4.1.1数列的概念课时练习- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 一、基础落实 1.已知数列{an}中,an=,则{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2.在数列{an}中,若an=则a4+a5的值为(　　) A.17 B.23 C.25 D.41 3.已知数列{an}的前4项分别为-1+,2-,-3+,4-,则该数列的一个通项公式为(　　) A.an=(-1)nn+(-1)n B.an=(-1)nn-(-1)n C.an=(-1)nn-(-1)n-1 D.an=(-1)nn+(-1)n-1 4.已知数列{an}的通项公式为an=n×()n,则数列{an}中的最大项的项数为(　　) A.2 B.3 C.2或3 D.4 5.(多选题)数列2,0,2,0,…的通项公式可以是(　　) A.an=(-1)n+1+1 B.an=2 C.an=2 D.an=(-1)n+1 6.已知数列{an}的通项公式为an=4 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　　.  7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的最大项为第　　　　　项. 8.已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn. (1)若an≥a6恒成立,求实数k的取值范围; (2)若数列{an}仅第7项最小,求实数k的取值范围. 二、素能提升 9.已知数列{an}的通项公式为an=15n-1,则225是这个数列的(　　) A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第4项 10.(多选题)若数列{an}满足an=(n∈N*),则(　　) A.数列{an}的最大项为a6 B.数列{an}的最大项为a5 C.数列{an}的最小项为a5 D.数列{an}的最小项为a4 11.已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,则实数a的取值范围是　　　　　.  12.已知an=(n+3)()n(n∈N*),求数列{an}中的最大项. 13.已知数列(n∈N*). (1)求这个数列的第10项. (2)判断是不是该数列中的项. (3)求证:该数列是递增数列. (4)在区间()内有没有该数列中的项?若有,有几项;若没有,请说明理由. 参考答案 一、基础落实 1.B 解析 因为an=,所以an+1=,于是an+1-an=.因为n∈N*,所以-3n+2<0,即<0,因此an+1<an恒成立,故{an}是递减数列.故选B. 2.A 解析 依题意,得a4+a5=23+(2×5-1)=17,故选A. 3.D 解析 观察可知,该数列的一个通项公式为an=(-1)nn+(-1)n-1=(-1)nn+(-1)n-1,故选D. 4.C 解析 a1=1×,a2=2×>a1,a3=3×=a2,a4=4×<a3,当n≥4时,an+1-an=(n+1)·()n+1-n·()n=×()n<0,所以an+1<an,所以数列{an}中的最大项的项数为2或3,故选C. 5.ABC 解析 对于A,a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,符合题意; 对于B,a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,符合题意; 对于C,a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,符合题意; 对于D,a1=0,a2=2,a3=0,a4=2,不符合题意. 故选ABC. 6.1 340 解析 由题意得,an=4 021-3n>0,解得n<=1 340+,因为n∈N*,所以正整数n的最大值为1 340. 7.3 解析 依题意,an=(n∈N*),则a1=,a2==1,a3=,a4==1,a5=,a6=, 当n≥5时,an+1-an=<0, 所以当n≥5时,an+1<an,所以数列{an}的最大项为第3项. 8.解 (1)因为an=n2+kn,所以an=n2+kn=(n+)2-, 令y=(x+)2-, 则函数的图象以直线x=-为对称轴. 因为不等式an≥a6恒成立,所以≤-,所以-13≤k≤-11, 则实数k的取值范围为[-13,-11]. (2)由(1)知函数y=(x+)2-的图象是以直线x=-为对称轴且开口向上的抛物线,即在x=-处y取最小值, 因为数列{an}仅第7项最小,所以<-,解得-15<k<-13, 则实数k的取值范围为(-15,-13). 二、素能提升 9.C 解析 令an=15n-1=225=152,所以n-1=2,解得n=3.故选C. 10.BD 解析 因为an=(n∈N*),所以an+1-an=,当an+1-an>0时,得到9<2n<18,解得n=4,当n≤4时,an<0,当n≥5时,an>0,所以数列{an}的最大项为a5,最小项为a4,故选BD. 11.(-10,-8) 解析 an=1+=1+,已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,令y=1+,函数在区间(-∞,)和(,+∞)上单调递减,结合函数的单调性可得5<<6,得-10<a<-8,因此实数a的取值范围为(-10,-8). 12.解 假设{an}中的最大项为ak, 则 即 整理,得 解得 即5≤k≤6,又k∈N*,所以k=5或6, 故数列{an}中的最大项为a5或a6. 13.(1)解 设f(n)= =, 令n=10,得第10项a10=f(10)=. (2)解 令,得9n=300. 此方程无正整数解, ∴不是该数列中的项. (3)证明 ∵an==1-,n∈N*, ∴an+1-an=[1-]-(1-)=>0, ∴{an}是递增数列. (4)解 令<an=, ∴ ∴ ∴<n<, ∴当且仅当n=2时,上式成立, 故在区间()内有该数列中的项,且只有一项为a2=. 学科网（北京）股份有限公司 $