点C的坐标是　　 ． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14．（12分）解方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（x﹣3）＝2x﹣6； （3）． 15．（8分）已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 16．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点（BE＜DE）． （1）求证：AE＝CE； （2）若，∠AEC＝120°，求BE的长度． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，M是AD的中点，连接MC，MB，其中MC交对角线BD于E，MB交对角线AC于F． （1）如果ME＝MF，求证：四边形ABCD是矩形； （2）连接EF，记▱ABCD的面积为S1，△MEF的面积为S2，求证：S1＝18S2． 18．（10分）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①． 试判断：△ACF的形状为 　　 ． （2）深入探究 小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4． 探究一： ①若矩形CEFG绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②，求△CMF的面积． 探究二： ②若矩形CEFG绕点C逆时针旋转m°，边CG与边AD交于点M，连接BM，当∠BMC+∠AMC＝180°时，如图③．请直接写出m的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）已知，且b+d+f≠0，则 　　 ． 20．（4分）已知一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两根分别为m，n，则的值为　　 ． 21．（4分）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个等腰三角形各边长为 　．　 ． 22．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB的中线CD，得到第一个△ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB的中线EF，得到第二个△DEF，依此作下去…，则第4个三角形的面积等于_______． 23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝7，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝3，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 25．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 参考答案 通川区碑庙镇初级中学2026年秋季学期九年级（上）9月学情自测数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）下列说法错误的是（　　） A．平行四边形是中心对称图形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．四边形具有不稳定性 【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，选项说法正确，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项说法错误，符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； D、四边形具有不稳定性，选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 2．（4分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2＝12 B． C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+y＝1 【解答】解：A、3x2＝12，是一元二次方程，符合题意； B、，是分式方程，不符合题意； C、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，不符合题意； D、2x2+y＝1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3．（4分）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（　　） A．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 C． D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10 【解答】解：A．4×10≠5×6，则a、b、c、d不成比例，所以A选项不符合题意； B．2×6＝3×4，则a、b、c、d成比例，所以B选项符合题意； C．2×102，则a、b、c、d不成比例，所以C选项不符合题意； D．0.8×10≠1×3，则a、b、c、d不成比例，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4．（4分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC 【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确； B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误； C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确； D、菱形的对角线互相平分，OA＝OC，故D选项正确． 故选：B． 5．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（　　） A．12 B．16 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4， ∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝2， ∴BC2， ∴矩形ABCD的周长为2（AB+BC ）＝24+4． 故选：D． 6．（4分）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 【解答】解：因为x＝1.5时，x2﹣x＝0.75， x＝1.8时，x2﹣x＝1.44， 所以1.5＜a＜1.8． 故选：C． 7．（4分）如图，在▱ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF＝2，则FD等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AD＝BC，AD∥BC，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：∵在▱ABCD中，E为BC中点， ∴AD＝BC，AD∥BC，2BE＝BC＝AD， ∴△BFE∽△DFA， ∴， 即， 解得：FD＝4， 故选：C． 8．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，DE，AF交于点G，连接CG，EF，DF，则下列说法正确的个数为（　　） ①△ADE≌△BAF；②DG：DE＝4：5；③依次连接AE，EF，DF，AD的中点P，Q，M，N，则四边形MNPQ为等腰梯形；④2∠ADE+∠BCG＝90°． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意可得：AD＝BC＝AB，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°．AE＝BF，BF＝CF， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS），故①正确； ∴∠ADE＝∠BAF， 由条件可知∠DAG+∠ADE＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AF⊥DE． 设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝a， ∴， 由DE•AG＝AE•AD可得，勾股定理得， ∴DG：DE＝4：5，故②正确； 由中位线的性质可得：，，，， ∴PN∥QM，PN＝QM，PQ∥MN，PQ＝MN， ∴四边形PQMN是平行四边形， 由①②可知，AF＝ED，AF⊥DE， ∴PN＝QM＝PQ＝MN，∠PNM＝90°， ∴平行四边形PQMN是正方形，故③错误； 如图，延长AF交DC的延长线于点H， ∵AB∥DC， 在△ABF和△HCF中， ， ∴△ABF≌△HCF（AAS）， ∴AB＝HC＝CD， ∴点C是DH的中点， 由条件可知∠DGH＝90°， CD＝CH， ∴， ∴， ∴2∠ADE+∠BCG＝90°，故④正确． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9．（4分）已知是关于x的一元二次方程，则k的值为 　﹣2　 ． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 10．（4分）已知abc≠0，且，则k的值为　1或　 ． 【解答】解：由已知得，a+b＝2ck，b+c＝2ak，c+a＝2bk， ∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c）， ∴当a+b+c≠0时，得k＝1， 当a+b+c＝0时，则a+b＝﹣c， ∴k， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 11．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AD＝10，DE⊥AB交AB于点E，且DE＝6，则对角线BD的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AB＝AD＝10， ∵DE⊥AB，DE＝6， ∴， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2， ∴BD2， 故答案为：． 12．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣1且m≠0　 ． 【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m•（﹣1）≥0，且m≠0， 解得：m≥﹣1且m≠0． 故答案为：m≥﹣1且m≠0． 13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在第一象限，点B（2，0），△AOB是等腰直角三角形，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，那么点C的坐标是　（3，1）　 ． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∵点B（2，0），△AOB是等腰直角三角形，AE⊥OB， ∴OB＝2，AE＝BE＝1， ∴∠ABE＝∠EAB＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠CBF＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴∠EAB＝∠FBC＝45°， 在△EAB和△FBC中， ， ∴△EAB≌△FBC（AAS）， ∴BF＝AE＝CF＝BE＝1， ∴OF＝OB+BF＝3， ∴点C的坐标是（3，1）． 故答案为：（3，1）． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14．（12分）解方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（x﹣3）＝2x﹣6； （3）． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12＝0， 因式分解可得： （x﹣6）（x+2）＝0， x1＝6，x2＝﹣2， （2）x（x﹣3）＝2x﹣6， 因式分解可得： x（x﹣3）＝2（x﹣3）， （x﹣3）（x﹣2）＝0， x1＝3，x2＝2； （3）， ， ， ， ，． 15．（8分）已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 【解答】解：（1）当m＝3时，得方程为： x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2； （2）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）×2＝0， 解得m， 即m的值为． 16．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点（BE＜DE）． （1）求证：AE＝CE； （2）若，∠AEC＝120°，求BE的长度． 【解答】（1）证明：连接AC交BD于O点，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴直线BD为线段AC的垂直平分线， 又∵点E在BD上， ∴CE＝AE； （2）解：∵，四边形ABCD为正方形， ∴，BD⊥AC，BO＝DO＝CO＝AO＝4， ∵AE＝CE，∠AEC＝120°， ∴， ∴AE＝2OE， ∴AE2﹣OE2＝OA2，即4OE2﹣OE2＝42， ∴， ∴． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，M是AD的中点，连接MC，MB，其中MC交对角线BD于E，MB交对角线AC于F． （1）如果ME＝MF，求证：四边形ABCD是矩形； （2）连接EF，记▱ABCD的面积为S1，△MEF的面积为S2，求证：S1＝18S2． 【解答】证明：（1）如图1，过点M作MN∥CD，交BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形CDMN是平行四边形， ∴DM＝CN， ∵M是AD的中点， ∴DM＝AMAD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴DM＝AM＝CNBC，△DEM∽△BEC， ∴， ∴MECM， 同理：△AFM∽△CFB， ∴， ∴MFBM， ∵ME＝MF， ∴CM＝BM， ∴△BMC是等腰三角形， ∵CNBC， ∴点N是BC的中点， ∴MN⊥BC， ∵MN∥CD， ∴CD⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）如图2，连接EF， 由（1）知：MECM，MFBM， ∴， ∵∠EMF＝∠CMB， ∴△MEF∽△MCB， ∴（）2＝（）2， ∴S△MCB＝9S△MEF＝9S2， 设△MCB边BC上的高为h， 则S△MCBh×BC，S平行四边形ABCD＝h×BC， ∴S平行四边形ABCD＝2S△MCB， ∴S1＝2×9S2＝18S2． 18．（10分）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①． 试判断：△ACF的形状为 　等腰直角三角形　 ． （2）深入探究 小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4． 探究一： ①若矩形CEFG绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②，求△CMF的面积． 探究二： ②若矩形CEFG绕点C逆时针旋转m°，边CG与边AD交于点M，连接BM，当∠BMC+∠AMC＝180°时，如图③．请直接写出m的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD和CEFG是两个完全相同的矩形， 在△ABC和△CEF中， ， ∴△ABC≌△CEF（SAS）， ∴AC＝FC，∠ACB＝∠CFE， ∵∠CFE+∠ECF＝90°， ∴∠ACB+∠ECF＝90°， ∴∠ACF＝90°， ∵AC＝FC，∠ACF＝90°， ∴△ACF为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）探究一：在△CDM和△FGM中， ， ∴△CDM≌△FGM（AAS）， ∴CM＝MF， ∵AC＝CF，CD⊥AF， ∴AD＝DF， ∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4， ∴DM＝4﹣MF＝4﹣CM， 在Rt△CDM中，CD2+DM2＝CM2， ∴22+（4﹣CM）2＝CM2， 解得， ∴， ∴△CMF的面积； 探究二：∵∠BMC+∠AMC＝180°，∠BMC+∠BMG＝180°， ∴∠AMC＝∠BMG， ∴∠AMC﹣∠AMB＝∠BMG﹣∠AMB， 即∠BMC＝∠AMG， ∵AD∥BC， ∴∠BCM＝∠AMG， ∴∠BMC＝∠BCM， ∴BM＝BC＝AD＝4， ∵∠A＝90°，， ∴， ∴∠AMB＝30°， ∴AD∥BC， ∴∠CBM＝∠AMB＝30°， ∴， ∴∠DCG＝90°﹣75°＝15°， 即m＝15． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）已知，且b+d+f≠0，则 　　 ． 【解答】解：∵， ∴ab，cd，ef， ∴． 故答案为：． 20．（4分）已知一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两根分别为m，n，则的值为　　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2026， ∴， 故答案为：． 21．（4分）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个等腰三角形各边长为 　10cm，10cm，1cm．　 ． 【解答】解：①如图， AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm， ∵AD＝DC，AB＝AC， ∴2AD+AD＝6cm， ∴AD＝2cm， ∴AB＝4cm，BC＝13cm， ∵AB+AC＜BC， ∴不能构成三角形，故舍去， ②如图，AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm， 同理得：AB＝10cm，BC＝1cm， ∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC， ∴能构成三角形， ∴腰长为10cm，底边为1cm， 故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm． 故答案为：10cm，10cm，1cm． 22．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝a，作斜边AB的中线CD，得到第一个△ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB的中线EF，得到第二个△DEF，依此作下去…，则第4个三角形的面积等于　a2 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形， 同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形， ∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…， ∴第一个等边三角形的边长CD＝DBAB＝AC＝a， 第二个等边三角形的边长EFDBa， … 第n个等边三角形的边长为a， 所以，第n个三角形的面积a×（a）， ∴第4个三角形的面积a2a2． 故答案为：a2． 23．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝7，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝3，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为 　4　 ． 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝7，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝3， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为3的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝7﹣3＝4， ∴DG的最小值为4， 故答案为：4． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（47﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 25．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+4）2﹣4（2k+1） ＝k2+8k+16﹣8k﹣4 ＝k2+12， ∵k2≥0， ∴k2+12＞0，即△＞0， ∴x2﹣（k+4）x+2k+1＝0总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1， （x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+1﹣2（k+4）+4 ＝2k+1﹣2k﹣8+4 ＝﹣3； （3）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1， ∵M，N＝2﹣x1x2， ∴M﹣N2+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2， ∴M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2 ＝k2+16+8k﹣2k﹣1﹣2 ＝k2+6k+13 ＝（k+3）2+4＞0， ∴M＞N． 26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直； 证明如下： ∵AB＝AC，∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝45°． 由正方形ADEF得AD＝AF， ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠FAC， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD． ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°． ∴CF⊥BC． ∴CF⊥BD． （2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由是： 过点A作GA⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AGD＝45°， ∴AC＝AG， 同理可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°， 即CF⊥BD． （3）如图①，当AB＜AC时， 过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得AC＝AG， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD． 过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， 如图②，点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4． ∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 如图③，点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA＝45°， ∴AQ＝CQ＝4， ∴DQ＝4+x． 过A作AQ⊥BC， ∵CF⊥BD， ∴∠P+∠PDC＝90°， ∵∠PDC+∠ADQ＝90°， ∴∠ADQ＝∠P， ∵∠Q＝∠PCD＝90°， ∴△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $