5.1.2 导数的概念及其几何意义-2025-2026学年人教A版高二数学选择性必修第二册同步练习

**基本信息** 该同步练习聚焦“导数的概念及其几何意义”，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建从概念理解到几何意义应用的递进路径，培养数学思维与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|导数定义、平均变化率、切线斜率直接应用|选择题1-5、填空题9-10，考查概念辨析与简单计算，强化运算能力| |提升层|导数定义灵活应用、切线方程求解|选择题6-8、填空题11-13、解答题15-16，结合函数求切线，培养推理意识| |综合层|切线平行、过点切线（非切点）|填空题14、解答题17-18，综合函数性质与导数几何意义，发展几何直观|

5.1.2　导数的概念及其几何意义 一．选择题 1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则(　　) A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 2.已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是y=-x+1,则f(1)与f'(1)分别为(　　) A.1,-1 B.0,1 C.-1,0 D.0,-1 4.设f(x)存在导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为(　　) A.2 B.-1 C.1 D.-2 5.已知f(x)=-x2,若f'(a)=,则a的值等于(　　) A.- B. C.- D. 6.设函数y=f(x)在x=2处可导,且=1,则f'(2)等于(　　) A.2 B. C.-2 D.- 7.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 8.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处的切线的斜率之积为3,则x0的值为(　　) A.-2 B.1 C. D.2 二．填空题 9.如图,已知直线l是曲线y=f(x)在(3,f(3))处的切线,则f'(3)=　　　　.  10.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　 f'(b).(填“<”或“>”)  11.直线y=-x+b是函数f(x)=图象的切线,则切点是　　　　　　,实数b=　　　　　　.  12.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,则a=　　　　　,b=　　　　　.  13.如图,已知函数f(x)的图象关于直线x=对称,直线l是曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线,则=　　　　　.  14.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　　.  三．解答题 15.利用导数的定义求函数y=f(x)=在x=2处的导数. 16.已知曲线方程为y=x2,求: (1)曲线在点A(2,4)处的切线方程; (2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程. 17.已知曲线y=f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线y=g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行. (1)求x0的值; (2)求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程. 18.已知曲线y=2x-x2上的两点A(2,0)和B(1,1),求: (1)割线AB的斜率kAB; (2)过点A的切线的斜率kAT; (3)曲线在点A处的切线的方程. 参考答案 1.A　由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确. 2.A　因为函数f(x)=x2+2,所以该函数在区间[1,3]上的平均变化率为=4.故选A. 3.D　(1,f(1))在切线y=-x+1上,故f(1)=0,又切线斜率为-1,根据导数的几何意义可得f'(1)=-1.故选D. 4.B　=f'(1)=-1. 5.A　由导数的定义得f'(x)= = ==-x, 因此f'(a)=-a=,则a=-. 6.A　由导数的定义可得=f'(2), 因为f'(2)=1,所以f'(2)=2.故选A. 7.C　设P(x0,y0),曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k== (1-)=1-<1.即k<1. 8.B　由题意知,y'1== ,y'2==3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为,3-2x0+2.由题意可知,=3,所以x0=1. 9.-　根据导数的几何意义可知,切线斜率等于在该点处的导数值,所以f'(3)的值等于在x=3处的切线斜率,又切线过点(3,-2),(0,-1),故f'(3)==-. 10.>　f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b). 11. (-2,-)或(2,　-1或1　f'(x)==-=-,解得x=±2. 当x=-2时,y=-,b=-1;当x=2时,y=,b=1. 12.3　3　因为f'(x)==2ax,所以f'(1)=2a,即函数f(x)在点(1,c)处的切线斜率为2a.因为g'(x)==3x2+b,所以g'(1)=3+b,即函数g(x)在点(1,c)处的切线斜率为3+b.因为两曲线在交点(1,c)处有相同的切线,所以2a=3+b.又因为a+1=1+b,即a=b,所以可得a=b=3. 13.-1　根据二次函数图象可设其解析式为y=f(x)=a(x+1)(x-2),即y=f(x)=a(x2-x-2).曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线斜率为=1, 则 = =(aΔx-a) =-a=1, 所以a=-1, 所以= =(-1-Δx)=-1. 14.4　y'==2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.因为点P的横坐标是-2,所以点P的纵坐标是6+c,根据题意有-=-5,解得c=4. 15.解 ∵Δy=-2,, ∴f'(2)= =. 16.解 (1)f'(x)=(2x+Δx)=2x. 又点A(2,4)在曲线y=x2上, 所以f'(2)=4.故所求切线的斜率k=4, 故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)因为点B(3,5)不在曲线y=x2上,所以设切点坐标为(x0,), 由(1)知f'(x)=2x,所以切线的斜率k=2x0,切线方程为y-=2x0(x-x0). 又点B(3,5)在切线上,所以5-=2x0(3-x0), 解得x0=1或x0=5. 所以切点坐标为(1,1),(5,25). 故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5), 即2x-y-1=0或10x-y-25=0. 17.解 (1)f'(x0)= = =2x0, g'(x0)==-3. 由题意得2x0=-3,解得x0=0或x0=-. (2)当x0=0时,f'(x0)=0,因为f(0)=-1,故所求切线方程为y=-1. 当x0=-时,f'(x0)=-,因为f(-)=-,故所求切线方程为y+=-(x+),即y=-x-. 故所求切线方程为y=-1或y=-x-. 18.解 (1)由已知可得,kAB==-1. (2)令y=f(x)=2x-x2, = = =2-2x-Δx, 根据导数的定义可得,f'(x)=(2-2x-Δx)=2-2x. ①当切点为点A时,根据导数的几何意义知kAT=f'(2)=2-2×2=-2; ②当切点不是点A时, 设切点坐标为(x0,2x0-),x0≠2,则kAT=2-2x0, 又kAT==-x0, 所以有2-2x0=-x0,解得x0=2, 因为x0≠2,所以此时无解. 综上所述,过点A的切线的斜率kAT=-2. (3)由(2)知,曲线在点A处的切线的斜率kAT=-2, 所以曲线在点A处的切线的方程为y=-2(x-2),整理得切线的方程为2x+y-4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $