专题10等边三角形同步 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10等边三角形同步培优讲义 ✺知识框架 本节立足三角形与等腰三角形的已有知识，研究等边三角形的定义、性质与判定，并延伸学习含 30° 角的直角三角形的特殊性质。 1.三角形基本概念、等腰三角形、等边三角形 2.等边三角形定义、边角性质、轴对称性质、判定定理 3.等边三角形几何计算与证明、含 30° 角直角三角形性质应用 ✅等边三角形是特殊的等腰三角形，按定义、性质、判定展开，其 60° 内角引出含 30° 角直角三角形的线段倍分性质。 ✺学习目标 1.掌握等边三角形的定义，理解等边三角形与等腰三角形的关系；熟练掌握等边三角形的性质定理与判定定理；掌握含30°角的直角三角形的性质。 2.能够利用等边三角形的性质完成边长、角度的计算；能够规范完成等边三角形的判定证明；会运用含30°角的直角三角形性质解决线段倍分问题。 3.理解一般与特殊的几何思想，养成严谨、规范的几何解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.等边三角形的性质 题型2.等边三角形的判定 题型3.等边三角形的判定和性质综合 题型4.大边对大角、小边对小角 题型5.最短路径问题 题型6.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点二、等边三角形的性质 （1）边：等边三角形的三条边都相等。 （2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°。 （3）对称性：等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。 （4）三线合一：等边三角形每一条边上的中线、高和该边所对的角的平分线互相重合。 知识点三、等边三角形的判定 （1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）角的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）等腰判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点四、含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则 BC=AB。 说明：上述性质的逆命题：若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为 30°，可用来解决相关问题。 【易错提醒】 1.仅有一个角为 60° 的普通三角形不能判定为等边三角形，须结合等腰条件或三角相等。 2.30° 角对直角边等于斜边一半的性质，仅适用于直角三角形。 3.等边三角形有三条对称轴，等腰三角形只有一条，二者不可混淆。 ✺题型精讲 题型1.等边三角形的性质 1．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 3．如图，和都是等边三角形，连接．求证：． 题型2.等边三角形的判定 1．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 2．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 3．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 题型3.等边三角形的判定和性质综合 1．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 3．如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 题型4.大边对大角、小边对小角 1．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 3．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 题型5.最短路径问题 1．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，连接． (1)画出线段关于直线的轴对称线段； (2)在直线上找一点，使的值最小； (3)若点在格点处，使为以为底的等腰三角形，这样的格点共有_____个． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 2．如图所示，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 二、填空题 4．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是_______． 5．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 6．如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 三、解答题 7．如图，的顶点分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标； (3)在轴上找一点并写出坐标，使得最小（画出图形，标出点的位置）． 8．（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 9．如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10等边三角形同步培优讲义 ✺知识框架 等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称章节的重要组成内容。本节立足三角形与等腰三角形的已有知识，研究等边三角形的定义、性质与判定，并延伸学习含 30° 角的直角三角形的特殊性质。 1.三角形基本概念、等腰三角形、等边三角形 2.等边三角形定义、边角性质、轴对称性质、判定定理 3.等边三角形几何计算与证明、含 30° 角直角三角形性质应用 ✅等边三角形是特殊的等腰三角形，按定义、性质、判定展开，其 60° 内角引出含 30° 角直角三角形的线段倍分性质。 ✺学习目标 1.掌握等边三角形的定义，理解等边三角形与等腰三角形的关系；熟练掌握等边三角形的性质定理与判定定理；掌握含30°角的直角三角形的性质。 2.能够利用等边三角形的性质完成边长、角度的计算；能够规范完成等边三角形的判定证明；会运用含30°角的直角三角形性质解决线段倍分问题。 3.理解一般与特殊的几何思想，养成严谨、规范的几何解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.等边三角形的性质 题型2.等边三角形的判定 题型3.等边三角形的判定和性质综合 题型4.大边对大角、小边对小角 题型5.最短路径问题 题型6.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点二、等边三角形的性质 （1）边：等边三角形的三条边都相等。 （2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°。 （3）对称性：等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。 （4）三线合一：等边三角形每一条边上的中线、高和该边所对的角的平分线互相重合。 知识点三、等边三角形的判定 （1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）角的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）等腰判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点四、含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则 BC=AB。 说明：上述性质的逆命题：若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为 30°，可用来解决相关问题。 【易错提醒】 1.仅有一个角为 60° 的普通三角形不能判定为等边三角形，须结合等腰条件或三角相等。 2.30° 角对直角边等于斜边一半的性质，仅适用于直角三角形。 3.等边三角形有三条对称轴，等腰三角形只有一条，二者不可混淆。 ✺题型精讲 题型1.等边三角形的性质 1．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，， ，， ． 3．如图，和都是等边三角形，连接．求证：． 【答案】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】和都是等边三角形，得，得，证明即可解决． 【详解】略． 题型2.等边三角形的判定 1．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 2．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2） 略 题型3.等边三角形的判定和性质综合 1．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 3．如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 题型4.大边对大角、小边对小角 1．在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． 根据等腰三角形的性质即可判断B、C、D，可得，则，再根据大角对大边分析判断A即可． 【详解】解：由题意得，，即 ∵， ∴，， 即，故B、C、D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A错误，符合题意 故选：A． 2．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 【答案】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于，在上截取，连接． 平分， ， 在和中， ， ， ， 是△的外角， ， ； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， ， ， 是△的外角， ， ； 选择王皓的思路： 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2）A （3） （4）在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而可得结论； （3）根据大边对大角求解即可； （4）将一个命题的题设和结论互换即得到原命题的逆命题，据此解答即可. 【详解】解：（1）略 （2）在一个三角形中，大边对大角， 如果最大边所对的角是锐角，那么其他边所对的角都比这个最大边所对的角小， 三个角都是锐角， 故此三角形就是锐角三角形． 故选：A； （3）在△中，， ； 故答案为：； （4）这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 故答案为：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，逆定理，三角形外角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型5.最短路径问题 1．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 2．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线及格点，连接． (1)画出线段关于直线的轴对称线段； (2)在直线上找一点，使的值最小； (3)若点在格点处，使为以为底的等腰三角形，这样的格点共有_____个． 【答案】(1) 如图所示，线段为所求． (2) 如图所示，点为所求． (3)5 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出、的对应点、，连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由对称的性质得， 则， 此时，最小； （3）解：如图所示， 点共有5个． 故答案为：5． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 2．如图所示，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： A、根据旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形， ， ， ， ∴， ∴，故A符合题意； B、根据旋转的性质可得，则不一定等于，故B不符合题意； C、根据旋转的性质可得，则不一定等于，故C不符合题意； D、只有当经过中点时，，故D不符合题意； 3．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 二、填空题 4．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是_______． 【答案】等边三角形 【分析】先根据，，得到，，再根据对顶角相等得到，最后根据三角形内角和为得到，可得到是等边三角形． 【详解】解：∵，， ∴．， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质． 5．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 6．如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．如图，的顶点分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形； (2)写出点，，的坐标； (3)在轴上找一点并写出坐标，使得最小（画出图形，标出点的位置）． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)，， (3)， 如图，点P为所求． 【分析】（1）作出各顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据，，在平面直角坐标系中的位置确定坐标即可； （3），因此连接交于x轴的点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，，； （3）略 8．（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的外角性质，不等式的性质等知识点． （1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可证明； （2）根据三角形的外角性质得到，而，则，再由大角对大边即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． 9．如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3)4 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $