15.3.1等腰三角形 讲义 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形的定义、性质（等边对等角、三线合一）及判定（等角对等边）核心知识点，以轴对称与全等三角形为学习支架，逐步展开概念、性质证明、综合应用及尺规作图的完整知识脉络。 该资料通过折纸探究培养几何直观，三种证明方法发展推理能力，典型例题含分类讨论强化严谨思维。课中思维导图助知识梳理，满分模板规范表达，课后例题与辅助线总结便于查漏补缺，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。

人教版八年级数学 · 15.3.1 等腰三角形 · 讲义 15.3.1 等腰三角形讲义 知识体系一览 一、知识回顾：轴对称与全等三角形 1. 轴对称复习 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2. 全等三角形判定方法回顾 判定方法 条件 SSS 三边对应相等 → 两三角形全等 SAS 两边及其夹角对应相等 → 全等 ASA 两角及其夹边对应相等 → 全等 AAS 两角及其中一角的对边相等 → 全等 HL 直角三角形中斜边和一条直角边相等 → 全等 本节核心： 等腰三角形是轴对称图形，利用轴对称性质和全等三角形，可以证明等腰三角形特有的边角关系。 二、等腰三角形的定义与概念 1. 定义 定义： 有两条边相等 的三角形叫做等腰三角形。 2. 相关概念 名称 定义 图示标注 腰 相等的两条边（AB和AC） AB = AC = 腰 底边 第三边（BC） BC = 底边 顶角 两腰的夹角（∠A） ∠A = 顶角 底角 底边与腰的夹角（∠B和∠C） ∠B = ∠C = 底角 3. 重要补充 ① 等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等），具备等腰三角形的一切性质。 ② 等腰三角形的底角一定是锐角（若底角为90°或更大，三角形内角和将超过180°）。 ③ 顶角可以是锐角、直角或钝角。当顶角=90°时，为等腰直角三角形，底角=45°。 三、性质定理1：等边对等角 1. 定理内容 性质定理1（等边对等角）： 等腰三角形的两个底角相等。 2. 折纸探究 将一张长方形纸按虚线对折，剪去阴影部分再展开，得到的△ABC中AB=AC，是等腰三角形。 沿折痕AD对折，可以发现：∠B与∠C重合，BD与CD重合。 猜想：∠B = ∠C（两个底角相等）。 3. 严谨证明（三种方法） 已知：在△ABC中，AB=AC。 求证：∠B=∠C。 证法一：作底边中线（SSS） 证明：作底边BC的中线AD，则BD=CD。 在△ABD和△ACD中： AB=AC（已知），BD=CD（中线定义），AD=AD（公共边）， ∴ △ABD ≅ △ACD（SSS）。 ∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。 证法二：作顶角平分线（SAS） 作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。 在△ABD和△ACD中： AB=AC（已知），∠BAD=∠CAD（角平分线定义），AD=AD（公共边）， ∴ △ABD ≅ △ACD（SAS）。 ∴ ∠B=∠C。 证法三：作底边上的高（HL） 作底边BC上的高AD，则∠ADB=∠ADC=90°。 在Rt△ABD和Rt△ACD中： AB=AC（已知），AD=AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≅ Rt△ACD（HL）。 ∴ ∠B=∠C。 满分模板： ∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 4. 推论：顶角与底角的关系 设顶角为∠A，底角为∠B=∠C，则： ∠A = 180° − 2∠B，或 ∠B = ∠C = (180° − ∠A) ÷ 2。 即：知道顶角可求底角，知道底角也可求顶角。 四、性质定理2：三线合一 1. 定理内容 性质定理2（三线合一）： 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 相互重合（三线合一）。 2. 从证明中得到的三组结论 由上一节的任意一种证明方法，都可以同时得到以下三组结论： 结论 内容 BD = CD AD是底边BC上的中线（平分底边） ∠BAD = ∠CAD AD是顶角∠BAC的平分线（平分顶角） AD⊥BC（∠ADB=∠ADC=90°） AD是底边BC上的高（垂直于底边） 3. 几何语言（三种表述，满分模板） 表述①（已知高→得中线和角平分）： ∵ AB=AC，AD⊥BC，∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD（三线合一）。 表述②（已知中线→得高和角平分）： ∵ AB=AC，BD=CD，∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（三线合一）。 表述③（已知角平分→得高和中线）： ∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴ AD⊥BC，BD=CD（三线合一）。 ⚠️ 前提条件： "三线合一"仅适用于等腰三角形，且必须是底边上的中线/高/顶角平分线。腰上的线不满足此性质！ 4. 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线。 沿对称轴折叠，左右两部分完全重合。这也是等腰三角形所有性质的几何本质。 五、等腰三角形性质的综合应用 1. 求角度 利用∠A+∠B+∠C=180°和∠B=∠C，已知任一角即可求出其余两角。 2. 证明线段相等 方法： 见到等腰三角形→直接用等边对等角得角相等；见到角相等→用等角对等边得边相等。 3. 证明垂直关系 利用三线合一：已知等腰三角形+已知中线→直接得垂直，无需再证全等。 4. 常见辅助线 辅助线 适用情形 作底边中线/高/顶角平分线 出现等腰三角形时，三线合一可同时得到多个结论 连接两点构造等腰三角形 已知条件中有相等线段，联想等腰三角形性质 延长线段构造等腰三角形 证明线段倍分关系时常用 作平行线+角平分线→等腰三角形 见角平分线+平行线→必得等腰三角形 六、判定定理：等角对等边 1. 判定方法汇总 方法一：定义法 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 方法二：判定定理（等角对等边） 判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 "等角对等边" ）。 2. 几何语言（满分模板） ∵ ∠B = ∠C， ∴ AB = AC（等角对等边）。 3. 判定定理的证明 已知：在△ABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC。 作∠A的平分线AD，交BC于点D。 在△ABD和△ACD中： ∠BAD=∠CAD（角平分线定义），∠B=∠C（已知），AD=AD（公共边）， ∴ △ABD ≅ △ACD（AAS）。 ∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）。 4. 性质与判定的对比 对比项 性质（等边对等角） 判定（等角对等边） 已知条件 已知两边相等（AB=AC） 已知两角相等（∠B=∠C） 得出结论 得出两角相等（∠B=∠C） 得出两边相等（AB=AC） 推理方向 由边相等 → 角相等 由角相等 → 边相等 作用 证明角相等 证明线段相等、判定等腰 做题口诀： 知边证角用性质（等边对等角），知角证边用判定（等角对等边）。 5. ⚠️ 易错提醒 注意： "等角对等边"不能说成"如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等"——因为在未判定为等腰三角形之前，不能使用"底角""腰"这些专属名词！ 七、尺规作图：作等腰三角形 已知：底边a和底边上的高h，求作等腰三角形 已知：线段a和h（如图）。 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为h。 作法步骤 步 操作 ① 作线段BC = a ② 作线段BC的垂直平分线MN，与BC交于点D ③ 在MN上取一点A，使DA = h ④ 连接AB、AC，则△ABC即为所求 作图原理 由步骤②：MN是BC的垂直平分线 → AB=AC（判定定理：到线段两端等距的点在中垂线上）。 由步骤③：DA=h 且 DA⊥BC → AD是BC边上的高，高为h。 ∴ △ABC是底边为a、高为h的等腰三角形。 变式：已知腰b和底边a作等腰三角形 作法： ①作线段BC=a；②分别以B、C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC，则△ABC即为所求。 八、典型例题精讲 【例1】基础角度计算 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°。求∠B和∠C的度数。 解： ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 ∴ 40°+∠B+∠B=180°。 ∴ 2∠B=140°，∠B=70°。 ∴ ∠B=∠C=70°。 【例2】三线合一应用 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点。求证：AD⊥BC，且AD平分∠BAC。 证明： ∵ AB=AC（已知），BD=CD（D为BC中点），AD=AD（公共边）， ∴ △ABD ≅ △ACD（SSS）。 ∴ ∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等），∠BAD=∠CAD（同理）。 又∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC=90°。 ∴ AD⊥BC 且 AD平分∠BAC（三线合一）。 技巧： 见到等腰三角形+中点→立刻想到三线合一，可以直接得出垂直和角平分两个结论，无需再证全等（当然证全等也可以）。 【例3】判定定理应用 在△ABC中，∠B=∠C。求证：△ABC是等腰三角形。 证明： ∵ ∠B=∠C（已知）， ∴ AB=AC（等角对等边）。 ∴ △ABC是等腰三角形（定义）。 【例4】角平分线性质+三线合一综合 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF。 证明： ∵ AB=AC（已知），D是BC中点（已知）， ∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD（三线合一）。 ∴ AD平分∠BAC。 又 DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 【例5】分类讨论求角度 一个等腰三角形的一个角是70°，求其余两个角的度数。 解： 需分类讨论（70°可能是顶角也可能是底角）。 情况①：70°为顶角，则两底角=(180°−70°)÷2=55°。其余两角均为55°。 情况②：70°为底角，则另一底角=70°，顶角=180°−70°−70°=40°。其余两角为70°和40°。 答：其余两角为55°、55°或70°、40°。 ⚠️ 分类讨论： 已知等腰三角形一个角，求其余角时，必须考虑该角是顶角还是底角两种情况。同时注意底角必须为锐角（<90°）。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $