5.1.2　导数的概念及其几何意义课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2　导数的概念及其几何意义 一、基础落实 1.函数f(x)是定义在R上的可导函数,若=1,则f'(x0)=(　　) A.2 B.3 C. D.-3 2.函数f(x)=4x2-3在x=-1处的导数等于(　　) A.-4 B.-8 C.-1 D.1 3.已知函数f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,则f'(2)+f(2)=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 4.已知可导函数f(x)的部分图象如图所示,f(2)=0,f'(x)为函数f(x)的导函数,下列结论不一定成立的是(　　) A.f'(1)<f(1) B.f'(5)<f(5) C.f'(2)=f(2) D.f'(3)<f'(4)<f'(5) 5.(多选题)已知函数y=f(x)的图象如图所示,若f'(x)为f(x)的导函数,则下列关系正确的是(　　) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x2)>0>f'(x2) D.f'(x2)>f'(x1) 6.已知曲线y=x2-4的一条切线的斜率是-4,则切点的坐标为　　　　　.  7.请根据图中的函数图象,将下列数值按从小到大的顺序排列:　　　　　　　　. ①曲线在点A处切线的斜率;②曲线在点B处切线的斜率;③曲线在点C处切线的斜率;④割线AB的斜率;⑤数值0;⑥数值1. 8.函数f(x)的图象如图所示,试根据函数图象判断0,f'(1),f'(3),的大小关系. 二、素能提升 9.如图,设有圆和定点O,当l从l0开始在平面内绕点O逆时针匀速旋转时(角速度不变且旋转角度不超过90°),直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数,这个函数的图象只可能是(　　) 10.已知直线y=4x+a(a<0)和曲线y=x3-2x2+3相切,则切点坐标为　　　　,实数a的值为　　　　.  11.已知函数f(x)=x3-2x+2. (1)求函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率; (2)设g(x)=2x+,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线平行,求实数k的值; (3)求过点(2,f(2))且与曲线y=f(x)相切的直线方程. 12.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积. 参考答案 一、基础落实 1.C 解析 由题意得f'(x0) = =,故选C. 2.B 解析 f'(-1)= =(4·Δx-8)=-8, 故选B. 3.A 解析 因为函数f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,所以f'(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,所以f'(2)+f(2)=-5,故选A. 4.B 解析 由导数的几何意义可知,f'(1)<0,由题图可知,f(1)>0,所以f'(1)<f(1),故A选项成立; 由题图可知,f'(5)>0,f(5)>0,但不确定f'(5)与f(5)的大小关系,故B选项不一定成立; 由题图可知,f'(2)=f(2)=0,故C选项成立; 由题图可知,函数f(x)的图象在点(3,f(3)),(4,f(4)),(5,f(5))的倾斜角逐渐变大,且增长速度越来越快,所以f'(3)<f'(4)<f'(5),故D选项成立. 故选B. 5.BD 解析 对于AB,由图可知,f(x1)∈(2,3),f(x2)∈(1,2),所以f(x1)>f(x2),A错B对;对于CD,由图可知,f'(x1)<0,f'(x2)>0,所以C错D对,故选BD. 6.(-2,0) 解析 设切点坐标为(x0,-4),根据导数的几何意义可知,y'=2x0=-4,解得x0=-2,所以切点坐标为(-2,0). 7.③⑤②④⑥① 解析 设曲线在点A,B,C处的斜率分别为kA,kB,kC,割线AB的斜率为kAB,由题中图象可知,曲线在点A处的瞬时变化率大于直线y=x的变化率,则曲线在点A处的切线斜率kA>1;曲线在点B处的瞬时变化率为正且小于直线y=x的变化率,则曲线在点B处的切线斜率0<kB<1;曲线在点C处的瞬时变化率为负,则曲线在点C处的切线斜率kC<0;割线AB的斜率为正且小于直线y=x的变化率,则割线AB的斜率0<kAB<1;又曲线在点B处的切线斜率小于割线AB的斜率,所以0<kB<kAB<1.综上所述,按照从小到大的顺序排列为③⑤②④⑥①. 8.解 设x=1,x=3时对应曲线上的点分别为A,B,点A处的切线为AT,点B处的切线为BQ,如图所示. 则=kAB,f'(3)=kBQ,f'(1)=kAT,由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角,直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角,即kBQ<kAB<kAT,故0<f'(3)<<f'(1). 二、素能提升 9.D 解析 因为是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快.对于选项A,图象表示面积的增速是常数,与实际不符;对于选项B,图象表示最后时段增速较快,与实际不符;对于选项C,图象表示开始和最后时段的增速比中间时段的增速快,与实际不符;对于选项D,图象表示开始和最后时段增速缓慢,中间时段增速较快,与实际相符,故选D. 10.(2,3)　-5 解析 设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则 f'(x)= = =3x2-4x, 故斜率k=f'(x0)=3-4x0=4,解得x0=-或x0=2. 当x0=-时,y0=f(-)=;当x0=2时,y0=f(2)=3,则切点坐标为(-)或(2,3).当切点为(-)时,有=4×(-)+a,故a=(舍去).当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,故a=-5,因此切点坐标为(2,3),实数a的值为-5. 11.解 (1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为=2. (2)由题意知f(x)=x3-2x+2,利用导数定义可求得f'(x)=3x2-2,所以f'(1)=1. 又因为g(x)=2x+,利用导数的定义可求得g'(x)=2-,所以g'(1)=2-k. 由题意可知,2-k=1,解得k=1. (3)将x=2代入f(x)=x3-2x+2,得f(2)=6,设切点为(x0,-2x0+2),利用导数的定义可求得f'(x0)=3-2, 则曲线y=f(x)在点(x0,-2x0+2)处的切线方程为y-(-2x0+2)=(3-2)(x-x0),且切线过点(2,6), 则6-(-2x0+2)=(3-2)(2-x0),整理得-3+4=0,即(x0-2)(-x0-2)=0,则(x0-2)2(x0+1)=0,解得x0=2或x0=-1. 当x0=2时,切线方程为y=10x-14;当x0=-1时,切线方程为y=x+4. 综上可知,切线方程为y=10x-14或y=x+4. 12.解 (1)∵y'= = =2x+1, ∴y'|x=1=3, ∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3. 设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,+x0-2), 则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). ∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-, ∴直线l2的方程为y=-x-. (2)解方程组 又直线l1,l2与x轴的交点坐标分别为(1,0),(-,0),∴所求三角形的面积S=×(1+)=. 学科网（北京）股份有限公司 $